量子場論里的 Hilbert space 是什麼？有什麼物理意義嗎？

01-04

在量子力學裡，Hilbert space是波函數的空間，而波函數被賦予概率波的物理意義。量子力學薛定諤版裡面，波函數就是實實在在的定義在時空的函數，operator表示成微分算符。
如果用canonical quantization formulation的話
量子場論里場算符不一定是unitary演化了，如何解釋場算符的物理意義呢？依然是是概率詮釋？量子態的Hilbert space 是否有具體的表象？

學的時候一直沒有給出波函數和field operator和波函數的具體形式，只是說存在這樣的Hilbert space, 以及龐加萊群在這個空間上的representation.
由於某些原因我本科選了碩士課程，跳過了一些預備知識所以大家不要見怪。
PS:以上問題根據Minglei Xiao的答案做了糾正。

如果用canonical quantization formulation的話，量子場論里場算符不一定是unitary演化了...

場算符的演化按照 $varphi(m x, t) = e^{iHt} varphi(m x, 0) e^{-iHt}$ 這為什麼不是幺正的？

如何解釋場算符的物理意義呢？依然是是概率詮釋？

量子場就是體系的基本自由度了，相當於廣義坐標；從數學上講，它是一個算符值分布。算符與波函數的關係相當於統計上的隨機變數跟概率的關係。

它首先是量子化的場論，我們可以按照場論來理解它，譬如，我們可以研究場關聯函數： $langle mathrm T varphi(x_1) varphi(x_2) cdots varphi(x_n) angle$ ，這相當於擾動了量子場真空以後所觀測到的響應。由於量子化，我們只能討論期望值，不能直接討論場本身。一個合適的比擬是統計系綜，譬如一個格點上的Ising模型：在那裡廣義坐標是「自旋場」 $S_i$ ，我們討論自旋關聯函數 $langle S_i S_j angle$ 。

它又是量子力學算符。根據正則對易關係，在時刻 $t$ ，不同位置 $vec x$ 的場算符是對易的： $[hat varphi(vec x, t), hat varphi(vec y, t)] = 0$ （這實際上是場作為廣義坐標需要滿足的條件），

因此，存在一個表象 $|varphi_t angle$ ，為不同位置的場算符的共同本徵態： $hat varphi(vec x,t)|varphi_t angle = varphi(vec x, t)|varphi_t angle$ ，這裡函數 $varphi(vec x, t)$ 便是量子場的振幅； $|varphi_t angle$ ，借用統計物理的語言（如圖），叫做一個場「構型」。場表象原本是很方便的：譬如時間演化可以由路徑積分。唯一的問題是，場表象不是能－動量表象，這對於描述物理粒子來說是很麻煩的。這顯然是由於， $ig[ varphi(x), H ig] = ipi(x) e 0$ 。

真空態 $|Omega angle$ 是能量最低態，各種量子數皆為零，但卻不是場強為零的態（這是咱們熟悉的零點振動 —— 真空里有什麼？真空里有量子場！）。因此，若將量子場作用在真空態上，將會激發各種能量本徵態:

$langleOmega| varphi(x) varphi(y) |Omega angle = int ds , ho(s) D(x-y; s)$

其中 $ho(s) = sum_n delta(s-p_n^2) | langle n,p | varphi(0)|Omega angle|^2$ 叫做譜函數——它顯然是一個分布，代表量子態 $|varphi(0) angle$ 處在不變質量 $sqrt{s}$ 處的概率密度： $int ds , ho(s) = 1$ ；

$|n,p angle$ 是哈密頓量 $H$ 的本徵態，其質量為 $sqrt{p_n^2}$ ； $D(x-y;s) = int frac{d^4 p}{(2pi)^4} heta(p^0) e^{-i pcdot (x-y)} 2pi delta(p^2 - s) overset{r oinfty}{sim} frac{sqrt{s}}{4pi^2 }frac{ K_1(sqrt{s} r)}{r}$ ，有時候叫做場的傳播子。

自由場的譜密度是一個位於m處的狄拉克函數，其代表態表示一個自由粒子，叫做單粒子態。「正常」量子場論的譜密度類似於自由場（如圖所示），它也包含一個單粒子態峰，它還可能包含若干個束縛態峰、多粒子態的連續統。非典型場論（強相互作用、具有奇怪對稱性）的譜函數可能會更加複雜：例如 QED 由於規範對稱性的保護，多粒子態連續統開始於電子質量，中間顯然沒有束縛態；QCD 更誇張，夸克的單粒子態根本就不存在。

當然，場不僅能作用在真空態上，還可以作用在其他能量本徵態上，如單粒子態 $|p angle$ 。例如在彈性散射實驗中，人們用光子來探測電子態 $|p, s angle$ 的電磁結構（電荷與磁矩分布，p為動量、s為自旋投影），該過程的振幅可以表示為：

$egin{split} varepsilon_mu(q) langle J^mu(x) angle = varepsilon_mu(q) langle p$ 。

這裡， $q = p$ 。

學的時候一直沒有給出波函數和field operator和波函數的具體形式，只是說存在這樣的Hilbert space, 以及龐加萊群在這個空間上的representation.

除了自由場以外，我們很少見到波函數、場算符的具體形式。這主要是因為，它們一般沒有解析形式。所有這些量中，最容易計算的是關聯函數，方法就是費曼算術（Feynman"s Calculus），又叫做「微擾論」。

量子態的Hilbert space 是否有具體的表象？

有啊 —— 當人們說某某希爾伯特空間的時候，就是指已經找到了一個具體的表象（包括一組基）。這些表象可以使用，例如，福克空間表示出來（暫時忘掉哈格定理）。

量子場論是無窮多自由度系統的量子力學，它們之間沒有本質區別。當我們把場算符從四維壓縮為一維（時間）時，量子場論就是單粒子量子力學。

Hilbert 空間從來都不是什麼「波函數的空間」，而是量子態的空間。波函數只是態在一個表象下的形式。

微擾量子場論處理的是真空的微擾問題，涉及到的態都是漸進自由態，即進態、出態，它們都是動量本徵態，對於不同自旋有不同的波函數，但總的來說都是自由粒子 $e^{ikx}$ 。

你說的「場論里的波函數」是場算符吧，教授在第一節課就應該告訴你那個東西不是波函數。場算符的正則形式里，產生算符前那個係數才是對應的單粒子態的波函數。

——————————————————————

也不知道是不是學量子力學時凈在解波函數的關係，有些人學場論的時候看不見「波函數」，心裡總是沒譜。

我們為什麼要用量子場論？A.處理散射問題；B.處理物理參數的量子修正。至少在微擾論範圍內，量子場論是干這些事的。這兩個問題非相對論量子力學中處理不了，一是因為低能近似，二是粒子數守恆（薛定諤方程約化為概率流守恆），三是沒有 off-shell propagator。

在低能非散射問題中，使用已修正的物理參數，非相對論量子力學完全夠用，而且是足夠精確的。而只有這類問題中適合使用波函數描述，因為能量較低使得很多粒子處於弱耦合但卻相互束縛的狀態：弱耦合意味著單粒子描述可用，頂多換個基研究 quasi-particle 那也是單粒子；束縛態表示有較穩恆的背景勢，所以需要解定態波函數或者背景場中的近自由粒子，這些都不是真空中動量本徵態，相對來說它們的波函數形式反而比相互作用更加 tricky。所以這些問題中人們比較關心波函數長什麼樣。

當然，有些這兩個方法都不好用的情況，那就是強耦合體系。AdS/CFT 大法好！

我決定來暴露身份答題——我的那幫一直想知道我知乎id的同學現在有機會了。。。我給他們講過太多關於這些哭鬧的小孩的故事了...

答主自己和很多人一樣，也經歷了無數掙扎才弄懂了量子力學和量子場論的結構，然後驚詫地發現，這東西一點也不玄乎，而且非常直觀。

我們從一個簡單的例子講起。有一個小嬰兒，他可能會哭鬧也可能會平靜，那麼我們可以把他的狀態標記成|A&> 哭鬧（A for angry）|C&> 平靜（C for calm）。如果我們不知道他現在究竟是哭鬧還是平靜，就需要用概率論來描述他的狀態了。可以把他這時候的狀態標記為Pa|A&> + Pc|C&>，也就是有Pa的概率他是Angry，有Pc的概率Calm，當然，如果只存在這兩種狀態，概率守恆告訴我們Pa + Pc = 1，這叫做基的完備性。如果你再研究出了點這個小孩的規律，比如這一秒他在哭，下一秒估計很大可能還是在哭，那麼你就可以把這些研究成果寫在一個矩陣（叫做transitional matrix）裡面，每次乘在(Pa, Pc)這個向量上，然後，voilà，你就可以預知他的未來了。

那麼現在問題弄得複雜一點，如果有兩個小孩呢？這兩個小孩可能有某種相互作用，比如一個聽到另一個在哭，可能也跟著哭（當然也有可能是腹黑小蘿莉，聽到旁邊的小正太哭了就開始大笑），那麼他們的聯合態空間就是|AA&>, |AC&>, |CA&>, |CC&>，其中每個代表這兩個小孩，比如|AC&>代表第一個小孩Angry，第二個小孩Calm，其他類推。把這幾個狀態的概率算清楚，就完整地描述了此刻的狀態；這兩個小孩的隨著時間的變化也可以寫到一個transitional matrix裡面，顯然，這個矩陣是4乘4的。恭喜你，你已經能預測兩個小孩的未來了。

然後呢，任意多個小孩的故事也就自然地能理解了。注意這時候地聯合態空間可能比較大，|AAAAAAAAA&>, |AAAAAAAAC&>, |AAAAAAACA&>, |AAAAAAACC&>, ...很多的態構成了這個態空間，而相應的概率就是態向量，轉換矩陣就是這個空間上的算符。

所以這個就是希爾伯特空間了？還不是，量子力學的故事比這個稍微再麻煩一點。如果這些孩子是量子的（我也不知道應該怎麼做，用球狀閃電照一下？），那麼他們處於某個態的概率不是態向量裡面的係數P，而是它的模方|P|^2 = P*P.conjugate(). 這個基本沒有影響我們的分析，唯一的不同在於P可以是複數了，從而概率歸一條件從所有係數加起來等於1變成了所有係數的模方加起來等於1——這些向量組成的空間就是一個希爾伯特空間了，我們把同一個方向不同長度的向量當作同一個，就是所謂模方等於1的歸一化條件。至於上面說的轉換矩陣，也換成了量子力學裡面的時間演化算符e^{iHt}. 除此之外，一切還是那些小孩哭鬧的故事。

如果我們進一步推廣，這些小朋友可以不僅僅有平靜和哭鬧兩個狀態，而是可以在一個房間裡面到處爬，那麼他們的狀態就需要描述成|x&>也就是坐標。比如|門邊&>, |桌子上&>, |馬桶蓋上&>，這時候一個小孩從門邊爬到桌子上就可以等價地看成把門邊這個小孩殺掉，然後在桌子上產生一個小孩。做這些操作的數學工具就是場算符（分成產生和消滅算符兩類，而且還跟位置有關）。這裡面的細節如對易子還有小孩的全同性就跳過去了，理解概念框架本身更重要。

接下來回答什麼是波函數：波函數就是這個態的係數！比如 |孩子的狀態&> ＝ a|門邊&> + b|桌子上&> +c|馬桶上&>，那麼波函數就是 psi(x): if x = 門邊 then psi = a; if x = 桌子上 then psi = b; if x = 馬桶上 then psi = c. 如果你的空間弄成連續的三維空間，我的psi就成了關於三維空間的函數，也就是量子力學課上學的那個「波函數」。自然地，你關心的信息不同，得到的波函數就不同，所以嘛，態本身是本質的，波函數是拿來刻畫態的。

最後一個問題，non-unitary field evolution. 還記得我們剛才說的經典哭鬧小孩的故事么？我們用一個transitional matrix去演化小孩的狀態，那麼這個小孩的態向量就從(Pa, Pc)變成了(Pa", Pc")。非常重要的一點是，如果就這兩個狀態，Pa+Pc = 1, Pa" + Pc"也得是1。（否則這個小孩就有一定的概率直接消失了！）這就對transitional matrix提出了相應的要求。量子的故事也是一樣的，只是改成了|Pa|^2 + |Pc|^2 = 1, |Pa"|^2 + |Pc"|^2 = 1——這個要求滿足的條件就是e^{iHt}是unitary的，或者說H是Hermitian的。如果某個理論里時間演化算符e^{iHt}不是unitary的，小孩子就是會無端失蹤。。。這樣的理論還是有應用的，比如說你去考慮冷原子裡面抓獲了一個原子，它就有一定的概率會跑掉啊，所以描述它的理論就可以是non-unitary的；或者高能裡面的例子，粒子會衰變的...——高能我就不熟了，自行看書自求多福吧。

Q:如果用canonical quantization formulation的話

量子場論里場算符不一定是unitary演化了，如何解釋場算符的物理意義呢？依然是是概率詮釋？量子態的Hilbert space 是否有具體的表象？

A: 場算符是抽象的，所以需要Hilbert Space啊。場算符作用到Hilbert space中的態上面，給出了具有物理意義的場函數的值。

Hilbert space當然具有具體表象。和群論一樣，談的時候，是抽象的元素，用的時候，是某個具體的表象形式。

Q：學的時候一直沒有給出波函數和field operator和波函數的具體形式，只是說存在這樣的Hilbert space, 以及龐加萊群在這個空間上的representation.

A：後面就有了。不管誰講，總會講到real scalar, complex scalar, QED, ...

別著急，急可以先自己看看。

希爾伯特空間是且僅是一個沒有維度限制(有限/可數無限/不可數無限)的向量空間, 具有向量空間的一切性質本質上是有限維向量空間向取消維度限制的推廣

看到邀請的時候別人已經回答過了...

Hilbert space是態的空間，不是波函數或場的空間。

概率解釋在這裡已經不適用了。之所以要有場論，正是因為人們研究相對論性的量子力學的時候，發現Klein-Gordon方程沒有守恆的概率流（都沒有守恆的概率流所以當然沒法用概率解釋來闡述其物理意義）、還存在負能解，而且同時，它不能用於描述有自旋的粒子。後來Dirac寫出了Dirac方程，而這個體系雖然能描述有自旋的粒子，但它也存在負能解，為了解釋這個負能解，Dirac說真空是一個Dirac海填滿的，原先出於負能海的電子在吸收了能量後就被激發到具有正能的狀態，相當於負能海里出現了一個空穴。然而作為一個描寫一個粒子的方程，卻實際描述的是多個粒子體系，顯然已經不適用了。

所以人們拋棄概率解釋，拋棄波函數，而用場的運動方程（Equation of Motion）來描述量子化的場。

然後場作為算符作用在粒子數表象下的態上，比如說作用在真空態|0&>上就可以激發出粒子或反粒子。

Hilbert space 不是波運行的空間，而是用來描述狀態，描述這個傳播子，這個波的坐標。傳播子就是需要無數個變數來描述的，所以需要用希爾伯特空間來裝

自行google "Fock space"

Hilbert空間是線性內積空間，最簡單的例子是平方可積函數（如量子力學中的波函數）空間 $mathcal{L}^2$ 。