為什麼 2016 年諾貝爾物理學獎要頒給「發現拓撲相變理論及拓撲量子態」？這項發現對物理界意味著什麼？

01-04

2016 Nobel Prize in Physics
The Nobel Prize in Physics 2016 was divided, one half awarded to David J. Thouless, the other half jointly to F. Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz "for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter".

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謝邀。

早期談相變都是自發對稱殘缺（spontaneous symmetry breaking）做成的，在無序態（disordered state）時，其漲落（fluctuation）只有短進程（short range order），即 $C(r) sim e^{-frac{r}{xi}}$ ；但在有序態（ordered state），其漲落有長進程（long range order），即 $C(r) sim frac{1}{r}$ 。這些在任何凝聚態課本都有提及。

但當物質成了低維時，如d=2，以上的描述變不再正確，因為如果有一個長進程的有序態，這個有序態是不穩定的，這個Mermin-Wagner定理已給了證明。

但Berezinskii及後來的Kosterlitz和Thouless提出，即使在d=2中，無序態的短進程需要有拓撲結構在當中才能維持短進程，所以在無序態中，有極多獨立的quantum vortex，使這個態在數學上可維持 $C(r) sim e^{-frac{r}{xi}}$ ；但當溫度降到一定程度，這些vortex一定要成為一對對（bounded pairs）的，以維持其低自由能，而在這態中， $C(r) sim frac{1}{r^{alpha}}$ ，即淮長程態（quasi long range order）。這個短程態和淮長程態的相變就是Kosterlitz-Thouless transition。

Haldane的工作煩請其他專家介紹。

我想這個工作的意義就是拓撲學對物理學的意義，以往（四十年前？）很少理論物理學家利用拓撲學去解釋物理學現象。不過，topological這個字在物理學界是熱詞了。

參本人其他答案：關於超流相變的最新的研究成果有哪些？ - 物理學；量子拓撲是什麼？ - 何史提的回答

三人首先將拓撲學引入凝聚態物理。KT兩人發現了超出Landau的二級相變理論(以下將稱為傳統相變理論)的新相變——拓撲相變——這是目前量子相變的主要內容。

傳統相變涉及到對稱性的自發破缺，這一概念的具體描述需要用到了數學上的群論(又是將數學應用於解釋物理的一個例子)。傳統相變繼而引發了幾個重要的物理概念，比如Goldstone boson(對稱性不是白破缺的，在低對稱態需要有高對稱的激發來使得總體的對稱性可能性保持不變，當破缺的是連續對稱性時，產生的激發便是Goldstone boson)，又比如Anderson-Higgs mechanism(當破缺的對稱性是gauge symmetry時，無質量的Goldstone boson會被gauge boson吃掉，使得後者產生了質量，老楊稀飯的gauge theory 從此不再需要為質量問題擔憂)

說完了傳統相變的牛逼，再來說說拓撲相變。Amway，拓撲相變不涉及對稱性的破缺，於是群論不太好用，需要引入新的數學語言——拓撲，更準確地說，是拓撲學裡面的一小塊東西——Chern-Simmons理論。用這個東西可以定義新的相——拓撲相，以及新的序——拓撲序。目前人們對這些概念的理解還正在發展當中，可以去看看XG Wen文章。

什麼XY model(頒獎詞裡面說成磁性薄膜，有點意思)，KT相變，量子霍爾效應，拓撲絕緣體，都是拓撲學在凝聚態物理裡面用的挺舒爽的例子。

最後說說對物理的意義。其實也很簡單，可以參考下群論之於對稱性，以及纖維叢之於規範場。拓撲學畢竟是一個比較高級的數學工具，一旦用起來可能不是開玩笑的。

第一次回答，請輕噴。

因為這幾位科學家首次用拓撲的概念去理解一些物理上發現的性質，並且他們的理論得到了實驗的證實。比如KT相變能很好地解釋二維的超導超流。KT相變與Haldane的理論預言都在14年得到了冷原子研究組的證實[1][2]。對物理學的意義最基本就是至少提供了一種理解物理性質的新的方式。

【1】Josephson junction arrays with bose-einstein condensates. Science, 293(5531):843–846, 2001.

【2】Experimental realization of the topological Haldane model with ultracold fermions. Nature,

515(7526):237–240, 2014.

Student1: People only pay attention to #the_1st_author.

Student2: Why?

S1: Who is the K in TKNN?

S2: I am sure T is Thouless, the 2016 Nobel winner, and I think K should be Kosterlitz, right?

S1: Well, now you know why I say so.

BTW, the K in TKNN is M. Kohmoto.

謝邀！

他們的成果大家都已經介紹了，上世紀70年代初，Thouless 和Kosterlitz推導了二維超流/超導體系中渦旋運動的理論模型並發現了一種奇特的相變。常見的有序無序相變中，相位關聯隨著距離的變化是指數衰減，可以用朗道相變理論來描述，而在B-K-T相變中，在低於相變溫度的時候，不同手性的渦旋受到束縛只能兩兩配對形成「准長程序」，該相變過程並沒有破壞對稱性，相位關聯隨著距離的變化變成了冪函數衰減，所以朗道相變理論是不適用的，他們的理論豐富了當時現有的認識。

二維超流/超導是實空間的拓撲元激發，TKNN所研究的是電子波函數在倒易空間（動量空間）中的拓撲分類，使人們認識到決定固體性質的不僅僅有能帶色散關係，還有波函數的結構（Berry相位）。他們找到了波函數相位變化時候的不變數（規範不變數），陳數，從此將微分幾何的理論等價到了凝聚態物理中，Thouless也用陳數解釋了量子霍爾效應（1985年諾貝爾獎），他的學生牛謙這方面有很多影響很大的後續工作。Haldane的導師是Anderson，他的數學功底很強，貢獻多多，首次在理論上提出了量子反常霍爾效應（不需要外磁場的量子霍爾效應），並在2013年由薛其坤團隊實驗發現。

理論都比較完善了，那麼自然界是否存在這類拓撲材料呢？這類二維體系的時間反演對稱必須被破壞，否則陳數為零（平庸態）。磁性可以破壞時間反演對稱性，但是大多數自然晶體是沒有磁性的。所以大家思考具有時間反演對稱的絕緣體系統是不是存在其他的拓撲不變數，這導致了拓撲絕緣體的誕生。05年Kane和Mele利用自旋陳數得出了這個拓撲不變數，Z2，Bernevig和張首晟幾乎同時用自旋陳數描述量子自旋霍爾體系並在次年提出了真實的二維HgTe-CdTe 量子阱是可能實現的拓撲絕緣體系，然後次年被實驗證實。

再然後付亮和Kane將拓撲絕緣體推廣到三維，再後面被推廣到金屬體系，比如最近炙手可熱的拓撲半金屬，文小剛等人用群論的手段對各種受保護的拓撲態進行了分類。在這些拓撲態的研究中，中國/華人科學家有著大量舉足輕重的貢獻，不一一而舉了。以上發現的都是新的物態，是對凝聚態物理現象更加深刻的認識，這些新的物態對拓撲量子計算、新型室溫低能、低耗散電子器件以及新型自旋電子器件具有非常重要的現實意義。由此可見這三位科學家對凝聚態物理領域的貢獻！

將數學理論運用於物理研究。

――2016諾獎物理學獎獲獎理由（我承認將300多字變為十幾個字會失真）。

具體就是指將拓撲學（數學理論）運用到相變（物理現象）的研究中來。

眾所周知，一般的相變（固液氣）憑藉肉眼也可以辨認，那為什麼要特意為拓撲相變在物理學中立一個名目呢？

原來，一般的物質都有其明晰的相變條件。當其在一定的外界條件（溫度，氣壓）時，就會有容易了解的相。而當物體在一些特殊情況下，靠溫度氣壓不能很好的判斷物體所屬的相。

當物體十分薄的時候，相位變化是一種超流體到正常流體的變化，在這種情況下，靠常規的溫度判斷已經無法了解物體的相位，而超薄物體因為其具有獨特的物理特性（可用於超導研究）被人們所關注，此時，就是拓撲相變大展身手的時候了。

鑒於超薄物體複雜的相位變化難以了解，物理學家便引入了數學拓撲學――在物體形狀變化時具有保留不變的性質――孔洞數量。也就是說，我們可以憑藉物體內部粒子的排列時形成孔洞數量來判斷物體的相，顯然要簡單許多。

用上圖的甜甜圈來解釋，無論我們將甜甜圈做成方形還是圓形，對甜甜圈加糖還是加鹽，都不影響其相，只有在甜甜圈上再開一個洞，或者一口將甜甜圈咬開減少其孔洞，才影響相。是不是很簡單呢？

綜上，用數學中的拓撲學使得物理中相變研究變容易，就是拓撲相變此次的獲獎原因。

至於對物理學界的影響，我想並不比之前的物理學獎大多少，但既然題主問了，我以為主要有以下幾點:

讓一個之前不那麼引人注意的學科（拓撲相變）變得引人注目，可能會加快超導研究，減小輸電損耗，減小能量轉換中的熵。

再次讓人們意識到基礎研究的重要性，而不只是著眼於物理學的實際運用。

還有最明顯的，自然是如獲獎理由所說，將數學原理運用於物理研究。彷彿多年前大家以為解析幾何無用，費馬大定理無用，而後發現居然可以應用於物理研究。再次激勵物理學家將數學和物理結合起來。

――當年的大數學家歐拉大概也不會想到，自己在哥尼斯堡對於七橋問題的研究居然能對物理學有這樣的助力（拓撲學始於歐拉的七橋問題）。

2016年諾貝爾物理學獎的383字解釋
獲獎者們展示了物質在寒冷或凝聚時的性質——比如說在低溫時的超導現象——可以用數學中的拓撲來解釋。
拓撲學是數學中學習對象在被拉伸、扭曲，或者變形時仍然保留的特徵。例如饅頭沒有洞，甜甜圈有一個洞，椒鹽卷餅則有兩個洞。沒有半個洞這種東西。如果你拉伸或扭曲它們，洞的數目不變。

利用拓撲學，Thouless, Haldane, he Kosterlitz 成功揭示了一系列謎題。例如，超低溫氦薄膜是如何改變物相，以及這些相變是如何改變了它們的性質的（例如導電性和磁性）。
Nils Martensson, 諾貝爾物理學委員會執行主席說：在理論之外，這一研究也使得科學家們開始發展新材料。這些新材料被稱為「拓撲絕緣體」，特徵是只在表面才導電。
這些拓撲絕緣體還沒有進入商業運用，但諾貝爾委員會和科學家們對這一技術未來在量子計算和其他可能應用的前景感到興奮。例如一種拓撲絕緣體，stanene ——基本上是單原子厚的一層錫——可以在高溫下以低電阻導電。科學家們希望有一天可以用stanene代替計算機中的銅製元件。

我對凝聚態物理學一竅不通（不是故意雙關的...），但是看到一篇報道，覺得還比較容易看明白，大概編譯如上。如有嚴重錯誤，敬請指出。

民科預警。下面是我僅看了一點大眾科學報道之後的感覺，搞不好完全是錯的。

這一發現厲害的地方可能在於提供了新的數學工具，來解釋以前不能理解的宏觀現象。

我們知道在微觀物理學理論的發展已經到了非常厲害的地步：薛定諤方程解得出來的話理論上可以極為精確地解釋（至少是地球上）任何系統的行為。但是一個個原子去測，測不出，更算不出（這被稱作多體問題：Many-body problem）。這就需要從微觀到宏觀的近似：如何用比多體波方程（解析解）更簡單的數學語言來描述和預測多體系統的行為。

原文鏈接：The 2016 Nobel Prize in physics, explained in 500 words

圖片來源：What is topology? Nobel member uses cinnamon bun, bagel and pretzel to explain

對Haldane chain稍微知道一些。

由於Berry相的存在，一維鏈在自旋為整數和半整數時性質不同。自旋為整數時形成Valence Bond Solid, 激發存在帶隙，邊緣態表現出半自旋。典型的例子有AKLT模型。自旋為半整數時，基態表現出臨界關聯，激發沒有帶系，類似於Resonance Valence Bond。例如Bethe ansatz給出的S=1/2解。

就像 @何史提所講的，拓撲概念的引入突破了原有的對稱破缺的相變範式，使人們意識到無序不再是簡單的混亂，而是可以擁有深層的結構。

拋磚引玉了。