如何從量子光學出發，給出波動光學中經典電磁波的電、磁場分量，以及光強等概念的量子對應？

01-04

相關問題：
1.能否利用經典電磁理論中「電偶極子輻射模型」解釋原子的自發輻射與受激輻射？ - 物理學
2.既然光是一種高頻的電磁波，那麼我們能否通過LC振蕩電路進行發光？ - 物理學
從波粒二象性的角度講，光既是電磁波，又是光子。從量子理論來看，所謂「電磁波」就是具有波粒二相性的光子流，其運動及其之間的相互作用服從量子力學規律。而根據經典電磁學，電磁波就是由同相振蕩且互相垂直的電場與磁場在空間中以波的形式的移動。

想知道
如何從量子理論出發，給出電磁波（光子流）的電場、磁場分量，以及由經典電磁學得到的光強等波動光學概念？
量子光強 $I=Ncdot hupsilon$ 與經典光強 $I=E^{2}$ 是如何對應起來的？

．

　　挖個坑，慢慢填。

　　我現在水平也不能完全的回答這個問題，隨著學習將來一點一點的填吧。

　　自由電磁場一般有兩種量子化方式，一種是駐波量子化，一種是行波量子化。

　　駐波量子化：

　　你可能知道，在一個長方體的導體腔中，因為滿足邊界為0的邊界條件，根據數理方程，解出的電場是一個正弦餘弦乘積的形式。具體表達式我忘了。為了簡單我只考慮波矢量沿著z軸偏振方向沿著x軸的一維情況。這種形式的駐波量子化後就是：

$E_j(z,t)=E_jsin(k_jz)[a_je^{-iw_jt}+a_j^+e^{iw_jt}]$

磁場不寫了。

$a_j^+,a_j$ 是電磁場這個模的升降算符。等號右邊的 $E_j$ 是一個常數，為 $sqrt{hbar w_j/Vepsilon_0}$ ,V是光腔體積， $epsilon$ 是真空介電常數。等式兩遍省略了x方向的單位矢量....

　　行波量子化：

　　如果物質具有周期性結構，根據周期性條件可以解一個數理方程，然後解量子化後就得到行波量子化。

$E_j(r,t)=i e_j E_j{a_j e^{-i(w_kt-k_jcdot r )} -a_j^+e^{i(w_kt-k_jcdot r)} }$

　　這裡 $E_j$ 變成了 $sqrt{hbar w_j/2Vepsilon_0}$ ，當然對於大概了解這些都是細節，不重要....

　　另外無限空間的電磁波一般都是按行波量子化的。這個我不太清楚為什麼。問過一個朋友，據說不是因為原則問題，就是因為方便。目前我也不知道為什麼方便。

　　總之你看到的原子和量子化的電磁場作用，裡面電磁場的表達式一般都是這個：

$E_j(r,t)=i e_j E_j{a_j e^{-i(w_kt-k_jcdot r )} -a_j^+e^{i(w_kt-k_jcdot r)} }$

　　還有個細節說一下：根據我的理解，上面這些電磁場的表達式，左邊都是相互作用表象下的電磁場算符，然而右邊的升降算符，都是薛定諤表象下的。當然只是做科普了解的話不必在意這些細節。

　　不管是行波量子化還是駐波量子化，哈密頓都是 $H_j=hbar w_j(a_j^+a_j+frac{1}{2})$ ,恩，一眼就看出了就是簡諧振子的哈密頓咯。所以一樣的，能量本徵態和粒子（光子）數態是對應的，某個模的光子數算符就是 $a_j^+a_j$ 咯。

　　然後經典電磁場是什麼呢？我們知道，經典物理量一般就是對應著量子裡面對應的物理量算符的平均值的。比如量子力學裡面的動量在某個態下，有50%的概率取到1.0002,50%的概率取到1.0004,那麼經典里對應的動量就是1.0003。而實際測量的值和這個值有一個偏差，這個就是「量子漲落」。

　　根據這樣的概念，我們求電磁場算符的平均值就可以得到它對應的電磁場振幅，而求（電磁場的平方的平均值－電磁場平均值的平方）開根號，就可以得到漲落了。

能否利用經典電磁理論中「電偶極子輻射模型」解釋原子的自發輻射與受激輻射？ - 物理學

　　處理受激輻射（激光），因為輻射很大可以近似認為是「經典」的（這個叫參量近似），因此只要考慮經典電磁場和量子化的原子相互作用就行了。自發輻射，因為外界電磁場處於真空態，這樣的態在經典里是沒有對應物的，因此必須用量子化的電磁場和量子化的原子作用來處理。

　　「這個問題在光學內部以及相關的工程技術上可能沒有多大意義」。

　　感覺我的工作一下就變得沒有意義了（淚）。其實肯定還是有意義的啦。比如在做高精度探測時，電磁場的量子漲落影響是非常大的，可不是沒啥意義的問題。要是沒意義也不會教材上被研究的那麼詳細了。當然要是做相機的話確實沒啥意義＝　＝。

　　題主對這個問題感興趣的話，可以看一下張智明出的《量子光學》。今年２月份出版出的，我今年７月無意中發現，相見恨晚。

關鍵是粒子數算符和場算符是不對易的

=======================

這個問題確實有一些蛋疼，在我學場論的早期(其實也就兩三個月以前)也確實想過，但是後來被截面淹沒，不知所措，這個問題想的確實不是很多，在此扯點我個人的想法. 這個問題確實需要考慮粒子數表象和場算符的表象, 在這種時候我認為正則量子化是比路徑積分量子化更好的表示方法. 我覺得凝聚態場論里常用的二次量子化那套東西更容易說清楚這個問題. 水平不高請多指教.

由於電磁場的計算較為複雜, 我覺得從一個 Baby Problem 就可以看出來怎麼回事. 所以不如說先從一個簡單地無質量 1+1 量子場論出發(其實就是一維聲子, 注意閔可夫斯基度規):

為簡便, 考慮有限體積, 周期邊界條件的情況, 傅里葉變換退化成傅里葉級數. 先寫出積分之後的拉格朗日量為

此時我們可以把每一個 phi_k 作為一個正則坐標來進行討論. 哈密頓量通過勒讓德變換得出:

選取下面的量子化條件

進行正則量子化, 可以定義聲子的產生湮滅算符

滿足玻色子的代數結構. 這樣的話, 很容易就能得到一個熟悉的哈密頓量的表達式

此時每個模式上的聲子數算符就寫成了

而場算符本身可以寫成

因此很容易驗證場算符和粒子數算符的對易關係為

因此場算符和粒子數算符不對易, 不共享本徵態.也就是一個well-defined的單光子(聲子)態不可能對應一個經典的波動的分布, 而是很多經典分布的一個疊加(不是波動的經典疊加, 而是每一種波動對應的量子態的疊加). 但是對於一個單光子態可以定義一個場的空間分布的期望

計算不難, 留為作業. 請有興趣的讀者自行驗證(大霧)

電磁場同理, 把場算符換成電磁4-矢勢. 不過直覺告訴我, 期望值為行波的量子態應該是光子數的相干態而不是本徵態.

這個問題等價於: 量子物理如何退化到經典物理? 特別地, 請以電磁場為例進行論述.

這個回答著重於從理論構建本身理解這個問題. 至於實驗上量子系統怎麼退化到經典系統, 比如單光子的性質如何回到經典電動力學力學的某些性質, 這是同樣重要的問題, 但不在本回答中討論.

我們如何構建一個量子理論? 在量子力學/量子場論中, 最常見的兩種量子化方法是: 正則量子化和路徑積分量子化. 在兩種情況下令 Planck 常數 $hbar o0$ 都可以回到所謂經典極限.

正則量子化: 比如考察最簡單的標量場的正則對易關係 $[hat{phi}(x),hat{pi}(y)]=ihbardelta(x-y)$ , 其中 $hat{phi}$ 是場算符, $hat{pi}$ 是其對應的正則動量. 令 $hbar o0$ 則算符之間的不對易性消失. 這時已經可以將算符當作數. 對於自由標量場, 我們有算符的 Heisenberg 運動方程: $frac{partial^2{hat{phi}}}{partial t^2}=( abla^2-m^2)hat{phi}$ . 在 $hbar o0$ 的極限下, $hat{phi}$ 變成數, Heisenberg 運動方程就退化成相對論型的波動方程.

對於電磁場, 情形是類似的. 只不過因為電磁場是規範場, 有額外的規範固定問題, 所以技術上更為繁雜. 但精神都是一樣的: 令 $hbar o0$ 則算符之間的不對易性消失, 電磁場的場算符 $A$ 的 Heisenberg 運動方程退化為經典電動力學的 Maxwell 方程組. (當然嚴格說來要"積掉"與電磁場相耦合的物質場. 比如 QED 的樹圖可以給出 Coulomb 勢. ) 具體細節請參考 Weinberg 的 The Quantum Theory of Fields Volume I 的第八章.

路徑積分量子化: 此時兩個不同量子態之間的躍遷矩陣元正比於 $expleft(frac{i}{hbar}S ight)$ , 其中 $S$ 是作用量. 當 $hbar o0$ 時, 指數上 $i$ 之前的因子變得很大, 路徑積分時因為相位振蕩很快會有很明顯的干涉相消, 只有在 $S$ 的駐值附近對積分有非零貢獻, 這就是快速振蕩積分的駐相法(Stationary phase approximation). 而求駐值的 $delta S=0$ 正是經典物理中的最小作用量原理, 給出經典運動方程.

有了 Maxwell 方程組我們就得到了整個經典電動力學, 也就得到了題主關心的一切經典物理量. 事實上, 任何量子理論都是和經典理論自洽的, 因為從邏輯上我們總是從某個經典理論出發, 通過量子化的手續將其變成一個量子理論. 量子理論不是憑空掉下來的, 只能從經典理論量子化得來.

這是一個很值得思考的問題，回答這個問題需要對量子場論和經典物理圖景有個清晰的對應。

首先說一下，量子力學裡是沒有定義很完善的光子的，沒法量子化光子，只有半經典的圖像，所以說我們不得不到量子場論中考慮問題。

其實讀出電磁分量，也就是讀出它的場強張量。而它的場強張量在量子場論中是一個算符。如何得到一個算符對應的物理量取值呢？

1.被物理態兩邊一夾，求平均值。

2.求它的本徵值，然後讓物理態依照本徵值分解成本徵態的疊加。

兩種方法各有利弊。

當然這只是理論上，實踐上估計很難算出個結果（我沒算過）。而且這時候電磁場的值已經沒有什麼意義了，有時候需要接受更新的形式的時候，就要稍微open一些啦。

謝邀。

至少在我看來，這是非常非常好的問題，我發現你總能非常好的問題，作為答主我先對題主表示感謝！

不過非常慚愧，我覺得以我的功力不能徹底回答這個問題，至少我對自己的回答並不完全滿意。不過既然你邀請我，我還是想說兩句：

從實用的角度，能夠解釋和預言實驗現象是物理理論的根本目的，因此每一個理論都有自己的適用條件，在其適用條件下能夠解釋和預言現象，這個理論就是成功的。所以到底哪個理論是對的這樣的說法並不十分恰當，哪個理論更適合某一個具體問題就應用哪個理論，這個「更適合」是指在滿足具體問題需要的精度下儘可能的簡潔，儘可能容易計算，容易理解，等等。

題主問「如何從量子理論中得到（看出）電磁波（光子流）的電場、磁場分量？」我覺得量子理論可能不需要有經典的電場磁場分量這樣的概念，一切用量子態搞定就行了，光子作為一切電磁相互作用的載體（見後面量子場論的描述）。

「如何由經典電磁學得到的光強等波動光學概念？」光強這個概念不就是經典電磁學時候就有的么？不太明白題主這麼問的意思，如果認為光是電磁波，那麼麥克斯韋方程組是該框架下的全部基礎。

如果題主進而想問的是量子物理如何解釋電磁場本身，這個問題我不懂，只知道要把電磁場量子化，要搞場的傅里葉分解blabla的，這個理論叫做量子電動力學（QED）。可惜我沒有學過，而且最近很忙，也沒有工夫去學。但願以後有時間系統研究一下。

所以下面我開始無恥地用自己都不懂的話回答別人的問題了：

光子（Photon）是一種基本粒子，是電磁輻射的量子。在量子場論里是負責傳遞電磁力的力載子。將電磁場二次量子化，得到電磁相互作用的本質都是光子的結論，這樣的光的量子理論能解釋我們目前看到的所有和光有關的現象。這個東西叫做QED（量子電動力學）。

維基百科「光子」詞條下部分內容摘錄如下：

二次量子化[編輯]
主條目：量子場論
不同的「電磁波模式」
可以被認為是彼此獨立的諧振子，一個光子對應著該種模式的對應能量的最小單位 $E=h u$
1910年，彼得·德拜從一個相對簡單的假設推導出了普朗克的黑體輻射定律[82]。他成功地將一個諧振腔內的電磁場分解成其傅立葉模式，並假設了每一種模式的能量都是 $E=h u$ 的整數倍，將這些模式求和就得到了黑體輻射定律。不過，德拜的方法沒有能夠給出愛因斯坦於1909年得到的黑體輻射能量漲落公式的正確形式。
1925年，馬克斯·玻恩、海森堡和帕斯庫爾·約當對德拜的概念做了關鍵性的重新闡述。在經典理論中就可以證明，電磁場的傅立葉模式，這個由其波矢k和偏振態標記的平面電磁波的一組完備集合，和無耦合的諧振子的一組集合等價。在量子力學中，這組諧振子的能級可用 $E=h u$ 表示， $u$ 是諧振子的頻率。而下一個關鍵步驟就是證明電磁場的每一種傅立葉模式的能級都對應可用 $E=nh u$ 表示的具有n個光子的一個態，每一個光子的能量是 $E=h u$ 。這種方法給出了正確的能量漲落公式。
在量子場論中，一個可觀測事件的概率來源於對所有可能過程的概率振幅（一個複數）求和。在這裡的費曼圖中，概率等於振幅之和的模的平方。狄拉克在此基礎上做了進一步推導，他將一個電荷和電磁場的相互作用處理為引起光子能級躍遷的微擾，能級躍遷造成了光子數量的變化，但總體上系統滿足能量和動量守恆。狄拉克成功地從第一性原理導出了愛因斯坦係數的形式，並證明了光子的玻色-愛因斯坦統計是電磁場量子化的自然結果（玻色的推導過程正好相反，他在假設玻色-愛因斯坦統計成立的條件下導出了普朗克公式）。在狄拉克的時代，人們還不知道包括光子之內的所有玻色子都服從玻色-愛因斯坦統計。
狄拉克的二階微擾理論會涉及到虛光子，虛光子可以認為是極短暫的電磁場的中間態，如靜電場或靜磁場中的相互作用就是由虛光子來傳遞。在量子場論中，可觀測事件的概率振幅是由對所有可能的中間態求和得到的，包括那些沒有物理意義的態。這樣虛光子並沒有如 $E=pc$ 這樣公式的約束，而且可能會存在兩個以外的偏振態，在某些規範條件下光子可能會有三個甚至四個偏振態。儘管虛光子不能被觀測到，它們對可觀測事件的概率的貢獻是可以測量到的。當然，二階微擾以及更高階的微擾在數學上會使求和的結果無限大，對於這種不存在物理意義的結果解決的技巧是重整化。其他種類的虛粒子也能夠對求和產生貢獻，例如在兩個光子的相互作用中的虛電子-正電子對。
在現代物理的符號系統中，電磁場的量子態是用一個福克態來表示，這是每一種電磁場模式對應的量子態的張量積。。。。。。

算了，越說越暈，還是坐等高手科普吧。

大概寫下量子光學中對光子量子化的思路吧, 我看的兩本Mark Fox和Scully的書都是這樣引入的:

對於一個電磁場模式而言, 我們把這個電磁模式的總能量寫出來, 發現其形式和量子力學中的諧振子一樣, 電場和磁場分別充當 $x$ 和 $p$ 的角色, 於是我們就可以將電磁場的一個空間模式看成是由電場和磁場構成的諧振子. 量子諧振子, 其能量是分立的, 哈密頓量的本徵值(可以理解為可以取到的能量值, 對應經典光學中的光強)為:

$E_n=(n+frac{1}{2})hbaromega$

對應過來, 上式中的 $n$ 就是這個電磁場模式包含的光子數, 這個量子態 $|n angle$ 稱為Fock態. 很容易發現, 就算 $n$ 是0, 這個諧振子的能量也不為0, 這就是所謂的零點能, $|0 angle$ 稱為真空態. 雖然沒有光子, 但這個電磁場模式的真空態依然會造成一些可觀測的物理現象.

隨便說幾句，不必認真。量子以概率波的形式存在，而一個光子的空間電磁場分布，量子力學是無法解釋，也不屑於解釋的。一些被廣泛接受的概念也未必是堅實的。原子在定態之間遷越時，輻射或吸收出有限的能量，這個可以理解，但傳播的過程中卻未必要量子化。光子的概念是愛因斯坦提出的，和波的干涉結合後，產生了最神秘的量子糾纏等問題，對此，愛因斯坦也深表懷疑。輻射的非光子解釋，或許能解決這些矛盾。