CCAPM 模型和 CAPM 模型的關係是什麼？

01-04

教授跟我們講CCAPM模型是其他很多模型的building block，包括CAPM模型也是在設定假設後從CCAPM模型中推導出來的。但是從原始論文上來看，似乎CAPM的提出先於CCAPM。（http://www.zhihu.com/question/20163274）如此看來，是否能說CAPM模型才是真正的building block呢？

CCAPM(Consumption Capital Asset Pricing Model)晚於CAPM(Capital Asset Pricing Model)，它的設定更加的general(實在找不到好的中文詞來傳達這個意思），所以CAPM只不過是CCAPM的一個特例罷了。

(對理論討論沒興趣的可以直接跳到關鍵公式那裡）

CCAPM的模型設定

CCAPM的假設是一個Representative Agent(代理人）做出一個無限期（Infinite Horizon)的決定，目標是最大化自己的消費消費效用的折現。所以它的目標函數是

$U(C) = mathbb{E} sum_{i=0}^infty eta^i u(C_t)$

其中 $eta in (0,1)$ 代表了代理人對時間的偏好是一個對效用折現的參數（類似於利率），而 ${C_t}_{t=0}^infty$ 是這個代理人的消費的序列。

另外消費還應該滿足下面一個動態過程(dynamics)

$S_{t+1} + B_{t+1} = ilde{R }_t S_t + R_t^f B_t + W_t - C_t$

其中 $S_t$ 是你在第 $t$ 期持有的股票，而 $B_t$ 是你在第 $t$ 期持有的債券。所以相應的， $ilde{R}_t$ 是股票的收益（注意這是total return）並且是一個隨機數，而 $R_t^f$ 是無風險收益是提前一期可知的， $W_t$ 是勞動所得的工資收入。

可以看出來這是一個非常非常general的設定，你可以加入很多其它模型的特徵來針對性地探討某個變化對資產定價的影響。

投資者的目標是最大化一生的消費帶來的效用，她必須動態的做出股票債券的買賣決定，從而獲得投資收入用以消費，而消費越高她也就越開心。

在市場均衡條件下可以推導出下面這個公式

$(mathbb{E}_t ilde{R_{t+1}} - R_{t+1}^f) = -mathrm{Cov}left( ilde{R}_t, etafrac{u^prime(C_{t+1})}{u^prime(C_{t})} ight) dot R_{t+1}^f$

如果我們進一步假設消費的增長率 $x$ 和股票的收益率 $ilde{R}_{t+1}$ 服從一個多元對數正態分布的並且效用函數是CRRA函數 $u(c) = frac{c^{1-gamma}}{1-gamma}$ 的話那麼我們就可以得到下面的

關鍵公式

(事實上我們並不需要對消費增長率和股票收益率進行任何的模型假設，可以通過推導證明在目前的假設下Log-normal的相當於是對任意分布函數的一個二次逼近，具體可參考Romer Advanced Macroeconomics. p388)

$ilde{r_{t+1}} - r_{t+1}^f = gamma mathrm{Cov}(x, ilde{r}_t)$

其中 $ilde{r}_t = logmathbb{E}{ ilde{R}_{t+1}}$ , $r_t^f = log R_t^f$ 這就是傳統意義上的CCAPM。

CAPM不過是CCAPM的一個特殊形式而已

在CAPM的假設下可以認為市場上只有一種消費品就是Market Portfolio，因為它包含了所有投資品，而投資品是唯一在市場中產生額外收益的商品，所以代理人的消費 $C_t$ 的增長率 $x$ 等同於market portfolio的收益率 $r_t^M$ ,此時市場達到均衡。
同時我們假設代理人對時間不敏感，同一個消費品目前消費和以後的某個時間消費對代理人沒有區別，在這種情況下代理的人 $gamma =1$ 。(這裡設置為1是為了使模型更靠近CAPM里的單期模型假設，事實上只要所有人的 $gamma$ 一致那麼這個值不是1也行。)
最後我們假設 $x$ 和 $ilde{r}_{t+1}$ 不隨時間變化，我們處在靜態的世界裡。

那麼對於任意的資產關鍵公式可以重新寫作

$ilde{r} - r^f =mathrm{Cov}(r^M, ilde{r})$

這個公式對於market portfolio當然也是成立的

$r^M - r^f =mathrm{Cov}(r^M,r^M) = mathrm{Var}(r^M)$

將兩個等式相除我們得到

$ilde{r} - r^f = frac{mathrm{Cov}(r^M, ilde{r})}{mathrm{Var}(r^M)}(r^m - r_f) = eta(r^m - r_f)$

這就是CAPM。

以上。

因為原始的CAPM模型有比較多的缺陷，它是靜態的單期的模型，並且雖然是一個有投資者參與的均衡，但是沒有反映出投資者行為對資產市場的影響。所以後來發展出了ICAPM，又發展出了CCAPM，CCAPM的隨機折現因子形式在實證中被運用得特別多，非常適合用於理論研究。所以雖然CCAPM更晚，但是更完善，所以你們教授才說是building block吧

「We uses the CAPM, like most others do, I suppose, but we hold our noses when we do.」

So if CAPM stinks, to add an extra C before it will smell no big difference.