為什麼量子力學的測量這個過程是個算符？

01-04

如題，對測量算符 $M_n$ （n表示出現的結果）代表何種具體實驗不能理解。
什麼樣的實驗（提取信息）他的過程會是個算符形式？
他具體對應了什麼實驗？

曾經看到過一種說法，說人類的探測手段極其有限，跟一個「探針」一樣
是不是可以理解為，因為無法把所有狀態都測准，所以結果看起來跟隨機一樣？

唔...題主可能對一些概念有點誤解。

首先，量子系統的演化過程用幺正算符表示。即，在(不含時)哈密頓量 $H$ 不同時刻的波函數 $psi(t)$ 由 $psi(t_f) = U(t_i,t_f)psi(t_i)$ 相聯繫，其中幺正算符

$U(t_i,t_f) = expleft[-mathrm iH(t_f-t_i) ight]$

注意其一定是幺正的。

任何可測量量，都可以用一個厄米算符 $M$ 來表示，單次測量下這個算符可能得到的測量值為其本徵值 $M_1,M_2,dots ,M_n$ 。

以上題主應該都清楚，但問題在於可能搞混了作為過程的幺正算符 $U$ 和作為測量量的厄米算符 $M$ （換做經典物理的語言，題主相當於在問：為什麼經典物理這個測量過程是一個物理量？）

一個典型的實現對系統任何可測量量測量的方案闡述如下：

考慮待測系統A，待測量量用算符 $M$ 表示，其本徵值為 $M_1,M_2,dots ,M_n$ ，相應本徵向量為 $phi_1,phi_2,dots,phi_n$ ，系統初態 $psi = sum_j a_jphi_j$ 。測量儀器B，有一對共軛的物理量 $x,p$ 滿足正則對易關係 $[x,p]=mathrm i$ ，初態記做 $varphi(x)$ 。那麼整個大系統的初態為

$sum_j a_j phi_j otimes varphi(x)$

測量過程中，A, B兩子系統的相互作用哈密頓量設為 $H_I = lambda Motimes p$ ，測量時長為 $au$ ，假設這段時間內兩子系統自身的哈密頓量所造成的影響可略，那麼測量完成後兩個系統的狀態為

$exp(-mathrm i lambda au Motimes p) sum_j a_j phi_jotimes varphi(x) \ = sum_j exp(-mathrm i lambda au M_j p) a_j phi_jotimes varphi(x) \ = sum_j a_j phi_jotimes varphi(x-lambda au M_j)$

(如果對後一個等號有疑問，請參考量子力學教材中的空間平移算符部分)

如果我們假定 $varphi(x)$ 是關於x的類高斯型函數，那麼，如果抹去A，單看B這個子系統，我們便可以看到原來的單個高斯峰變成一個一個平移了 $lambda au M_j$ 的高斯峰的疊加，而其峰位的概率幅正比於 $a_i$ 。

如果x是某個宏觀的可觀測量，例如電子打在屏幕上的位置，那麼我們便完成了將任意可測量量 $M$ 轉換為宏觀可觀測量的過程（只要能構造出恰當的相互作用）。

一般認為，在測量過程中，會出現由於外界熱系統的耦合所導致的退相干過程，使得最後測量儀器的量子疊加退化成經典概率疊加，也就是我們所看到的屏幕上一個一個的亮點。篇幅所限加上跑題，不對退相干展開詳細闡述。

謝黑貓邀。

這個問題要從兩個層面來答，一個是量子力學數學模型的層面。在這裡，「測量」概念本身是不必要的，物理狀態對應於希爾伯特空間中的矢量、或波函數（量子態在基矢上的展開），演化對應於將矢量映射為矢量的么正算符，哈密頓量則是演化算符的生成元。

在這樣的一個數學模型中，存在和演化都有自洽的描述。

現在的問題是，這樣的數學模型要怎麼和現實世界聯繫起來？嚴格說，從這一步開始我們討論的都是量子力學的「詮釋」。如果人類天生可以直接感知波函數，或者擁有可以精確測量波函數的儀器（即便相差一個無關的相位因子），那麼量子力學的物理討論在上一步就可以完成了。但現實中我們還做不到這一點，我們甚至沒法直接觀測微觀體系，而是不得不將微觀過程反映為宏觀儀器的測量讀數。

因此我們必須考慮第二個層面的問題，即在抽象的量子力學模型和現實的觀測數據之間建立聯繫。這種聯繫來自於可觀測量，也就是自伴算符。將可觀測量構造為自伴算符的原因相對微妙，也和測量過程有關，在這裡我們先不去深究，而是承認以下兩個事實：

1. 自伴算符表示了可觀測的物理量。

2. 自伴算符的本徵值對應了物理量的取值。

下一步就是對測量本身的建模。嚴格的說，測量是儀器和被測系統相互作用、關聯演化的整個過程。但對大多數物理學家來說，測量可以通過一個簡單的「坍縮圖像」來描述：不管測量前系統處於什麼狀態，測量後都會坍縮到被測物理量的一個本徵態，而測量得到的物理量就是這個本徵態的本徵值。這就引出了下面這條原理：

3. 量子態在可觀測量（自伴算符）本徵態上的展開係數，被稱為「概率幅」，其模方就是測量後「坍縮」到相應本徵態上的概率。

題主所說的「將測量視為一個算符」，大致指的就是這種對測量和「坍縮」高度簡化的建模：原本的量子態被「投影」到了物理量的一個本徵態。

最後說一句，測量問題背後的水很深，涉及量子信息科學的許多精妙實驗和理論，也涉及「量子力學詮釋」這一無比深刻的理論課題。對於初學者來說，大致了解其梗概就行了，更全面的理解可以留到以後再做深究。

wiki:

在物理學裡，算符（operator），又稱運算元，作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。

所以說，只要是物理狀態的變化，都可以用算符來進行表達。

量子力學中的測量，如果不探究其細節，都可以歸結為待測的系統(單態or疊加態)，一般是一團原子，與探測器系統，(也是一團原子)，之間發生作用，兩系統發生耦合成為一個系統，再發生退相干，待測系統變為一個可觀測的物理本徵態。

這顯然也是物理態的變化，可以用算符來進行描述。

題主想問的

什麼樣的實驗（提取信息）他的過程會是個算符形式？
他具體對應了什麼實驗？

還是在拘泥於具體的算符表達形式，而這裡的測量，在不加條件的時候是一個抽象的過程。

最後一段的問題和測量無關，這是一個經典的誤解，不確定原理常被稱作測不準原理，這常常被人誤以為這是測量過程的問題，只要我測准了不確定性就消失了一樣。更好的理解方式是，不確定性是更基礎的本質屬性，它在測量上會體現為測不準，也就是說不是「結果看起來跟隨機一樣」，而是系統的真隨機。

在此僅提供學術界最主流的意見，量子力學的詮釋現在並沒有定論。

首先明確告訴你，目前量子力學的測量沒有一個令人滿意的結論，這裡面存在著從微觀到宏觀如何建構的疑難，為什麼微觀世界豐富的疊加性質到了宏觀世界都退化為單一性質？這其中存在大量信息丟失，由於凝聚態理論多少都是唯象的，從第一原理出發基本是無法完成的事物，所以目前究竟什麼樣的宏觀儀器起到了觀測者的作用，可以讓被觀測的微觀粒子行為大不相同，無法回答。

目前很多打著量子旗號的偽科學，其主要手段就是把微觀世界的法則想當然推廣到宏觀世界，由於科學家們自己也搞不懂為什麼微觀世界的法則在宏觀世界都退化了，所以要反駁這些理論非常困難。

下面的回答只能算是我的理解，不一定對，希望科學的進展（主要是第一原理出發的理論化凝聚態理論建立）能夠從科學的角度回答坍縮的本質。

一、觀測、坍縮、信息丟失

我目前對對觀測的定義是：

1.宏觀儀器與微觀粒子的相互作用；

2.宏觀儀器提取微觀粒子的信息。

觀測的後果是，宏觀儀器得出宏觀信息（信息量很少），微觀粒子從疊加態坍縮到單一態，丟失了大量信息。

一個對觀測者的界定說法是要求觀測者擁有意識，我首先指出這一點無法證明或證否，當然這不是說這種看法就是荒謬的，我的意思是，觀測者是否有意識不是個科學問題，更像個哲學問題。

考慮一個機器人，它可以完成任何你要求的實驗，但我們沒有給它人工智慧，所以它只能按照你事先輸入的程序工作。在它做完實驗後，是否在你觀測到它的輸出結果之前，它都是處於疊加態的？如果是，為什麼給這個機器人裝上一個人工智慧插件，一切都改變了。

這個可能不能否認，但我不願意這麼想，因為太複雜了，我寧可相信，機器人從來不處於疊加態，無論它是否有AI插件，它使得微觀粒子坍縮的原因就是它是宏觀的！

這種觀點下薛定諤的貓不是半死不活的，那個接受放射性粒子的探測器已經把疊加態坍縮掉了，不需要人去開門來決定貓的生死。

由此可見觀測的一大特點就是信息不守恆，這與通常的操作有本質的區別，其原因就是微觀物體構成宏觀物體的過程中，一種未知的機制產生的信息丟失，更可怕的是這種信息丟失似乎有傳染性，使得宏觀物體與微觀物體產生可以得出宏觀信息的相互作用後，必然導致微觀粒子的信息丟失。

二、幺正算符與投影算符

操作是幺正算符，因為它信息守恆；觀測是投影算符，因為它丟失信息。

首先介紹一下（正交）投影算符：

1.投影算符有冪等性 $P^2=P$

2,投影算符有自伴性 $P^dagger=P$

由於投影算符都是有界的，所以自伴等價於厄米。

投影算符的作用就是把希爾伯特空間中的任意矢量投影到它的一個閉子空間中，而原矢量在此子空間的正交補中的信息統統丟失。

所以投影算符必然不會像幺正算符那樣是可逆的，而且逆就是它的伴算符。實際上投影算符的核（0的原像集）就是它的值域的正交補。

一個觀測究竟把原來的態投影到什麼態上去，必然是與觀測結果有關的。

我們要考慮誤差，所以觀測結果不是一個實數，是一個實數集。也就是說考慮一個實數集的子集 $Omega$ 那麼我們可以得出對物理量 $A$ 的觀測得到 $Omega$ 這一結果的投影算符 $E_A(Omega)$ 。

舉兩個實例，諧振子的能量觀測到為 $hbaromega(n+frac{1}{2})$ ，那麼這一觀測對應的投影算符就是：

$E_H(hbaromega(n+frac{1}{2}))=|n anglelangle n|$

自由粒子觀測到位置處於區間[a,b]，那麼這一觀測對應的投影算符就是：

$E_X([a,b])psi(x)=0 (xb)$

$E_X([a,b])psi(x)=psi(x) (aleq xleq b)$

考慮物理量 $A$ 的所有可能觀測值構成的集合 $sigma_A$ ，它是實數集 $R$ 的子集，這在數學上稱為自伴運算元 $A$ 的譜集。

那麼那個由集合產生投影算符的映射，應當滿足：

$E_A(sigma_A)=1,E_A(phi)=0$

對於至多可數個互不相交的集合 $Omega_i$

$sum_iE_A(Omega_i)=E_A(igcup_iOmega_i)$

當然，類似於測度，這些集合應當構成一個 $sigma$ 代數，這就得到了譜族的概念。

所以描寫觀測的數學工具，就是譜族。

譜族與物理量（自伴運算元）的對應關係由馮諾依曼譜分解定理保證：

$A=int_{sigma_A}adE_A(a)$

三、量子信息的問題

假如說，未來的觀測儀器有處理量子信息的能力，那麼它的觀測結果可能不存在坍縮，一個疊加態的觀測結果被儲存在量子比特中，相互作用過程是幺正的，沒有丟失信息。

一個疑難就是，量子機器人具有處理量子信息的能力，而我們人類沒有，我們在與量子機器人交流的過程中還是會有信息丟失。

那麼量子機器人將看到一個與我們看到的很不同的世界，而我們理解起來非常困難。當然我們肯定是能理解的，否則我們是無法造出量子機器人的，但必然我們看量子信息不如量子機器人直觀。

目前我們製造量子比特需要非常複雜的環境，而且不容易保存，這說明在我們人類的能標下量子比特是不穩定的，這都是我們之前提到的那種未知的丟失信息的宏觀坍縮力量的結果。

所以製造出能夠克服這種坍縮力量的量子機器人，做出不坍縮的觀測，任重道遠。

題主可以看看一般測量的表述,定義比一般教科書上的投影測量要更廣泛，叫做positive operator valued measure(POVM) measurements.參見 NielsenChuang

具體實現POVM方法可以用Homodyne 或者heterodyne的辦法實現，這方面可以參考量子光學的教材。比如WisemanMilburn

在POVM框架下，弱測量也是允許的，這已經在量子光學、介觀、superconducting circuit等系統裡面裡面實現了

基本假設之一，力學量用算符表示。

量子力學問題就是本徵值問題