帶電粒子在重力和磁場同時作用下如何運動？

01-04

假設一個帶電粒子（大小不計）質量為 $m$ ，帶電量為 $+q$ 處於一個沿紙面朝內的磁場中，那麼他會做怎樣的運動（重力方向沿紙面向下）？這個過程中帶電粒子應該做加速運動，所以應該是要有電磁輻射的，怎樣把這個效應也考慮進去？

很有意思的一個問題，值得深入討論。

很多情況下我們考慮輻射場主要關注於輻射的能譜，時便不再關心電子如何運動。而求解電子運動時就不考慮輻射帶來的影響，主要原因是：麻煩。當然這樣回答題主不會滿意，由於之前的答主對非阻尼情況的討論已經比較完備了，接下來我便計算一下輻射阻尼的影響。考慮一般情況，同時存在電場和磁場（貌似這樣說也不嚴謹，電場磁場本就與參考系變換有關嘛！）

這裡用 $e$ 表示電荷，直接換成題目中的 $q$ 就行。

假設題主學過電動力學，知道標勢 $mphi$ 、矢勢 $m A$ 、洛倫茲規範、麥克斯韋方程組，那麼請看最後運動方程的詳細推導。如果沒學過就直接看運動方程和討論。

坐標系的選擇很重要！

一個電荷在其中速度很小的坐標系中，包含輻射阻尼的運動方程有如下形式：

$mdot{m v}=em E+frac{e}{c}m v imesm H+frac{2e^2}{3c^3}ddot{m v}+mm g$

只適用於阻尼力比外場作用在電荷上的力小很多的情況。

討論：

（1）

一般來說用阻尼力來描述電荷「對自己」的作用是不能讓人滿意的，而且包含矛盾。在沒有外場存在時僅有力作用於電荷上

$mdot{m v}=frac{2e^2}{3c^3}ddot{m v}$

除了平凡解之外便是 $vpropto { m exp}(3mc^3t/2e^2)$ ，即隨時間無限制增加，即「自我加速」，這種謬論反映了該方程的局限性。因此需要強調 只適用於阻尼力比外場作用在電荷上的力小很多的情況。

另一方面, 討論一下這一條件的物理含義（半定量）

在粒子在給定時刻靜止的坐標系中（討論電磁阻尼的適用條件，就不要重力了），有

$mddot{m v}=edot{m E}+frac{e}{c}dot{m v} imesm H$

將 $dot v=em E/m$ 帶入（精確到同樣量級）得

$ddot{m v}=frac{2e^3}{3mc^3}dot{m E}+frac{2e^4}{3m^2c^2}{m E} imesm H$

如果 $omega$ 為運動頻率，則 $dot {m E} approx omega m E$ ,上面方程的第一項與 $frac{e^3omega}{mc^3}E$ 同量級；第二項與 $frac{2e^4}{3m^2c^2}EH$ 同量級。利用阻尼力比外場作用在電荷上的力小很多這一條件和第一項，得到

$frac{e^2}{mc^3}omega<<1$

或者引入輻射波長，得

$lambda>>e^2/mc^2$

即，僅適用於落在電荷上的輻射波長比經典半徑大很多時。經典半徑即為電動力學內在矛盾的界限。

利用第二項，得到

$H<<m^2c^4/e^3$ 或 $c/omega_H>>e/mc^2$ . 因此場本身不能太大。

與 $m^2c^4/e^3$ 同量級的場也是經典電動力學內在矛盾的界限。

（2）

這是關於 $m v$ 的二階方程，可以按三個分量求解，有時間題主可以給定初始條件，嘗試在mathematica上面解一下。

（3）

對於相對論情形下（粒子速度接近光速）的輻射阻尼，可以由電磁場張量 $F_{mu u}$ 和四維速度 $u_{m}$ 得出（不推導！）。

$m f=frac{2e^4}{3m^2c^4}(F_{kl}u^l)(F^{km}u_m)m n$

其中 $m n$ 為速度方向的單位矢量。

（4）

在量子力學，求解電子在電磁場中的薛定諤方程可以得到很多有趣的現象。比如：朗道能級、Aharonov-Bohm效應（AB效應）……

完整的描述應該要用到量子電動力學，還沒學過，不多說。

（5）

在高中和大學物理看似很簡單的問題，其實可以深入探究嘛！另外題主可以考慮一個問題，相對論運動的帶電粒子在正交的電磁場中，如果不考慮輻射的影響，運動還是擺線嗎？

關於方程一的推導（參考資料為Landau《場論》）：

見過一個厲害的做法，換參考系（和原來參考系之間有勻速平動）。

利用到經典情況力在慣性系下變換不變下的電磁場變換：（當然也可以直接上狹義相對論變換，結果是一樣的）

$F_{2}=F_{1},q_{2}=q_{1};v_{2}=v_{1}-u$

洛倫茲力公式：

$F_{1}=q(E_{1}+v_{1} imes B_{1}); F_{2}=q(E_{2}+v_{2} imes B_{2})$

對任意速度 $v_{1}$ 成立，化簡得到：

$E_{2}=E_{1}-u imes B_{1}$

$B_{2}=B_{1}$

一個本來只有磁場+重力場的參考系可以得到磁場 +電場+重力場的參考系，適當選取u使得重力和電場力抵消了，只有磁場力的一項，所以繞圓周運動。

回到原來參考系，就是圓周運動+相對速度的平動。

好吧，沒學過電磁輻射，不知道能不能用換參考系的方法解決電磁輻射的問題。

這個方法和那個假象速度的方法表達過程類似（個人認為假象速度明顯就是解微分方程才湊出來的，類似小學算術題是用方程思想倒著寫回去），當初看了好久沒看懂，後來看到這個電磁場變換，眼睛都亮了。

考慮電磁輻射確實有點難度，我也不會算，如果考慮電磁輻射，那麼應該相當於帶電粒子運動時會受到電磁阻尼，也就是說帶電粒子的能量會衰減，但是具體的就不知道怎麼算了，可能要上相對論。但是上了相對論就麻煩了，連時間都不統一了，可能還得用廣義相對論才能算了。

簡單計算的話，假定帶電粒子開始運動時刻位於坐標原點 $(0,0)$ ，初始速度為 $0$ ，在時刻 $t$ 的坐標為 ${f r}(t)=left(egin{array}{c}x(t)\y(t)end{array} ight)$ 。那麼可以列出方程 $m{f g}+qdot{f r} imes{f B}=mddot{f r}$ ，寫清楚點兒就是