請問能量和時間的不確定性關係具體怎麼解釋啊？

01-04

這個問題其實還是有點意思的。量子力學中的不確定關係一般都是和算符有關，算符之間的不可對易性導致了結果的不確定。比方說動量算符和坐標算符之間的不可對易性就導致了位置-動量的不確定性。但是，這個解釋不了為什麼能量和時間之間也會有一個不確定關係。畢竟在量子力學中，時間只是一個參數，並不存在對應的時間算符。那麼能量和時間之間的不確定性到底從何而來？

所以我覺得能量-時間的不確定度是個純粹的物理效應：能量-時間的不確定關係其實描述的是一個體系的演化速度，當系統處於能量本徵態時，ΔE-&>0，根據薛定諤方程我們都知道這是個定態，不隨時間發生變化，它的體系演化時間就是無窮大。

當系統處在多個不同能量本徵態的疊加狀態時，這個時候系統本身的能量就會有一個不確定度，各個物理態的幾率也會隨時間發生變化。大家應該都計算過拉比振蕩之類的問題吧？能量不確定度越大，系統的演化速度越快。

所以能量-時間不確定關係中的Δt對應的應該是系統的演化時間，這與其它的不確定關係確實有一些區別。

首先，量子力學把能量和頻率聯繫到一起，然後能量和時間的關係其實就是頻率和時間的關係。然後這個不確定性是時域頻域傅立葉變換帶來的。推薦你看看，這篇不確定性原理的前世今生。

不確定性原理的前世今生 · 數學篇（一）

在計算關聯振幅(t=0時態矢和t時刻時態矢的內積)時發現：varDelta t約為hbar /÷varDelta E 時，關聯振幅開始明顯不等於1。

即當這個關係式成立時，態矢不再保持原有形式。

通常力學量的不確定性源於關於力學量(運算元)代數的非對易性，能量-時間不確定性關係和它們不同。

先說結論：

時間和能量沒有不確定性關係！（在量子力學框架下）

但是量子系統在時間和能量的特徵尺度，可以用這個關係來聯繫。

所謂能量和時間不確定關係，應該是指這個？

$Delta E Delta t > hbar$

中文裡面叫不確定關係，應該是受到了坐標-動量的不確定關係的影響，但是兩者是完全不同的概念。

當我們講不確定關係的時候，以坐標動量不確定關係為例，

$Delta x Delta p > hbar$

這裡的 $Delta x$ 和 $Delta p$ 是什麼意思呢？

對於每一個量子態，在每一次測量之後，測量的結果肯定是測量這個算符的本徵值，測量後量子態塌縮到算符的本徵態。用一個離散的算符來舉例可能更有意思，比如粒子數算符 $hat N$ 。對於一個量子態，我們測量它的粒子數目，結果肯定是整數，比如1個，2個，3個......，但是測量到不同的結果的概率是不同的。比如1%幾率測到1個粒子，3%測到2個粒子，2.55%測到三個粒子。這個幾率是由量子態決定的。那麼對於這個量子態來說，我們做很多次測量之後，這些測量的結果可以給出我們一個平均值（期望值），我們叫做 $<hat{N}>$ 。這個平均值可以是一個實數（不一定是整數）。

換句話說，這個量子態給出我們的平均值，並不意味著我們每次測量的結果都會是這個平均值。那麼每次測量結果和這個平均值有什麼關係？在統計學中，這樣一個「每次測量結果和平均值的偏差「，定義為」方差「。在物理中，我們叫做「漲落」（Fluctuation）定義為 $Delta N = sqrt{<hat N^2>-<hat N>^2}$

這裡的算符 $hat N$ 可以是任意的算符，不一定是離散的算符，也可以是連續的，比如位置 $hat x$ ，動量 $hat p$ ，角動量 $hat L$ ......

在算符和測量的概念之下，我們可以定義漲落。這樣我們可以理解坐標-動量的不確定關係，是指，對於一個量子態，我們去測量坐標和動量。那麼測量的漲落滿足這樣的關係：

對於任意的算符 $hat A$ 和 $hat B$ ,我們也可以有更一般的不確定關係

$Delta A Delta B > frac{1}{2}|<[hat A, hat B]>|$

但是對於上面說的能量-時間關係，我們是不可以這樣理解的。至少在量子力學中，是不可以的。因為量子力學中，我們的時間不是一個算符！也就是說，我們沒有辦法去根據一個量子態，去測量一個「時間」。一個確定的量子態，一定是存在於一個特定的時刻的。這也是我們如何去理解薛定諤方程中 $frac{partial}{partial t}psi$ 。所以，在此要實名反對樓上的某一回答中用「坐標-動量不確定關係」「推導」「時間-能量關係」的說法。

但是，這樣一個關係是不是真的沒有意義了呢？答案是否定的。下面會給出一個很「概念」的理解

在無相互作用量子力學（單粒子）中，我們認為如果一個粒子出於Hamiltonian的能量本徵態，那麼這個粒子會一直處在這個狀態中

$|n(t)> = e^{-iE_n t }|n(t=0)>$

改變的，僅僅是相位。

如果我們考慮粒子之間的「相互作用」，這樣的相互作用會使得原本離散的能級，變成一個「能帶」，這樣的能帶，會有一定的能量寬度。我們可以定義為 $Delta E$ 。同時，相互作用會使得粒子在這個能帶里變得不穩定，可以從這個能帶跳到其他的能帶，也就是說，這個粒子不會一直處在這個狀態之中。也就是我們定義了粒子的「壽命」。（當然，也僅僅是統計意義上的）那麼這個粒子在這個能帶的壽命 $Delta t$ ，會滿足 $Delta t Delta E approx hbar$

與其說，這是一個「不確定關係」，不如講這裡是聯繫了系統的兩個特徵尺度。一個是從能量上，一個是從時間上。兩個特徵尺度之間在數量級上可以估計為

所以，我們同樣也可以用這樣的關係去估計其他過程中的特徵尺度。

但是，這樣的過程，一定是「量子力學」的。因為在這樣的關係中有著不為0的 $hbar$ ,這隻能是量子力學給我們的結論。

參見格里菲斯，算符期望值隨時間變化那一章。

Δt解釋為哈密頓H變化一個標準差所需的時間

有個很簡單直接的解釋，文科生都聽得懂。

關鍵在於量子力學中，能量的量子化。

能量量子化後，能量變成頻率的變數，E=hv，v是頻率。

頻率的精確測量，必須依賴於時間的精確測量。頻率這個量，是單位時間內的運動周期次數，時間測不準確，頻率怎麼能夠測量得準確？不可能。

但是，對於目前的人類，目前的物理學，時間的精確測量，其實又是依賴於頻率的精確測量。這個很容易理解，最直觀的鐘錶，其實就是周期性運動的擺針。我們通過鐘錶看時間，其實是在看擺針的轉動頻率。是不是這樣？現代的原子鐘，最精確的時間測量儀器，其實也是依賴於原子鐘的量子頻率。人類測量時間，實際是測量的原子鐘的頻率。

這就出問題了。兩個物理量的精確測量，其實是互相依賴的，造成一個死循環。這樣，這兩個物理量，就形成一個強關聯，就形成一種耦合。沒法把兩者嚴格區分開。A的精確測量，依賴於B的精確測量。反過來，B的精確測量，又依賴於A的精確測量。你說怎麼能夠同時把A和B都測量精確？不可能。目前的人類做不到。兩個物理量，要能夠同時測量精確，必須是這兩個物理量的測量，是獨立的，不相關的，不互相依賴的。

當然同時考察這兩個量的精確度，就會形成一個不確定的關係，沒法把這兩個物理量同時測量準確。

至於具體的數學表述，就是海森堡的不確定關係了。這個，非專業的，大可不必關心。知道是這麼個物理根源，就行了。基本就明白了不確定關係的實質。

量子力學，很神奇，應該還有很多物理上的奧秘，沒有被揭示。

我這個，應該是原創的解釋了。我也是突然之間，突發奇想，想到這個解釋。

有個簡單直觀的理解：

如果你認可動量與位置存在不確定性關係，那麼，能量與時間的不確定性關係自然就出來了。如圖：

這個問題，真要展開討論，可以專門寫一本書。答主個人時間有限，暫時先簡單列幾篇參考文獻吧，有興趣的朋友應該可以順藤摸瓜了。

時間-能量不確定關係的第一個嚴格推導由前蘇聯的 L. Mandelstam （在前蘇聯，這位是跟 L. D. Landau 齊名的理論物理學家）和 Ig. Tamm 給出：

http://daarb.narod.ru/mandtamm/mt-eng.pdf

文中也簡單探討了這一不確定關係的物理（及哲學？）意義。但到目前為止，學界對這一關係的確切含義仍未形成標準共識。

兩篇比較有代表性的後續討論：

Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy

A derivation of the time-energy uncertainty relation

$Delta$ E $cdot$ $Delta$ t $approx$ ? 有3種不同的解釋，或者說有3種不同的實驗事實與它對應。這3種實驗事實是：

如果針對的是一個不穩定的半衰期為 $au$ 的能級，它必有一能級寬度 $Gamma$ ，兩者之間滿足此處的不確定度關係 $Gammacdot au$ $approx$ ?
為了精確測量能量（精確度達到 $Delta$ E），要求測量所花費的時間至少為 $Delta$ t $approx$ $frac{? }{Delta E}$
對只在短時間間隔 $Delta$ t內持續的任何不穩定現象（例如某些粒子的壽命為 $Delta$ t,再例如某通信信號的持續時間為 $Delta$ t），其能量必有一個不確定量 $Delta E$ （或所含頻率必有一個寬度），使兩者之間滿足上面的關係