如何從物理意義上理解NS方程？

01-04

希望有大神能形象的用通俗易懂的方法描述一下NS方程的對流項，擴散項，源項等。是否對於不同的項需要使用的差分方法也不一樣？

謝邀。前面的回答已經很詳細了。這裡補充一張圖。

方程的左端:

1.時間項

2.對流項

這兩項可以通過拉格朗日坐標系下動量對時間的全導推導出歐拉系下的表達式。在歐拉系下，時間項為偏導。

方程右端:

經典牛頓定律，動量的變化率等於作用力。右端就是各種力

1.壓力項

2.體積力

3.粘性力

NS方程就是牛頓第二定律的運用，依舊是在經典力學的框架下。

1. 對流項是由拉格朗日描述法轉為歐拉法而衍生出來的項。也就是從material derivative到spatial derivative。從物理的角度講，對流項說白了就是速度運輸速度自己。這可能也是為什麼在高雷諾數情況下會出現湍流這樣的混沌現象。

2.耗散項是由應力項化簡而得的。斯托克斯假設下，應力項為：

對於不可壓縮單項牛頓流體，應力項化簡為粘性切應力項（耗散項）和正應力項（即壓力項），即速度對於空間的二階導數。從物理角度上講，耗散項的根本來源是分子間的動量交換。

3.源項沒什麼好解釋，就是body force，如重力，以及其他的外力項，如浮力，二項流中的表面張力，等。

其實基礎的差分方法其實也就那麼幾種：向前/向後/中間差分。但是基礎的差分方法首先是精度不高，其次是會有很多潛在的問題。比如用upwind求解對流項會導致嚴重的數值耗散。因此，一般來說，對於對流項，先進的DNS採用WENO TVD-RK或者Adams-Bashforth，粘性項採用Crank-Nicholson ADI；求出這兩項後將其作為源項帶入壓力的泊松方程修正速度場使其divergent-free。更高級的還有利用Pade Scheme以此用到更多的網格點。

謝邀。大概從數學上寫一個思路吧，更深刻的理解要在學過相關數學及力學課程之後才能明白。

直接拿來3-d Navier Stokes Equation然後籠統地說各種作用，當然不容易理解清楚。我的建議是先從1-d nonlinear convection-diffusion equation先開始理解。

1、只考慮對流作用，忽略粘性項及源項，此時方程化為

u + u u_x = 0

即Burger"s equation。更廣義地來說，這類方程統稱為一階conservation law：$u_t + f(u)_x=0$。這類方程的主要特點就是物理量沿特徵線傳播，即所謂的「對流」。貼一個Burger方程的數值解吧：

可以看到，Burger"a equation對於初始波形進行傳播（平移，伸縮），但是並不會損失能量，即不會將波形耗散。

2、只考慮擴散作用，忽略對流及源項，方程化為$u_t=
u u_{xx}$，即熱方程。廣義來說，拋物方程具有如下形式：$u_t=L(u)$, $L$為橢圓運算元。一般情況下，該類方程對於初始條件進行耗散，隨時間增加，給定的任何初始條件都會被抹平（某些特殊情況除外）。但是熱方程是不存在對流的，也就是說沒有所謂的「特徵線」。熱方程的解一般長這樣：

3、源項。源項就好理解了，去掉其他項，方程變為$u_t=g(t)$，源項理解為每個時刻外部環境施加的作用引起的增長率（重力，化學反應等）。

這是幾個項單獨的特徵。粗略來說，Navier-Stokes Equation可以看成這幾種項的相互作用（當然還有壓強項）。在三維情況下，這種相互作用極度複雜，到現在為止人類仍然不能對此有充分的理解。

以上。

我對另一個類似問題如何形象地理解納維斯托克斯方程？ - 物理學的回答好象放在這裡更適合，希望對題主有幫助。

對於不同的項當然可以使用不同的差分方法，對時間相關項可以有顯式、隱式或者兩者之間，對傳輸（運移）項可以有中心、上風或者兩者之間，等等。

學了很多年了，覺得越說越打臉，看別人說還是挺有意思的。我覺得氣體動力和邊界層理論挺有意思的，適合進階。

1.Navier-stokes方程的推導方法很多。這裡說兩種，推導就是基於物理意義的推導：

1.1.一種是基於微團，對微團使用牛頓三定律，得到了微風方程；

1.2.基於控制體，利用物質守恆，動量守恆，能量守恆得到的積分形式，代表了守恆定律。

2.NS方程有多種變形，可以把速度等量用旋度等量代替得到渦方程。計算出來的結果更偏向渦場。

3.如果想要更深一步了解，建議去看看各種簡化NS方程的過程，這些過程包含對各個項的物理的解釋。

明天考水力學，考後更。