如何證明實數集不可數？

01-04

即證明不存在實數集和正整數集之間的雙射

提供一個用Baire綱定理的證明方法:

Baire綱定理是說，一個完備的度量空間不能寫成可數個無處稠密的集合的並，一個集合無處稠密是說它的閉包沒有內點.

特別的，實數集上面有自然的度量d(x,y)=|x-y|, 而且是完備的.　假設實數集可數，那麼它可以表示成可數個單點的並．但是單點集本身是閉的，它的閉包就是它本身，所以是沒有內點的．這就違背了Baire綱定理. 所以實數集不可數.

其實Baire綱定理有很多很有趣的應用，比如用來證明不存在只在有理點連續的函數. 另外一個更有趣(也更難)的應用是下面這個題目，有興趣可以思考一下~

只需證明（0,1）區間內的實數是不可數的就可以了。

假設我們可以把（0,1）區間內的實數按照某個順序排列好，因為實數可以用小數表示出來，所以，（0,1）內的實數是這樣的0.a1a2a3a4......（其中a1,a2,a3......都是正整數）

假設排列好的數字是這樣的：

0.a11 a12 a13 ......

0.a21 a22 a23......

0.a31 a32 a33......

......

現在我來構造這樣一個數b

b=0.b1b2b3b4......

其中b1!=a11,b2!=a22,b3!=a33 ......

因為已經按照某種順序排列好了（0,1）內的數，所以這樣的b一定是可以構造出來的

但是，顯然b屬於（0,1）

但是b又不在以上的排列好的序列里，這就產生了矛盾

所以（0,1）內的實數是不可列的

所以整個實數集也是不可數的

首先證明R與P(N)等勢(P(N)代表自然數集的冪集)

然後由cantor定理Card(P(X))&>Card(X)

就搞定了

不妨證明 [0，1]不可數

反證，假設[0，1]可數，即可設[0，1]={an}，

對於a1,則有[0,1]中閉區間I1, 使得 a1不屬於I1,

同理，對於a2, 則有I1中的閉區間I2,使得a1,a2均不屬於I2，類似的，故可做區間列{In},使得a1,...,an不屬於In,由區間套定理，∩In( n=1,2,...)非空，

取x屬於 ∩In( n=1,2,...)，則x不等於任何an,但x屬於[0，1]，故與假設矛盾

康托的對角線證明是很漂亮的方法.

另一方面, 如果 "假設" 了冪集的勢總比原集合大, 一個自然的想法是: 只需要證明存在實數集到自然數集的冪集的滿射就行了. 而後者的勢跟由 0 和 1 構成的序列的集合的勢相等, 所以只需要找到從實數集到 0-1 序列集的滿射就可以了. 比如說這個滿射可以這樣取: 給一個實數, 小數點後第 n 位是奇數 (或偶數), 就對應一個序列第 n 位為 1 (或 0).

注: 為什麼自然數集的冪集跟 0-1 序列集等勢捏? 因為當我們想構造一個自然數集的子集的時候, 每個自然數都有兩個選擇: 屬於或不屬於這個子集.

cantor"s diagonal argument

[對角論證法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E8%A7%92%E8%AB%96%E8%AD%89%E6%B3%95)

反證法是不對的。

比如用於可數集，假設自然數可數了，那我也可以構造出另一個以上都沒列出來的數來，那豈不是自然數也不可數了。