格林第一公式，第二公式和第三公式在數學上解決哪類問題？

01-04

先來看高斯公式。

假設空間閉區域內充滿流體，密度為1，且存在一速度場

於是，閉區域的邊界上也布滿了速度場

且流體在該速度場下，從邊界流出的總質量是

注意這裡的 $P,Q,R$ 和 $dydz,dzdx,dxdy$ 分別是完全同向的且互相正交。

所以在閉區域內部，速度場把流體源源不斷地輸送到外部去。為了保證仍能有該速度場，必須保持條件不變，即閉區域內部的某個源頭必須在單位時間內產生同等質量的流體。

假設「源頭」產生的流體，流經點 $(x,y,z)$ 時，由於在閉區域內部，該點的速度就是速度場 $(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$

而在離該點距離很小的某點 $(x+delta,y+delta,z+delta)$

速度場則是

$(P(x+delta,y+delta,z+delta),Q(x+delta,y+delta,z+delta),R(x+delta,y+delta,z+delta))$

由於兩者存在速度差，為了保證區域內每一點，乃至邊界的速度不變，在 $(x,y,z)$ 就必須產生一定量的流體，來保證下一點的流速。於是在 $(x,y,z)$ 應該產生的質量是

$(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}+frac{partial R}{partial z})dxdydz$

於是，從內至外，源源不斷地補充、增長，直到達到邊界的流出量。將其整體積分得到：

現在我們來看格林第一公式。

表示流體在單位時間內從邊界離開閉區域的總質量的變化量

假設空間閉區域內充滿流體，密度為 $u$ ，且存在一加速度場 $a(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$

假設「源頭」產生的流體，流經點 $(x,y,z)$ 時，由於在閉區域內部，該點的加速度就是加速度場 $(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$

而在離該點距離很小的某點 $(x+delta,y+delta,z+delta)$

加速度場則是

$(P(x+delta,y+delta,z+delta),Q(x+delta,y+delta,z+delta),R(x+delta,y+delta,z+delta))$

由於兩者存在加速度差，為了保證區域內每一點，乃至邊界的加速度不變，在 $(x,y,z)$ 不僅要提高流量，以配合下一個點的流速，還要提高流速，來保證下一點的加速度。於是在 $(x,y,z)$ 應該產生的質量的變化量有兩部分：

一、在流速上的增量，與下一點相配

$uDelta v dxdydz$

其中速度的拉普拉斯運算元 $Delta v$ 表示在半徑很小時，半徑增大一單位所帶來的以該點為中心的球面上的點的速度的平均值的偏離該點的量。而 $u$ 是該點密度。

二、在流量上的增量

$(frac{partial u}{partial x}frac{partial v}{partial x}+frac{partial u}{partial y}frac{partial v}{partial y}+frac{partial u}{partial z}frac{partial v}{partial z})dxdydz$