有哪些看起來很難證明起來卻很簡單的問題？

01-04

鏡像問題：有哪些看起來很簡單證明起來卻很難的問題？

說一個調和分析中的the finite field Kakeya problem。數學家們一直以來認為這是一個非常深刻艱難的問題，直到Dvir用一頁紙把它證出來。。

The finite field Kakeya problem:
A set $Ksubsetmathbb{F}_q^n$ is called a Kakeya set if it contains a line in every direction, then $|K|geq(10n)^{-n}q^n$ .

具體的證明只用到了以下的一個關鍵事實：

The vanishing lemma:
如果一個至多 $D$ 次的多項式有 $D+1$ 個根，那麼它是零。

目前為止，沒有人知道如何不使用多項式來證明這個問題。。

更新：對於有些評論說，「呈現在你面前的都將會是一堆立方體的主視圖」這一點需要證明，這個我是不否認的。

但是本人才疏學淺，並沒有什麼想法。希望有大神能給出證明。屆時我再補充上來。

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原答案

說起這個突然想起來一個無字證明。

那是我在 2017高中數學聯賽備考手冊的封面上看到的。

(看過的不要噴哦，乍一看真的挺巧妙的)

答案在下圖。

如果看了圖以後暫時還沒思路的話，這裡給點小提示。

可以把三種顏色的菱形看成立方體的三個面，那無論圖中的菱形如何染色，呈現在你面前的都將會是一堆立方體的主視圖。

然後根據小學奧數學的計算主視圖中面積的方法，可以將三個方向的面壓到牆上。

可以將正六邊形從中心按120°分割成相等三塊，即可看到那三面牆。

顯然三面牆的面積相等，所以圖中不論立方體怎麼擺放，三種面的數量都是相等的。

證畢。

之前在知乎上看過類似的問題，就直接拿來了：

①橢圓不可能內接正五邊形。

②從正n邊形(n是奇數)的一個頂點出發，往其他各頂點連線，會生成n-2個三角形，這些三角形中有且僅有一個是銳角三角形。

答案：這兩問都要利用正多邊形外接圓的性質

①由於橢圓和圓都是二次曲線，所以橢圓與圓最多有四個交點，不可內接正五邊形。

②作正n邊形的外接圓，圓心只會落在一個三角形里，這個三角形就是銳角三角形

我的第一反應是這個：【官方雙語】用莫比烏斯帶巧解內接矩形問題：拓撲學的用處_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩

但是這東西感覺還是有點兒複雜。倒不是他的證明「做起來」複雜，而是「看起來」複雜。

（哎呀這話說的好繞口。）

但是「看起來」複雜，也是一種「複雜」。所以我又想了想，終於想到了一個看起來非常非常難，但實際上證明巨特么簡單的一個問題。

那就是黑白骨牌問題。

假設一塊長方形骨牌由黑白的兩個連續的1×1方塊組成，即長×寬=1×2。

（骨牌大概是這個樣子，可以豎著擺，當然也可以旋轉90度橫著擺）

問，對一個8×8的黑白二色棋盤，挖掉左上角一個方格，挖掉右下角一個方格。問上述黑白二色骨牌，是否能對棋盤進行原封不動的黑白二色覆蓋？

（黑色的位置和骨牌黑色的方塊相匹配，白色的位置和骨牌白色的方塊相匹配）

（棋盤大概是這個樣子。左上角和右下角的紅色區域為被挖掉的區域，無法將骨牌置於其上。）

假如誰有心做一套這個骨牌和棋盤出來，可以試著擺擺看。不過我估計應該沒有那麼無聊的人嗯。

這個題目的結論是不可覆蓋。

因為證明過程太特么簡單了所以我就不放了。沒見過這道題目，且對這道題目感興趣的同學可以自行思索一下這個問題嗯……證明的方法異常的簡單的。

（說實話，與其說這是道數學題，我寧可說他是一道腦筋急轉彎2333~不過黑白骨牌問題沒我描述的那麼簡單，這裡只是一個最經典的題目而已）

——8.4更——

有人懷疑第一個的真實性，認為是我編的。看下百科

第一個是我學習演算法接觸的，感覺挺有意思。

第二個是當時學Java敲的一個習題，一直印象深刻。

——原答案——

一、測地球赤道周長

感覺沒有現代高科技很難測出來，實際上在2000多年前，一個叫埃拉托色尼的地理學家已測出。

方法現在的中學生都會，如下：

夏至日那天，別在兩地同時觀察太陽的位置。錫恩那邊有一口井，該井的出名之處是夏至日那天太陽光可直射井底。接著在亞歷山大港也挖一口井，測出太陽光直射形成的角度。兩地的距離量出來為787KM，然後根據下面得：

赤道周長40075.02千米，該結果十分接近。

這傢伙最牛的地方，是已經認為地球是圓的。

二、回答我9個問題，我可以準確快速的答出你生日

這個問題證明起來十分簡單，然而沒學編程或者數學不敏感的絕對是不知道的。當時在山區義教，多出一堂課，就用這個給他們算生日。

你只需回答這下面有沒有你生日的月份：

12 11 10 9 8
12 7 6 5 4
11 10 7 6 3 2
11 9 7 5 3 1

你只需回答這下面有沒有你生日的日數：

31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16
31 30 29 28 27 26 25 24 15 14 13 12 11 10 9 8
31 30 29 28 23 22 21 20 15 14 13 12 7 6 5 4
31 30 27 26 23 22 19 18 15 14 11 10 7 6 3 2
31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

如果你想追一個女孩子，不用直接問她生日，就用該方法套取出來，瞬間覺得你有趣多了。然後就沒然後了(；′⌒`)

數學分析

初學者看到問題只有兩種疑惑：這tm也要證？這tm也能證？然而，數學本身就是嚴謹的

有理數跟正整數是一樣多（可以一一對應）的

這個問題大一的時候離散老師就教過，但是如果是第一次見還是十分反直覺的

大意是這樣的，，有理數都可以用分數表示，比如1/7，22/5這種，那麼我們就可以把有理數視作一個[a，b]（a是自然數，b是1，-1，2，-2這種，去除重複的元素）的形式，顯然，這可以用一張二維表來表示:

是這樣，但是如果直接用正整數填進去，根本都無法到達下一行啊

接下來的操作就是如何把正整數跟二維表一一對應

（之前的圖有點問題，重新畫了一下）

可以看到第[m,n]個元素落在第x=m+n條對角線上，所以可以用一個小於1/2(1+x)x的數來表示。

證畢。

由此可以推測只要是能用有限維表表出的集合都可以跟正整數一一對應的阿列夫0的，即使他們之間有包含關係。

所以為什麼不去做考研題而來刷知乎呢_(:з」∠)_

笛沙格定理：

三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交於一點G，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

高中競賽里的一個定理，如圖。看上去線很多，按平面幾何的方法證起來也比較麻煩。

而簡單證明的方法就是：目測

看感覺，首先把GABC看成立體的三稜錐，DEF看作是三稜錐上斜著一刀切的一個平面，平面ABC和DEF相交自然就是一條直線，目測證畢。

龐加萊回歸？

一切終將重現，昨日依舊，你我依舊，宇宙安好。

世界上存在一些不可定義也不可解的數，事實上它們可定義數多得多。

隨機遊動和布朗運動的公式，感覺完全隨機是不是很難啊？實際上簡單極了。小學生都能做出來，但可能其展開式稍微用點分析的知識

轉自Matrix67 《思考的樂趣》

證明或推翻:x^3+y^4=z^5沒有正整數解。可以使用任何已證定理。

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據說這個題是某考試的最後一題，眾人紛紛跪倒。

答案:原命題是錯誤的。因為2^24+2^24=2^25，所以有(2^8)^3+(2^6)^4=(2^5)^5。

在寫書的人眼裡這都不是事

很明顯。。。。。。？

由前兩問可得。。。。？

綜上。。。。。。。。？

由所學知識。。。。。。？

請證明: 自行車沒人騎時，給它一定的初速度，自行車能自己保持平衡。

結晶學限制定理：

三維歐幾里得空間中，只有 2 次、3 次、4 次、6 次這四種旋轉對稱性能與周期性點陣結構相容。

用初中幾何知識，半頁紙就能證完。

單位圓上的有理點可以被含一個未知數的多項式完全描述。

這道題可以當做一道初中生的練習題。

萊頓瓶，為什麼萊頓瓶無法製作。

理想單擺來回一周的時間一樣長

通過阿奎納的宇宙第一因證明神的存在。

戴維斯定理

三個月之後遇到一道題，看起來毫無頭緒（花了我五天時間）

事實上證明十分簡潔，甚至沒有挖掘條件帶來的性質

另外我還通過幾何畫板猜測，若 $riangle ABC$ 的內心為I， $riangle DEF$ 的內心為J，作I關於J的對稱點K，則K為AD、BE、CF所共之點。因為我不會作出精確圖形所以不確定，同時我也沒有想出來證明方法，有興趣的數競dalao可以嘗試一下

外國學生的初高中數學題。

只是因為看不懂那些單詞_(:з」∠)_