棱長為a的正方體任意擺放，在水平面投影面積最大值為多少？

用含有a表示，最好給一下立體圖，謝謝！

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考慮六個面的法線，有三對，兩兩相反，只有和投影方向相反的才能看見（角度小於90度的是在反面，看不見），因此最多能看到同一個頂點外面的三個面，三個法線兩兩垂直。正方形面投影的面積等於正方形面積乘以單位法線與投影方向反方向的單位向量（記為v）的內積，也就是a^2(x +y + z)?v，它的最大值在v和x+y+z同向時取到，也就是沿著對角線投影，面積是√3a^2，形狀是個正六邊形。

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如圖：

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正規方法。

1，面積射影定理。

2，過一點O兩兩垂直的三平面，與過O點任意一平面所成的三個二面角的餘弦平方和為1。

非常規做法。

1，有兩個面與水平面平行，投影是正方形。

2，只兩條棱與水平面平行，投影是矩形。當除平行棱的四個頂點所在平面與水平面平行時，投影面積最大。

即投影被遮住的一對棱所在平面與水平面垂直時投影最大。

3，沒有棱與水平面平行，投影是凸六邊形。同上理，在投影被遮住的一對點所在直線與水平面垂直時，投影面積最大。

此時，根據與水平面的距離，8個頂點被分成四層，中間兩層各3個點，各自構成邊長為a√2的正三角形。根據對稱性，凸六邊形是正六邊形。

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前幾天從@Nan Ma 那裡聽到了一個非常有趣的結論：把一個棱長為1的正方體隨意放置到空間直角坐標系xyz中，那麼這個正方體在xy平面上的投影的面積，等於在z軸上的投影的線段長度。(數值相等)

如果正方體棱長是a，那麼這個面積就是這個線段長度的a倍。

利用這個結論，題主的問題可以轉化為：棱長為a的正方體任意擺放，在一條直線上的投影的線段長度最長是多少？

很顯然，這個問題的答案就是正方體體對角線的長度，即√3a。

因此投影的面積最大是√3a^2。

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設藍色坐標軸xyz為正方體棱方向， 紅色x軸為投影方向， 那麼以藍色x,y,z為法向的面在紅x的投影面積分別是，

那麼

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最大√3a^2

用手拿著魔方對頂的角在手裡轉著玩，就感覺到了，如下。

把魔方放桌上，棱對著自己。

讓魔方朝自己臉轉，角朝上。

顯然一眼看過去是六邊形

視野所及就是 投影最大面積

由全等的三個平行四邊(紅黃綠)形組成

所以只需要算一個平行四邊形邊形就可以了，把它延(圖中)棱切開，如下，

這裡x是(圖中)紅色面的一條 (豎著的) 對角線長度。

又顯然另一條(橫著的)對角線長度是√2

所以紅色面，面積

√2 × √2/√3 ×1/2

=√3/3

所以三個圖形加起來等於

√3

比另外幾篇貼近生活，也挺費事…

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