三角形穩定性的本質是什麼？

01-04

直觀很好理解，但這究竟是一個什麼定義？本質是什麼？
是物理上的定義還是數學上的定義？
什麼樣的圖形才具有穩定性？

數學上來說，是指判定三角形全等的邊邊邊（SSS）法則

給定三條邊長，三角形就確定了，包括夾角

四邊形不能，比如說正方形和普通的菱形可以做到四條邊都相等但夾角顯然不等

物理上來說，是指三維下的剛體有6個自由度

稍微解釋一下什麼叫自由度

自由度是確定系統在空間中的位置所需要的最少的坐標數

比如說，三維空間中，一個點的空間位置可以由 xyz 三個坐標來確定，自由度是3

兩個無關的點的位置，由 $x_1$ $y_1$ $z_1$ $x_2$ $y_2$ $z_2$ 共六個坐標來確定，自由度是6

……

N個無關的的位置，由3N個坐標來確定，自由度是3N

但是，如果幾個點之間有聯繫，那麼自由度數目就要減少

比如說，兩個點之間的距離是固定的，那麼就是增加了一個約束條件

比如說 $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2=l^2$

或者寫成 $x_2=x_1-sqrt{l^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2}$

也就是說，只要知道了 $x_1$ $y_1$ $y_2$ $z_1$ $z_2$ ，就知道了 $x_2$

這樣，本來是6個自由度，變成了5個自由度

顯然，每一個約束條件都要相應的減少一個自由度

對於N邊形來說，N個頂點有3N個自由度，每個邊長都是一個約束條件，減去N個邊長，有2N個自由度

由2N=6得N=3

所以「三角形」的穩定性只適用於剛體，或者說確定邊長的情況，像軟繩就不在其列

數一下自由度

每根桿5個自由度，三處連接幹掉3×3=9個

最後剩下6個，剛好是一個剛性平面

本質是物理的，邊的關係決定受力的情況。這部分我不太懂。

在數學上，各邊對應相等的n邊形，當且僅當n為3時全等。

手癢也想試試。其實和贊同數最多的一樣，只是在他的答案上稍加解釋：

首先，對於一個空間剛體有6個自由度，也就是，空間剛體，就拿鐵塊比如，它可以沿著x.y.z三個方向移動，也可以繞著這三個軸轉動，一共就是六個自由度；再說空間中的一條線段，線段同空間剛體有5方向自由度都是相同的，唯獨沿著線段方向，沒有轉動自由度，所以空間線段5個自由度！

再說，為啥是三角形是穩固的。一個三角形用三個點連接，這裡的連接在結構力學裡面為鉸接。打個比方，就像人的大腿和小腿之間的鉸接，沒有了膝蓋，大腿就是大腿，小腿就是小腿，完全可以分開，由於膝蓋連接，小腿可以動，但離不開大腿。這個連接就限制了一天空間直線的三個自由度(平面為兩個)。再來數，本來有15個自由度，現在3個鉸限制了9個，剩下6個，剛好是一個剛體在空間的自由度，也就是這三個桿剛好組成一個剛體！雖然在空間它是可動的，但本身確實穩定的！

結構力學裡面的幾何不變性

維度世界中越簡單的形狀通常都是越穩定的形狀. 二維世界除了線段與您能找到比三角形更簡單的形狀嗎? 另外三角形的三個頂點既可定義一個平面( 二維 ), 三角形所包含的三個角是被第三邊給鎖定的( 第三邊確定了二維中的 x y 兩個座標 [自由度] ).

平面幾何。

一條線段可以確定兩個頂點。

三條相連的線段可以能確認三個頂點。

但是三條以上相連的線段，無法通過任意一條線段的兩個頂點來確認第三個頂點。

這就涉及到如何證明兩個多邊形全等。

兩各多邊形全等，必然所有對應邊相等，所有對應角相等。反過來說，所有對應邊相等且所有對應角相等才是多邊形全等的充分必要條件。所有對應邊相等只是多邊形全等的必要條件，但是並不充分。

一個多邊形，一個頂點最能和兩個相鄰頂點相連，得到兩條邊長；這個頂點和其他點沒有邊長，連線是對角線。

三邊形它僅有三個頂點，任意兩個頂點都由邊長連接；是唯一沒有對角線的多邊形。

實際就是，只有任意兩頂點都有邊長的多邊形才是穩定的(三角形)。同理，只有任意兩頂點都有邊長的多面體才是穩定的(四面體)。

從空間穩定性來講，空間中三個位置隨機（不重合）的點，一定且只能確定唯一平面。

從平面穩定性來講，平面上的點唯有兩兩連接才能確定線段形成點與點間固定距離以達穩定，除去兩點的狀況，在其中取最簡，三角形。

三邊長度定了，三角形的形狀（彼此之間的角度）就完全確定了。只要長度不變，就沒有變形的餘地。

四邊形就不一樣了。

拿3根繩子做成三角形，照樣軟趴趴。所以材料性能對三角形結構是有影響的。只有材料的強度相對三角形的結點強度來說是剛性的，才能消除材料性能對結構的影響。當材料的性能和三角形的穩定性是相關的，那這個問題就是物理的，需要考慮材料性能對穩定性的影響。當組成三角形的桿件材料認為是相對剛性之後，那這個問題就變成了是數學的了。考慮三角形相對四邊形具有穩定性，首先在結構上要將桿件結點設定為鉸接，而非剛接。因為三角形和四邊形結構之所有穩定性的差別，就是在與組成結構的桿件之間的角度是否可以發生改變。如果是剛接的，那角度就是不可改變的，自然也就不存在這個問題。而當結點是鉸接的時候，三角形相對四邊形所具有的穩定性才能體現出來。因為桿件之間的角度是可以發生改變的。三角形結構之所以是穩定的，就是因為三角形三個桿件的長度在確定之後，所構成的三個角度就被鎖定了，無法改變了。這個性質是幾何決定的。而四邊形則不同，四個角的角度並不能因為四邊長度的確定而鎖定。同樣的，這個是幾何的性質。

在我們這，三角形叫結構，四邊形叫四連桿機構╰_╯

由三條不在同一直線上的線段首尾順次想接的圖形

自由度的問題

應該是內角和都為180° ，所以穩定

在△ABC中，∠A、∠B、∠C是三個內角．想要證明∠A+∠B+∠C=180°，也就是要想法證明∠A+∠B+∠C=一個平角．也就是想把三個角集中到一塊，用什麼方法好呢?

——這就需要用到平行線性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，等性質來證明。

證明方法一：

(1)延長BC到D (運用「線段可以延長」這一真實命題)

(2)過C點作CE∥AB。(運用「過直線外一點可以作已知直線的平行線」)

(3)∠A=∠1(運用「兩直線平行，內錯角相等」)

(4)∠B=∠2 (運用「兩直線平行，同位角相等」)

(5)∠1+∠2+∠ACB=180°(運用「平角的度數」)

(6)∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠C（運用「等量可以代換」）

(7)∠A+∠B+∠ACB=180°（運用「等量代換」）

證明方法二：

（1）過點A作PQ∥BC

（2）∠1=∠B(兩直線平行,內錯角相等)

（3）∠2=∠C(兩直線平行,內錯角相等)

（4）又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定義)

（5）∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代換)

證明方法三：

（1）過點A作PQ∥BC，則

（2）∠1=∠C(兩直線平行,內錯角相等)

（3）∠BAQ+∠B=180°(兩直線平行，同旁內角互補)

（4）又∵∠BAQ=∠1+∠2 (平角的定義)

（5）∴ ∠2+∠B+∠C=180° (等量代換)

以上的幾種思路，都是化歸思想的體現。就是在遇到新的試題，特別是沒見過的試題的時候，想辦法做輔助線，把問題變成過去熟悉的問題，三角形內角和如何能成為180°，便可以想到平角180°,可以把三角形內部拼成一個平角。利用各種輔助線達成目的。

因為兩點之間，直線最短。如果是4邊形，對角的兩個點因為兩者之間的距離沒有限制，會在一定範圍內波動。但是三角形每兩個點之間的距離都是確定的，不能變大變小。

固定一邊，你去拉或者壓第二邊，第三邊會拉或者壓第三邊，導致無法形變，而其他形狀由於邊數多而不存在這個制衡，這是我的感覺。。。。

三邊固定了

我想了想覺得是物理性的穩定在二維的空間中決定了三點就決定了緯度和空間的可能性所以它的這種定義變成了「穩定」但在更多維的空間或更多樣的維度這種定義不再充分也就失去穩定

弱弱的回答。。。我覺得就是只要三角形框架結實，他就不會變形啊。三個節點之間互相有作用力使其各邊不會分離。。

給定三邊長度，形狀唯一

不易形變

我覺得是物理上的。

同樣材料，邊長，粗細的情況下，受力時的應變小。

我的理解是，沒什麼原因就是這樣的，可以參考三權分立學說，也就是相互制衡，當然就穩定了（貌似世間萬物都是相互制約來達到某種相對穩定的狀態，這個應該是充分必要條件，可能最穩定的狀態就是其中每一個都互相制約），實際就是辯證法，太極學說，道德經，陰陽學說，五行學說，這應該就是自然界的道，我們只是發現了而已。3個點每個點都接觸到另外2個點，而4邊形以上的至少有2個點是不接觸的，根據上面的理論，4邊形只是一個暫時的穩定狀態，而三角形就是最高級別的穩定狀態了，好像所有點都互相接觸的形狀都挺穩定的。根據上面的觀察，還會發現，每一個點連接的形狀中的點越多，該點越穩定，得到的形狀也就越穩定，所以三角形是圖形是2維裡面最穩定的圖形，三稜體是3維見面最穩定的立方體，證明就不會了。