張量的數學與物理意義是什麼，張量的特性與優勢是什麼？

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比如向量的數學意義是空間中的有向線段，矩陣是向量在空間中變換的操作，那麼張量的數學意義或者說數學本質呢呢，為什麼張量的一個方向裡面還要派生出方向？張量存在的物理意義又是什麼呢，為什麼在彈性力學，流體力學中廣泛使用張量，張量的什麼性質符合了什麼物理量的性質才使它如此強大？張量的哪些性質決定了它的哪些優越性？為什麼說張量可以不受坐標系影響？

小學課本上畫楊桃的故事每個人都聽過，一個楊桃在不同角度看，就會呈現不同的樣子。有些物理量也是一樣的，它在不同的角度看就會有不同的數值。比如對於一個矢量，你的基底變化了，矢量的表示也會變化。但是矢量的長度永遠不變。

楊桃還是那個楊桃，物理量也還是那個物理量，但是一旦你換了個角度看，楊桃的形狀就變了，物理量的數值也就變了。

那麼如果一個物理系統沒有一個更好的觀察方向，或者說我們需要頻繁的變換我們的視角的時候，應該怎麼把握一個胡亂變化的東西呢？

你要記住，楊桃和物理量本身都是不變的，變的只是它在你眼中的形象。

於是張量就出現了，它將視角變換時候的變換關係作為張量的定義，看似在亂七八糟變，實際上只有滿足這樣的變換關係，它才是不變的！

研究一個看似亂七八糟變，實際上不變的東西，就是張量分析。

我借二階張量與矩陣的聯繫與區別說一說。

1，二階張量可以用矩陣表述，但也可以不用矩陣表述，而僅僅給出一排數字(九個數字排在一起，兩者均要要指明這九個分量是聯繫，什麼與什麼的)

2，如果用矩陣表述二階張量的話，矩陣會在不同坐標系下，發生改變，但我們認為這個張量從來沒有改變過。

3，所以張量可以認為相當於一個矩陣的集合，在這個集合內，各個矩陣可以通過旋轉坐標系而轉換。旋轉坐標系，並不改變這個集合里的元素，也即張量不改變。

4，張量的數學定義，暫時只見過兩種，一種是通過張量變換率，一種是通過多重線性映射。

張量反應的事物的核心，比如對於一個橢球，張量就告訴你，三根軸向截距為多少，這個橢球就唯一確定了，而對於這個橢球如果建立坐標系，用二次曲線(矩陣)去表述，肯定會因為坐標系選取不同而表達式不同，但為什麼我們還用建立坐標後的二次曲線(矩陣)來刻畫張量呢??因為通過具體的二次曲線，我們就可以得出三根軸向截距為多少，也就是反應出了張量。

——希望對親們有幫助吧–

一些初等的理解

1. 線性空間和對偶空間若干直積上的多重線性型

2. 高度概括性使得一些表達十分簡潔，如多變元函數的泰勒公式，還有用張量中顯然的結論去證明行列式的拉普拉斯展開簡直醉人，要知道我在剛學行列式時證拉普拉斯展開用掉了整整兩大張草稿紙。

3. 通過分類成對稱型和斜對稱型兩大類的直和可以像研究線性運算元一樣研究它。特別是對斜對稱型的研究可以更好地理解微分形式。

物理上，可以像理解一個數一樣的理解一個張量，使得甚至在一維情況下的研究可以很輕鬆地推廣到高維相空間。

@KGB 說是 多重線性泛函

「This definition takes a tensor to be a function which eats a certain number of vectors(known as the rank) and produces a number. The distinguish characteristic of a tensor is a special property called multilinearity.」

摘自 Nadir Jeevanjee 寫的 An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists.

受矩陣的影響，之前理解張量總把它想像成一個數陣，這對於二階來說並不影響使用。但是最近正在看場論的書，裡面提到了高至四階的張量和對偶張量的性質，立馬毛爪了。對於張量最為準確的描述應該是「多重線性泛函」。

一個 $(r, s)$ 型的張量是一個定義在向量空間 $V imes dots imes V imes V^{*} imes dots imes V^{*}$ ( r個V，s個 $V^*$ )上面的泛函，記為 $T_r^s(V)$ .

進一步說明，令 ${e_i}_{i=1dots n}$ 表示 $V$ 上的基， ${e^{i}}_{i=1,dots n}$ 為對偶基， $v_p$ 向量的第 $i$ 分量記為 $v_p^i$ , 對偶向量 $f_q$ 第 $j$ 分量為 $f_{qj}$ , 利用Einstein求和法則，張量的作用可以表示為

$T(v_1,dots,v_r, f_1,dots,f_s)=v_1^{i_1}dots v_r^{r_i}f_{1j_1}dots f_{sj_s}T(e_{i_1},dots,e_{i_r},e^{j_1},dots,e^{j_s})=v_1^{i_1}dots v_r^{r_i}f_{1j_1}dots f_{sj_s}T_{i_1,dots,i_r}^{j_1,dots,j_s}$

其中張量的「成分（components）」定義為

$T_{i_1,dots,i_r}^{j_1,dots,j_s}=T(e_{i_1},dots,e_{i_r},e^{j_1},dots,e^{j_s})$

舉個例子，經常用到的 $(3, 0)$ 形式的Levi-Civita tensor $epsilon_{ijk}=epsilon(e_i,e_j,e_k)=(e_i imes e_j)cdot e_k$ ，分量就很容易寫了吧。

關於物理含義，繼續舉例子，理論力學裡面的慣量張量 $I$ 就是一個 $mathbb{R}^3$ 上的(2,0)型張量，作用在角速度上得到轉動能：

$frac{1}{2}I(omega,omega)=E$

這個問題我只能用目前的認識回答一點：

1，我們學習的空間中的矢量就是一階張量，一階張量就是一個不變數，它就是空間的一個有向線段，是一個不變數，不隨坐標系變化，0階張量（標量）也是如此。

2，二階張量說起來有點抽象，舉一個簡單例子，三維空間中有一個矢量，我們建立一個對應函數，將該矢量映射為空間中的另一個矢量，這種映射關係就是二階張量。

二階張量可以說就是一種變換關係，還比如我們建立兩個坐標系，那麼同一個矢量在新系和舊系中表達的分量是不同的，那麼它們在新舊坐標系中沿坐標分解的量就有一個對應關係，這種對應關係也就是二階張量，而且一旦這兩個坐標系確立了，這種對應關係是不變的，即任意矢量都滿足這個二階張量變化關係，這一點你可以用新舊基矢來理解。這樣不知能否理解二階張量是不變數，對於空間中的任意矢量，都可以被二階張量映射到空間的另一個矢量。這種映射函數是唯一確定的。

3，那麼應力張量應變張量，又表示什麼意思呢？應力張量，描述一個點的應力狀態。比如我們看一個物體的內力，會剖開一個面來研究。那麼這個面上就存在一個應力矢量T，而且剖的面不同，矢量T是不一樣的，也就是說面的矢量N。現在問題也就明朗了，對於一個N如何描述T呢？由二階張量的性質，可以知道，給定一個N映射到T，T=σ.N。應力張量是唯一的，它就是一個映射關係，將任意麵元法向量，映射到應力矢量，因而可以用來描述該點的應力狀態。

也可以結合我們學過的線性代數內容。

我來問下，一般的齊次二次型可以寫成一個豎著的向量X乘一個矩陣M再乘一個橫著的向量X『；那麼齊次三次型，中間的M用矩陣就表示不了了吧？那是不是就是張量呢？

按照我目前的從物理方面的理解來說，張量的分量相當於觀測值，而張量本身相當於物理量。

對於一個物理量可以有不同的參考系來觀測，觀測值一般隨參考系變化而變化。

不變的是用於描述各種觀測值之間關係的公式（物理規律、方程），方程的形式總是不變的。

而描述一個物理量自然在知道一個參考系中的觀測值後需要知道所有參考系中的觀測值，也就是變換規律。分量按變換規律變換，要使得物理方程的形式保持不變。

張量可以描述多個自由度，與方向無關，自由度是本質；

張量的引入還與彎曲空間有關，物理量不再是屬於平坦空間的；

張量在坐標變化下，會變，變換規則簡單，他代表的物理量不變；

與外微分形式合在一起的話，就是坐標變換也不變了。

張量在力學裡面的運用主要是用它的表達方式，簡化高維的表達。張量最初的起源應該可以從廣義相對論開始，坐標的變換會引起觀測的時空的變換。張量跟隨坐標系變換的不變性質讓它有了神奇的特點

終於看到這個問題了，想說兩句，還是算了，沒啥發言權。請看以下兩本應該是最好的張量課本之二：

James G. Simmonds 的 A Brief on Tensor Analysis, Springer出版社。

張量分析分析及在力學中的應用，余天慶等編，清華大學出版社。