關於納維斯托克斯方程？

01-04

在學習傳熱學的對流傳熱微分方程組的過程中，遇到了NS方程，式子中對加速度的公式是這樣寫的
實在是不明白為什麼這樣寫，然後我去翻了流體力學課本，然後看到了另一個疑問
為什麼A點的在y方向的分量是這樣呢？uy不是速度在y方向的分量嗎？對x求偏導之後不應該是零？

最後看了NS方程的結果，也不太能理解它的物理意義…謝謝

質點導數是某個質點上物理量的變化率，在流動狀態的歐拉描述中需要額外考慮質點的運動。

詳細推導參考wiki上material derivative

第一個疑問：

方程左邊是拉格朗日描述也就是牛頓物理中的質點描述法，描述的是一個流體微團（質點）在運動過程中路過某一點時的變化率；

方程右邊第一項是歐拉描述法，描述的是空間固定一點隨時間的變化率（假設流體是靜止的，任何一點的溫度也可以隨時間變化）；

後面的兩項目，速度也即單位時間運動距離，兩個偏導其實就是梯度，距離點乘梯度表示在單位時間運動了一定距離產生了變化率（假設任何一點的溫度都不隨時間變化，但是不同點可以有不同的溫度）。

綜合起來就是一個流體微團質點的變化率，等於當前這個位置的物理量隨時間的變化率與空間位置變化導致的變化率之和。

第二個問題：

uy確實表示M點的y方向速度，但是它並只是y的函數。流體中還是要用場論的觀點來看，任何一個變數及它的任意階導數都是t x y z 的函數。

第一個問題，我個人覺得Du/dt只是一種記號寫法，一般都要展開寫才好談具體的物理意義。

第二個問題，uy是M點的速度分量，A點速度=M點速度+M點速度在M-A方向變化率*M到A的距離

明顯流體力學第三章沒學好，拉格朗日描述法和歐拉法還沒區分清楚呢

謝邀，題主的問題，非常複雜，一言兩語說不清。我假定你學習過基本的力學。假設你是交警，你查汽車超速你怎麼辦？一種辦法就是跟著車跑，然後看這輛車的速度是吧？這種辦法就是通常力學裡面思考問題的方法，總是把研究對象當做剛體，然後取某一點的特性，比如速度，這種方法稱為拉格朗日描述，但是流體力學中研究某一點的速度意義不大，我們需要研究場，MD，場又是什麼jb東西，你可以理解為空間每個點的樣子，比如路口不斷拍攝路況的攝像頭，一張張交通路口汽車運行狀況相片就是一個個場。回到交警這個問題，實際上沒有哪個交警那麼傻，跟著某一輛車跑，然後測出速度，而是蹲點，你坐在路邊樹蔭下，拿著測試器測速，哪輛車超速你就罰誰是吧！這就是流體力學的思想，不跟蹤某一個點，而是取空間點，然後拍相片，研究整個場，這就是所謂的歐拉描述。先回答什麼是NS方程，其實說白了就是質量守恆定律和F=ma。那麼為什麼這兩個定理你不認識呢？因為我們高中、大學物理力學是拉格朗日描述的，而流體力學是歐拉描述的。說白了本質上是一個東西，只是描述方法不一樣，有點像自動控制裡面的時域和頻域。既然存在兩套描述方法，那麼需要在兩者之間建立起橋樑，這個橋樑是什麼呢？也就是你的第一個問題的答案：隨體倒數（物質倒數），你看到的只是速度U的隨體倒數而已，實際上遠遠不止U，這個U可以換成其他任意流體物性。你的問題：為什麼A點的在y方向的分量是這樣呢？答案是：A點的Uy跟M點的Uy是不同的，Uy的確是y方向的速度分量，對x求偏倒不為零，為什麼為零呢，因為剛剛說了A的Uy和M點的Uy不一樣，A點的速度跟其他任意點都可能不一樣，那麼為什麼A的Uy與M點Uy為什麼不一樣呢，答案正是你第二張截圖中，第一個劃線的文字部分，流體微團內部有各種相對運動，這正是流體跟剛體/固體不一樣的，汽車上個點的速度是一樣的，而流體微團卻不是，因此dUy/dx不為零。推薦你看看哈工大王洪傑的流體力學視頻教程，應該有70多節課，如果沒有搞懂流體力學的思想，學起來很痛苦的，我認為這個教程難度適中，比較強調物理意義。推薦你一個網站：資源共享課 - 愛課程，這個網站有很多國家精品課程，好像也有傳熱學課程，你搜索一下哈爾濱工業大學看看，當然可能也有其他大學的流體力學課程，希望對你有幫助。

高等數學的多元函數求導聯規則罷了。流體微元的描述方法是歐拉方法，也就是類似江河湖海布置監測站一樣，監測站本身是不動的，測量流過這個不動點的流體信息。

你說的是什麼物理過程我完全不懂。但是，第一個方程很明顯是鏈式法則啊

$frac{du(x,y, au )}{d au} = frac{partial u}{partial au}frac{d au}{d au} + frac{partial u}{partial x}frac{d x}{d au} + frac{partial u}{partial y}frac{d y}{d au} = frac{partial u}{partial au} + frac{partial u}{partial x}u + frac{partial u}{partial y}v$

把函數先看作三個自變數的多元函數，再將三個自變數作為另一個自變數的函數代入，這種展開函數全（偏）微分的方法就叫做鏈式法則，這應該多元微積分的時候學到過吧。在這個問題當中，三個自變數其中一個就是時間，另兩個對時間求微分就是速度，所以就變成這種形式了。

第二部分跟上面那個方程並不是直接相關，不過的確有聯繫，平動的時候所有點只有第一項（所有點一致所以與坐標無關），線變形的時候所有點只有第二項（變形方向與位移成正比），轉動和角變形的時候只有第三項（變形方向與位移方向垂直），這樣可以將任意的運動分解成三個運動的線性和，雖然只是在這一個瞬間做出的分解。

假設在二維定常流中，流場中M點的速度分量為U=(ux,uy),如若設M點坐標為(0,0)，則A點坐標為(-dx/2,0),則由二元函數的泰勒公式得A點在y方向的速度分量為uay=uy-duy/(dx/2),(手機輸入不了偏微分符號額)，此處A點相對M點在空間中只有x方向的位移，自然uy相對A點只有x方向的泰勒展開。建議題主複習複習多元函數的泰勒展開公式，有助於你從數學的角度理解這個問題。

PS：ux,uy只是M點速度在x,y方向的兩個分量，其本質上都是關於x,y的二元函數，寫成是uy並不代表uy只是關於y的函數，希望題主始終記住這點(二維定常流)，其他類型的流體類似。

謝邀。

書上實際上是說清楚了的，而且是一致並不矛盾的。第一個是質點，就這個質是談質點運動，ux、uy都是該質點的。第二個是微團，A點的運動是考察微團中心M點的，ux、uy等等都是M點的，不是A點的。

後面兩項是速度場隨空間的變化率乘以質點的移動速度。這個是由於質點在空間上一動導致的速度變化。

流體的研究比較多的就是使用歐拉的觀點，所以才會出現物質導數(或者全導數)，基於歐拉觀點，因為我們研究的是流場，而不是單個的流體質點，所以每個固定空間點之間的速度是存在梯度的，在物理上成立，在數學上鏈式法則也可以說得通。因此也導致了非線性項的出現。

簡而言之，如果使用拉格朗日的觀點，就相當於研究每個流體質點，這樣和固體的運動是差不多的，也就不會出現後面的對流項。若使用歐拉觀點，則對整個流場研究，就會出現對流項。

參照系的問題。

注意：該方程描述的並不是質點的運動，而是場的特徵