如何利用實數的性質證明「任何正實數存在 n 次實數方根，當 n 是正整數」?

01-04

實數的性質指完備性及一系列等價或相關的命題。

定義（ $n$ 次方根）：設 $xinmathbb{R^{+}},ninmathbb{N^{+}}$ ，定義 $x^{frac{1}{n}}:= ext{sup}left{ yinmathbb{R} | ygeq0 wedge y^{n}leq x ight}$ 。

引理：集合 $E:=left{ yinmathbb{R} | ygeq0 wedge y^{n}leq x ight}$ 非空且有上界。

證明：顯然，因 $0^{n}equiv0<xRightarrow0 in E$ ，故集合 $E e emptyset$ 。只需證明其有上界即可。分 $xleq1$ 和 $x>1$ 兩種情況進行討論。當 $xleq 1$ 時，斷言 $1$ 是 $E$ 的上界之一——如不然，則 $exists yin E wedge y>1$ ，但 $y>1Rightarrow y^{n}>1geq x$ 【理由在於： $forall a,b,c,din mathbb{R^{+}}, a>b wedge c>d Rightarrow ac>bd$ 】，矛盾——故 $E$ 有上界 $1$ 。當 $x>1$ 時，斷言 $x$ 是 $E$ 的上界之一——否則， $exists yin E wedge y>x>1$ ，而這意味著 $y^{n}>x^{n}>x>1$ ，再次矛盾——故 $E$ 有上界 $x$ 。綜上，集合 $E$ 恆有上界。故而 $E$ 非空且有上界。

定理（ $n$ 次方根的存在性）： $forall x>0,exists! x^{frac{1}{n}}>0$ 。

證明：對於引理的集合 $E$ ，實數的完備性（上確界原理）使然。

【這一部分的內容顯得有些奇怪，但確是必要的——如果按上述方式定義 $n$ 次方根，我們除了其存在性以外一無所知；特別是，它與關於 $n$ 次方的那些我們早已熟知的代數運算性質是否協調？這實際上是需要證明的，且證明並不顯然。

然而，只要證明了以下這個最基本的結論，剩下的那些性質就都可以利用數學歸納法之類的初等工具全部搞定。】

定理（實數的方根與方冪互逆）：若 $y=x^{frac{1}{n}}$ ，則 $y^{n}=x$ 。

證明：只需證明 $y^{n}<x$ 和 $y^{n}>x$ 兩者皆不成立。依等冪差恆等式： $b^{n}-a^{n}=left( b-a ight)cdotsum_{i=1}^{n}{a^{i-1}b^{n-i}}$ 成立不等式： $0 。</P></p> <p><center> <script src=$

假如 $y^{n}<x$ ，則選擇 $0<varepsilon<1 wedge varepsilon <frac{x-y^{n}}{nleft( y+1 ight)^{n-1}}$ 。設不等式中的 $a=y , b=y+varepsilon$ ，即有： $left( y+varepsilon ight)^{n}-y^{n}<varepsilon cdot nleft( y+varepsilon ight)^{n-1}< varepsilon cdot nleft( y+1 ight)^{n-1}<x-y^{n}$ ，這使得 $y+varepsilonin E$ 成為集合 $E$ 的上界，而這正與 $y=x^{frac{1}{n}}:= ext{sup}E$ 相矛盾。
另一方面，假如 $y^{n}>x$ ，則令 $epsilon=frac{y^{n}-x}{ny^{n-1}}$ ，從 $y^{n}cdot left(1-n ight)<0<xRightarrowfrac{y^{n}-x}{ny^{n-1}}<y$ 得知 $0<epsilon<y$ 。 $y^{n}-left( y-epsilon ight)^{n}<epsilon cdot ny^{n-1}=y^{n}-x$ 。所以， $left( y-epsilon ight)^{n}>xRightarrow y-epsilon<br /> otin E$ 。
現斷言 $y-epsilon$ 是 $E$ 的一個上界，如不然，則 $exists y^{prime} in E , y-epsilon < y^{prime} wedge left( y^{prime} ight)^{n} leq x$ ，然而 $forall 0<y-epsilon < y^{prime}, left( y-epsilon ight)^{n}<left( y^{prime} ight)^{n}leq x Rightarrow y-epsilon in E$ ，顯然與以上得出的 $y-epsilon otin E$ 產生矛盾。
但斷言 $y-epsilon<y$ 成為 $E$ 的上界又與 $y=x^{frac{1}{n}}:= ext{sup}E$ 再次矛盾。

綜上， $y^{n}<x$ 與 $y^{n}>x$ 皆不能成立，由實數的三歧性， $y^{n}=x$ 。

$y = x^n$ 是n個x的乘積，因為實數構成域，因此對於正實數x，這個函數是存在的。同時，顯然這個函數是單調遞增且連續的。對於任意的正實數 $y_0$ ，一定存在一個自然數使得 $M > y_0$ ，則有 $M^n ge M > y_0$ 。這意味著集合 $A = {x|x>0, x^n le y_0}$ 和集合 $B={x|x^n > y_0}$ 都是非空的集合，它們構成正實數的戴德金分割，這意味著存在 $x_0$ 恰好是A的上界和B的下界。由於連續函數將連續區間映射到連續區間，因此A和B對應的值域也構成正實數的戴德金分割，因此 $x_0$ 一定映射到 $y_0$ ，也就是 $x_0^n = y_0$ ，n次方根存在