有限域的階為什麼一定是素數的整數次冪？

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題主是軟體工程類大三的學生。看到密碼學裡講到有限域的階一定是素數的整數次冪,即 $left| G ight|=p^k$ 。抱著知其然也要知其所以然的態度上來請教。沒有太多的數論知識儲備，能否講的通俗易懂些，謝謝。

有限域的基域是Z/pZ，其中p是素數。有限域同時也是Z/pZ上的線性空間，如果維度是k的話，那麼有限域的元素個數就是p^k了。

設 $K$ 是有限域，那麼 $K$ 的特徵一定是某個素數 $p$ （因為如果特徵為 $0$ ，那麼 $K$ 包含素域 $f Q$ ，這與 $|K|<infty$ 相矛盾。），因此 $K$ 包含素域 ${f F}_p={f Z}/p{f Z}$ 作為子域，這樣 $K$ 可以看成 ${f F}_p$ 上的向量空間。

這個問題要用到

定理. 域 $F$ 上的每個非零的向量空間 $V$ 都有一個基。

證明要用到Zorn引理。根據這個定理，我們可以斷定 $K/{f F}_p$ 的次數 $[K:{f F}_p]:=mathrm{dim}_{{f F}_p}K$ 是定義良好的。由於 $K$ 是有限域，因此 $[K:{f F}_p]$ 是有限的，設 $[K:{f F}_p]=n$ ，那麼向量空間 $K$ 線性同構於向量空間 ${f F}_p^n$ 。 ${f F}_p$ 的基數為 $p$ ，因此 ${f F}_p^n$ 的基數是 $p^n$ ，這樣 $K$ 的基數也是 $p^n$ 。