關於有限與無限的悖論有哪些？
當時我就震驚了：無窮帶來的各種悖論希爾伯特旅館悖論（Hilbert"s paradox of Grand Hotel）
希爾伯特旅館有無限個房間，並且每個房間都住了客人。一天來了一個新客人，旅館老闆說：「雖然我們已經客滿，但你還是能住進來的。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號房間搬到 3 號房間??n 號房間搬到 n+1 號房間，你就可以住進 1 號房間了。」又一天，來了無限個客人，老闆又說：「不用擔心，大家仍然都能住進來。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號搬到 4 號，3 號搬到 6 號??n 號搬到 2n 號，然後你們排好隊，依次住進奇數號的房間吧。」
這就是德國大數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）提出的著名悖論。每個學過集合論的學生，都應該「拜訪」過這個奇妙的希爾伯特旅館。雖然人們把它叫做一個「悖論」，它在邏輯上卻是完全正確的，只不過大大出乎我們的意料罷了。一扯上無限，有趣的事說也說不完。義大利數學家伽利略（Galileo Galilei）在他的最後一本科學著作《兩種新科學》（Two New Science）中提到一個問題：正整數集合 {1, 2, 3, 4, ??} 和平方數集合 {1, 4, 9, 16, ??} 哪個大呢？一方面，正整數集合里包含了所有的平方數，前者顯然比後者大；可另一方面，每個正整數平方之後都唯一地對應了一個平方數，兩個集合大小應該相等才對。伽利略比較早地使用了一一對應的思想，可惜沒有沿著這個思路更進一步思考下去。最後他得出的結論就是，無限集是無法比較大小的。說到這裡，我們不得不提到德國另一位偉大的數學家喬治·康托（George Cantor），他建立了集合論（set theory），並系統地研究了集合（尤其是無窮集合）的大小，只不過這個大小不是簡單地叫做「大小」了，而是叫勢（cardinality）。如果兩個集合間的元素能建立起一一對應的關係，我們就說它們等勢，這也是我們比較集合大小的方式。希爾伯特悖論形象地說明了正整數集合和正偶數集合是等勢的。一切和自然數集合等勢的集合都稱為「可數集合」（countable set），否則就叫做「不可數集合」（uncountable set）。
托里拆利小號（Torricelli『s Horn）
義大利數學家托里拆利（Evangelista Torricelli）將 y=1/x 中 x≥1 的部分繞著 x 軸旋轉了一圈，得到了上面的小號狀圖形（注意，上圖只顯示了這個圖形的一部分）。然後他算出了這個小號的一個十分牛 B 的性質——它的表面積無窮大，可它的體積卻是 π。這明顯有悖於人的直覺：體積有限的物體，表面積卻可以是無限的！換句話說，填滿整個托里拆利小號只需要有限的油漆，但把托里拆利小號的表面刷一遍，卻需要無限多的油漆！
芝諾悖論是由古希臘哲學家芝諾（Zeno）提出的一組悖論。其中的幾個悖論還可以在亞里士多德（Aristotle）的《物理學》（Physics）一書中找到。最有名的是以下兩個。
阿基里斯與烏龜的悖論（Achilles and the tortoise Paradox）：在跑步比賽中，如果跑得最慢的烏龜一開始領先跑得最快的希臘勇士阿基里斯，那麼烏龜永遠也不會被阿基里斯追上。因為要想追到烏龜，阿基里斯必須先到達烏龜現在的位置；而等阿基里斯到了這個位置之後烏龜已經又前進了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠追不上烏龜。
二分法悖論（Dichotomy Paradox）：運動是不可能的。你要到達終點，必須首先到達全程的 1/2 處；而要到達 1/2 處，必須要先到 1/4 處??每當你想到達一個點，總有一個中點需要先到，因此你是永遠也到不了終點的。其實，你根本連動都動不了，運動是不可能的。
羅素（Bertrand Russell）曾經說過，這組悖論「為從他那時起到現在所創立的幾乎所有關於時間、空間以及無限的理論提供了土壤」。阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德（Alfred North Whitehead）這樣形容芝諾：「知道芝諾的人沒有一個不想去否定他的，所有人都認為這麼做是值得的」，可見爭議之大。無數熱愛思考的人也被這些悖論吸引，試圖給這些出人意料的結論以合理的解釋。
當古希臘哲學家第歐根尼（Diogenes）聽到芝諾的「運動是不可能的」這個命題時，他開始四處走動，以證明芝諾的荒謬，可他並沒有指出命題的證明錯在哪裡。
亞里士多德對阿基里斯悖論的解釋是：當追趕者與被追者之間的距離越來越小時，追趕所需的時間也越來越小。他說，無限個越來越小的數加起來的和是有限的，所以可以在有限的時間追上。不過他的解釋並不嚴格，因為我們很容易舉出反例：調和級數 1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一項都遞減，可是它的和卻是發散的。
阿基米德（Archimedes）發明了一種類似於幾何級數求和的方法，而問題中所需的時間是成倍遞減的，正是一個典型的幾何級數，所以追上的總時間是一個有限值。這個悖論才總算是得到了一個過得去的解釋。直到 19 世紀末，數學家們才為無限過程的問題給出了一個形式化的描述。
儘管我們可以用數學方法算出阿基里斯在哪裡以及什麼時候追上烏龜，但一些哲學家認為，這些證明依然沒有解決悖論提出的問題。出人意料的是，芝諾悖論在作家之中非常受歡迎，列夫·托爾斯泰在《戰爭與和平》中就談到了阿基里斯和烏龜的故事，路易斯·卡羅爾（Lewis Carroll）寫了一篇阿基里斯和烏龜之間的對話，阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯（Jorge Luis Borges）也多次在他的作品中談到阿基里斯悖論。
球與花瓶（Balls and Vase Problem）我們有無限個球和一個花瓶，現在我們要對它們進行一系列操作。每次操作都是一樣的：往花瓶里放 10 個球，然後取出 1 個球。那麼，無窮多次這樣的操作之後，花瓶里有多少個球呢？
有人或許會說，這個問題顯然是荒謬的——這個過程需要耗費無窮的時間，我們不可能等到那個時候。那麼，我們不妨換一個問法，避開所需時間無窮的問題：在差一分鐘到正午 12 點時進行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分鐘）到正午 12 點時進行第 2 次操作，在差 1/2
n-1
分鐘到 12 點時進行第 n 次操作。那麼，12 點的時候，花瓶里有幾個球呢？
看似簡單的描述，經過數學家的解釋，卻出現了千奇百怪的答案。最直觀的答案當然就是花瓶里有無限個球了，因為每次都增加了 9 個球，無限次之後，當然有無限個球。數學家 Allis 和 Koetsier 卻不這麼認為。他們認為，12 點時瓶子里沒有球，因為我們第 1 次放進 1 至 10 號球，然後取出 1 號球，第 2 次放入 11 至 20 號球，然後取出 2 號球??注意到，n 號球總是在第 n 次操作時被取出來了，因此無限操作下去，每個球都會被取出來！細心的讀者會發現，這個說法也有問題：前面的證明假設我們取出的依次是 1 號球、2 號球、3 號球等等，如果我們改成依次取 10 號球、20 號球、30 號球，那麼最後瓶子里又出現了無限個球了。哪種觀點是正確的呢？於是邏輯學家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）認為，花瓶里有任意個球。他們還給出了具體的構造方法，說明最終花瓶里的球可以是任意數目。
1953 年，這個悖論由英國數學家利特爾伍德（John Edensor Littlewood）在他的書《一個數學家的集錦》（A Mathematician『s miscellany）中首先提出，1976 年謝爾登·羅斯（Sheldon Ross）在他的《概率論第一課》（A First Course in Probability）又一次介紹了這個問題，所以它又被稱為「羅斯·利特爾伍德悖論」（Ross-Littlewood Paradox）。
無限長的桿（Infinite Rod）有一張無限大的桌子，上面豎直地插著一根有限長的支柱。然後取一根無窮長的金屬桿，把它的一頭鉸接在支柱頂端，另一頭則伸向無窮遠處。金屬桿可以繞著支柱頂端自由地上下轉動。假設金屬桿和桌子都是無比堅硬的剛體。你會發現，這根無限長的金屬桿根本不會往下轉動！因為金屬桿和桌子都很堅硬，如果它們相交，必然會損壞一個，所以唯一的辦法就是金屬桿與桌面平行。那麼我們看到的現象就是一根無限長的金屬桿，在空中僅僅靠一個點就保持水平！
這個有趣的問題是由數學家雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）在一本慶祝馬丁·加德納 90 歲生日的書中介紹的。另外，如果我們把鉸接的點移到金屬桿的中部，那麼金屬桿就動彈不得，穩穩地和桌面平行了！
這些悖論只是沒有準確表達連續統的概念，如果定義了無限可數集和無限不可數集，就不會出現這些事例
芝諾悖論，這個一定要深入了解。
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