拓撲空間能否用序列研究連續性？

01-04

拓撲里的連續性刻畫是開集的原像是開集，而不是用xn收斂到x0能推出f(xn)收斂到f(x0)來刻畫f的連續性，為什麼不用後面這種好驗證的方式來刻畫，一個例子是l1空間的範數拓撲和弱拓撲，如果做一個恆等映射，那麼顯然是一一到上的，而且範數收斂可推出弱收斂，弱收斂可以推出範數收斂，如果能用序列刻畫連續性那麼可以得出恆等映射是同胚的，也就能得出兩個拓撲一樣，但是範數拓撲和弱拓撲相同的話能得出空間是有限維的，說明不能得到映射的連續性，那麼造成這種現象的本質究竟是什麼呢

謝邀，因為這種用序列刻畫的連續性比真正的連續「差」。事實上，用序列刻畫的連續叫「序列連續」。如果 $x_n o x$ $implies$ $f(x_n) o f(x)$ ,我們說 $f$ 是序列連續的。

任何連續的映射是序列連續的，但是反過來不是的，存在一個序列連續但是不連續的函數。這個函數的的構造依賴於order topology，我這裡不細細談，只是給出來，你有機會自己看好了。設

$X=omega_1+1=[0,omega_1]$ , $omega_1$ 是first uncountable ordinal, 賦予order topology，構造 $f(x)=egin{cases} 0, ,, x<omega_1\ 1,,, x=omega_1 end{cases}$ 。這個函數是序列連續但是不連續的函數，主要的原因是裡面的任何 $[0,omega_1)$ 中的序列都不能趨近 $omega_1$ . 有興趣的同學可以看《拓撲中的反例》之類的書，都有記載。

那麼自然會有兩個問題：

第一，什麼時候連續和序列連續相同。

第二，既然序列不行，能不能找到相似但是可以推而廣之的概念呢？

對於第一個問題，你需要的概念是sequential space. 一個拓撲空間 $X$ 是一個sequential space，當且對於任意集合 $A$ , $A$ 是開集當僅當 $X/A$ 中沒有數列的極限在 $A$ 中。然後，我們有下面的結果。

一個拓撲空間如果是first countable的，那麼它就是sequential space。比如，度量空間。可惜，很多空間都不是。比如任意無限維banach空間上的弱拓撲就不是了。

對於第二個問題，我們需要概念net，net是sequence的一般推廣。我們首先定義direction，一個direction $succeq$ 首先是一個集合 $D$ 上的reflexive transitive 的二元關係：

$xsucceq x$ (reflexive)
$xsucceq y,, ysucceq zimplies xsucceq z$ .（transitive）

而且它滿足對於任意 $alpha,eta$ ，存在 $gamma$ 使得 $gammasucceq alpha ,, gamma succeq eta$ . 雖然direction和半序很像，但是它不一定是半序，因為它不要求 $xleq y, yleq ximplies x=y$ ,也就是不是antisymmetric。

下面是direction的一些例子，特別要注意第三個，那個才是在拓撲中最有用的。

然後，我們就有如下定義：

可以發現sequence只是net的一個特例。

有了net後，我們定義net的收斂性，我們說net $(x_alpha)_{alphain D}$ 收斂到 $x$ ,是指對於任意包含 $x$ 的一個neighborhood $V$ ,存在一個 $alpha_0$ ,當 $alphasucceq alpha_0$ 的時候， $x_alpha in V$ 。對於任意映射 $f:X o Y$ ，如果 $(x_alpha)$ 是一個 $X$ 總的net，那麼 $(f(x_alpha))$ 也是 $Y$ 中的net。如此，我們有下面的結果。

這個結果的核心是因為net可以刻畫開集

net的好處不限於此，它還可以刻畫緊性。

任意拓撲空間 $X$ 是緊的當且緊當其中的 $net$ 必然有一個subnet是收斂的。

這裡，我們需要說明什麼是subnet，

這裡出現一個net和sequence的第一個分裂。一個sequence自然可以看成是net，它的subsequence自然是一個subnet，但是它的subnet卻不一定是sequence。比如

刻畫弱拓撲最好使用net而不是sequence的原因就在於一般情況下弱拓撲不是sequential的。Is the weak topology sequential on some infinite-dimensional Banach space?

謝邀，在度量空間裡面這兩種定義是一樣的。因為度量空間具有Hausdorff性質，或者說滿足first countability axiom。

但是對於一般的拓撲空間，它不一定滿足這個公理，所以這個時候，只能證明充分性，必要性無法驗證，正如前面的答主所說，不滿足hausdorff性質的空間，極限不是唯一的。

所以這個開集的原象也是開，比較一般化，不過一般在度量空間裡面無所謂，隨便用。

因為序列收斂的概念過於局限，能夠用序列描述的拓撲是一些特殊性質的拓撲(T1或者通常來說的序列空間)，所以我們要去描述一般拓撲或者刻畫一般拓撲上的連續映射往往用網(net)或者濾子(filter)的概念去描述刻畫，因為憑藉二者可以完全描述或刻畫一般拓撲空間，這是序列所做不到的。

ps：net是反映鄰域系「周圍」的結構，filter是直接給出了鄰域系的整體結構，而鄰域系完全可以決定拓撲，但是簡單考慮實數的可數補拓撲，你會發現序列的收斂無法得到任何東西。

一般至少要滿足Hausdoff的空間才會考慮使用序列工具吧。。。

第一次嘗試回答學術問題……瑟瑟發抖……

拓撲空間中序列收斂的定義：對於拓撲空間中的序列，如果存在a，使得a的任意開領域內，都包含序列中幾乎所有的點，那麼稱序列收斂到a。

拓撲空間之所以不採用序列的手段去研究連續性，是因為在一般意義下的序列收斂已經失去了數學分析里「收斂」的一些性質，具體表現為：

1、序列的極限不一定是唯一的。這與數學分析里極限的「唯一性」不同。

考慮R的余有限拓撲空間中兩兩不相等的序列，由於在這個拓撲空間中的開集都是有限集的余集，因此對於R中的任意一個點a，它的開領域總是有限集的余集，那麼它一定包含了序列中幾乎所有的點，根據序列收斂的定義，序列收斂到a。也就是說，R的余有限拓撲空間中的任意一個兩兩不相等的序列，可以收斂到R中的任意點。

2、當一個點a是集合A的聚點是，不一定存在A中收斂到a的序列。這與數學分析里的Weierstrass定理不同。

考慮R的余可數拓撲空間，對於其中一個收斂到x的序列，可以證明它幾乎每一項都等於x，那麼對於R中的不可數真子集A，A的閉包一定等於R（因為包含A的最小閉集就是R），因此只要選取R中的x，使得x不屬於A，x是A的聚點，但由於A中的所有收斂序列一定幾乎每項都等於A中的某個點，它必然不會等於x，所以它一定不收斂於x。

由於一般意義下的序列收斂缺乏數學分析中的一些「好的」性質，因此不考慮使用序列的角度來研究連續。因為我們在數學分析里學習的連續函數的Heine定理，實際上用到了序列收斂的唯一性。

序列收斂的唯一性在T2空間也就是Hausdorff空間中成立。一般對於Hausdorff空間我們會採用序列的角度來研究函數的連續性。

希望對題主有幫助，也希望我拓撲的期末能過_(:з」∠)_