數學中有哪些看起來逆天的定理？

01-04

感覺這個「天」是指天理，類似於生活中的常理。所以我理解這個逆天是指很不可思議，讓人不敢相信。

我剛學微積分的時候就覺得牛頓-萊布尼茲公式相當逆天！！！

定積分居然就那樣算出來了！簡直不敢相信！

如果 $f(x)$ 的原函數是 $F(x)$ ，則有

$int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$

仔細一想就發現這個公式的美妙之處，看一下證明的過程就會發現，原函數與導函數之間的關係。我覺得能想出這個的人很偉大。

其實讓人覺得的逆天的事情在概率論里常見的多。

簡單舉個例子：

十個小紙團，其中一個有獎，而剩下的九個沒有獎。十個人排著隊來，每人抓一個。那麼請問，這個抓獎的遊戲公平么？（即，第一個人獲獎的概率與第十個人獲獎的概率一樣么？）

不少沒數學基礎的人就會說不公平。即便我告訴你答案是公平的，很多人還是覺得難以置信——我高中一個同學（很優秀的）在參加某大學自主招生面試時就被問到這個問題，他竟然就一時懵掉了。

為什麼公平呢？先說個別的，最後揭曉謎底。

這個依然是概率論。

設想如下情景，你在一擋電視節目中，主持人向你展示了三扇門。並告訴你，這三扇門其中一扇門的後面是一輛汽車，另兩扇門的後面則各有一隻羊。你可以猜一次，猜中羊可以牽走羊，猜中汽車則開走汽車。

（註：1、主持人說的永遠是實話，而且主持人知道汽車在哪扇門後面，遊戲一旦布置好就不會暗中更改；

2、你想要汽車而不像要羊；

3、你不能根據別的來判斷，比如聽聽動靜什麼的……）

現在假如你選了某扇門（例如你猜測1號門後面是汽車），然後主持人從剩下的兩扇門中，打開不是汽車的一扇門（比如打開了3號門，向你展示3號門後面是一隻羊）。這個時候！！主持人問你：你是繼續堅持1號門么？你是否要換2號門？

你怎麼做？

我當年在學校演講的時候就用了這個例子，我問誰會換，沒人舉手，我又問誰堅持1號門，齊刷刷舉起了手。

大家給出的理由是，反正開始的時候選中汽車的概率是三分之一，你給我打開一扇門無非把概率提升到了二分之一而已。為什麼要改呢？

其實不然。這也是逆天所在。

我們細細分析一下。

你看，堅持的話只有三分之一的概率能得到汽車大獎，改變的話就有三分之二呦～

有的同學這個時候就會提出疑問，

「你選擇1的時候，主持人打開2或者打開3這還是兩種情況呢？」

這位同學你很聰明嘛～

當時台底下就有人這樣問我。

但是你再仔細想想～你選擇了1，而1有獎，23都無獎，這不就意味著23門是滿足交換對稱性的。主持人打開一扇門留下留下另一扇，僅此而已嘛，並不需要把這種情況分開的。這就是這整個問題的癥結所在了。

這個主持人叫做蒙特霍爾，因此這個問題叫做蒙特霍爾問題。還是有一些逆天的不是么。

公布剛剛那個小小的概率問題。

其實是公平的呀。

第一個人抽到獎的概率為十分之一，這個沒問題。

第二個人抽到獎的概率也為十分之一： $frac{9}{10} imes frac{1}{9} =frac{1}{10}$ ，就是在第一個人沒有抽到獎（十分之九）的同時自己抽到獎（九分之一）。獨立事件同時發生的概率為這兩個事件發生的概率的乘積。

同理第十個人也是： $frac{9}{10} imes frac{8}{9} imes frac{7}{8} imes frac{6}{7} imes frac{5}{6} imes frac{4}{5} imes frac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{1}{2} =frac{1}{10}$

但是前提是，這十個人每個人拿到紙團以後都不打開，最後一起打開。

如果某個人沒忍住打開自己的紙團並且公布了結果，那麼概率瞬間就變了。不能理解么，就是這麼逆天。

所以我們人類是享受生活在未知中的。

因為未知，所以精彩。

Banach–Tarski 定理，粗略地說，可以把地球這麼大的空間分割成幾份，然後通過平移旋轉塞到一粒砂子里去。

以前培訓的時候老師和我們講過有一個特別神奇的數字142857。

以下來自百度百科。。。

142857×1=142857（原數字）

142857×2=285714（輪值）

142857×3=428571（輪值）

142857×4=571428（輪值）

142857×5=714285（輪值）

142857×6=857142（輪值）

142857×7=999999（放假由9代班）

7×（1~6）的積的個位排在末尾　7×7=49，積是6個9

142857×8=1142856（7分身，即分為頭一個數字1與尾數6，數列內少了7）

142857×9=1285713（4分身）

142857×10=1428570（1分身）

142857×11=1571427（8分身）

142857×12=1714284（5分身）

142857×13=1857141（2分身）

142857×14=1999998（9也需要分身變大）

7×（8~14）的個位的積的個位+1就是需要變化的數

以上各數的單數和都是「9」。有可能藏著一個大秘密哦!

繼續算下去……

142857除以7小數部分可以得到142857142857142857142857無限循環小數

把142857拆成14+28 +57 =99 ; 142+857=999; 1+4+2+8+5+7=27，2+7=9；您瞧瞧，它們的單數和竟然都是「9」。依此類推，上面各個神秘數，它們的單數和都是「9」(如142857可以挑出三段寫成1+8 4+5 2+7 這都等於9)且它的雙數和為27還是3的三次方.

而把142857拆成如 1+4+2+8+5+7 或 14+2+85+7 或 14285+7等等任意的組合（相鄰數字隨意組合）所得結果都是9的倍數。

而當乘數超過了7*9=63時(如64)單數和不再是27(3*9)而是36(4*9).142857的分身規律到了這裡就不復存在了. 直到142857*(7*14)=100999899才恢復了規律. [附:142857*7*14=13999986 單數和為54(6*9)]很明顯在這裡出現了規律的"斷層"但至此以後這種"斷層"將不會出現。]

那142857是怎麼來的呢，我們在繼續計算：

9÷7=1.2857142857142857142857142857......

99÷7=14.142857142857142857142857142857......

999÷7=142.7142857142857142857142857......

9999÷7=1428.42857142857142857142857142857......

99999÷7=14285.57142857142857142857142857......

999999÷7=142857

好了，142857整數出現了，那我們繼續......

9999999÷7=1428571.2857142857142857142857142857......

99999999÷7=14285714.142857142857142857142857......

999999999÷7=142857142.7142857142857142857142857......

9999999999÷7=1428571428.42857142857142857142857142857......

99999999999÷7=14285714285.57142857142857142857142857......

999999999999÷7=142857142857 (12個9，和6個9一樣得到的是整數）

9999999999999÷7=1428571428571.2857142857142857142857142857......

13個9，小數點後的數字和9÷7相同）

99999999999999÷7=14285714285714.142857142857142857142857......

14個9，小數點後的數字和999÷7相同）

如此循環，18個9除以7等於多少呢？等於142857142857142857——三組「142857」，24個9除以7呢？是142857142857142857142857——四組「142857」.......

還有呢：

1÷7=0.14285714285714285

2÷7=0.2857142857142857

3÷7=0.42857142857142854

4÷7=0.5714285714285714

5÷7=0.7142857142857143

6÷7=0.8571428571428571

8÷7=1.1428571428571428

……

14÷7=2

28÷7=4

57÷7=8.142857142857.......

142857×142857 = 20408122449，20408+122449=142857

20408122449×2 = 40816244898， 40816+244898=285714=142857×2

20408122449×3 = 61224367347， 61224+367347=428571=142857×3

20408122449×4 = 81632489796， 81632+489796=571428=142857×4

20408122449×5 = 102040612245， 102040+612245=714285=142857×5

20408122449×6 = 122448734694， 122448+734694=857142=142857×6

20408122449×7 = 142856857143， 142856+857143=999999=142857×7

20408122449×8 = 163264979592， 163264+979592=1142856，1+142856=142857

20408122449×9 = 183673102041， 183673+102041=285714=142857×2

20408122449×10 = 204081224490， 204081+224490=428571=142857×3

20408122449×11 = 224489346939， 224489+346939=571428=142857×4

..... 後面還有

而這個數是如何得來的呢，大家可以試一下，只要用1除以7就可以發現0.142857142857142857……

前面說到的142857，其實根本不神奇。

你看:1÷7=0.142857142857142857142857.....

1÷7這個分數化成小數，是一個無限循環小數，它的循環節就是142857，那它跟7一定有關係。我們計算一下2÷7、3÷7....的循環節是多少，和所謂的「輪值」又有什麼關係。

至於142857×7=999999，實際上，1/7×7≈0.142857……*7=0.999999.....他們之間的關係不言而喻。

能被7整除的自然數的個數

10以內 1個

　　100以內 14個

　　1000以內 142個

　　10000以內 1428個

　　100000以內 14285個

　　1000000以內 142857個

　　10000000以內 1428571個

　　......

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