密立根是如何判斷油滴帶的電量是元電荷整數倍的？

01-04

鑒於大家把重點都放在了元電荷是否是無理數上，於是修改了問題，把元電荷是無理數的部分刪去了。
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我們做密立根實驗的時候是通過檢驗法，即通過已知的元電荷數，來判斷做實驗的誤差。
而密立根是通過油滴實驗大量統計，最後確定了油滴的帶電量是元電荷的整數倍。密立根是如何在還存在有一定誤差的情況下證明大量油滴的帶電量是一個小數的最大公因數？同時，在沒有標準電荷量的情況下，密立根如何確定實驗誤差？

題主改了下題目，那就多說兩句，最適合的試探電荷的值會使得實驗數據偏離直線最少，定量化就是用下面提到的 $F$ 來描述，故而構造一個合適的 $F$ 是可以描述誤差的

例如：

$F={frac{1}{n}sum_i^nleft(m_k^i-ar{ m} ight)^2}$

$ar{m}=frac{1}{n}sum_i^nm_k^i$

或者：

$F={frac{1}{n}sum_i^nleft(z_k^i-m_k^i ight)^2}$

我比較傾向第二個，不過不確定是不是一個合適的統計量。

原答案

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這個問題應該用統計知識解決而不是數論，理由如下：

物理實驗不可避免地存在誤差，因此絕對不可能是精確的，因此如果真實的元電荷是e，那麼測量值很有可能是2.004e而不是2e，故而證明是整數倍這個想法是不行的；
實驗測量存在有效數字的限制（儀器精度不可能無限大），故而測量值也不是精確值，這方面內容你在物理實驗中應該會學習；

現在簡述一下如何利用統計方法找到最可能的元電荷的值，對於大量的電荷量的實驗數據（假設已經從小到大排列） ${q_1,q_2,q_3......q_n}$ ，分別計算相鄰的兩個數據的差值得到 ${Delta_{21},Delta_{32},Delta_{43}......Delta_{nn-1}}$ ,觀察一下發現它們要麼接近於0，要麼很像是某一個數的整數倍，於是乎我們猜測電荷有一個最小單位記作e；

先給出一個試探的解e1，讓它等於 ${q_1,Delta_{21},Delta_{32},Delta_{43}......Delta_{nn-1}}$ 中非零（接近於0的當作0）的最小數,注意上面含有q1；

現在我們可以肯定的是，元電荷的真實值不會大於試探解e1，但對於其它試探解： $e_n=frac{e_1}{n}~~(n=1,2,3,4......)$ ,都是有可能的解，現在得到了一系列試探解{en}；

對於某一個試探解e_k，我們用原始數據除以它得到 ${m_k^1,m_k^2......m_k^n}$ ，四捨五入之後得到 ${z_k^1,z_k^2......z_k^n}$ ；

如果說我們的數據絕對真實精確無誤差，那麼對於點 $(z_k^i,m_k^i)$ 必然在直線 $y=x$ 上，換言之 $m_k^i=z_k^i$ ,現在數據 ${m_k^1,m_k^2......m_k^n}$ 是存在誤差的，那麼與數據 ${z_k^1,z_k^2......z_k^n}$ 數有偏離的，我們將所有的點 $(z_k^i,m_k^i)$ 畫出來，那麼必然是偏離直線 $y=x$ 的，那麼構造一個統計量 $F$ 來衡量數據點偏離直線的程度，對於一系列試探解 ${e_n}$ 可以計算出一系列 ${F_n}$ ,如果某個試探解 $e_j$ 使得偏移統計量 $F_j$ 取最小值，那麼這個試探解就是一個值得信賴的元電荷的值。

註：試探解的n不能一直取下去，必須要使試探解 $e_n$ 顯著地比實驗精度大，否則就沒有意義了。

對於你提出的元電荷數值是無理數這點，我不知道電荷是不是無理數，但我覺得元電荷是通過實驗測定的，因此其精確度終究有限，至於是不是無理數我覺得至少實驗難以說明，至於物理理論能不能說明這個問題，我無法回答；

這個問題也引申出另一個問題：如何用數學方法證明一個無理數是另一個無理數的整數倍？用一般的數論知識能夠解決嗎？

對於你的這個問題我感覺和這個問題沒有關係，理由就是實驗精度有限，至於數學上如何做我也無法回答，畢竟不是數學專業的。

題主的順序搞錯了，是假設存在元電荷存在，然後把實驗數據根據概率統計的方法計算誤差，誤差在一定數值內則認為實驗結論和假設相符。

密立根不就是說學術造假常舉的幾個例子之一么？當時收集了大量數據，但故意不公布他覺得不靠譜的數據，只公布能得出元電荷的數據。

比較好奇，為什麼元電荷是無理數

聽實驗老師說他把不好的實驗數據直接去掉了233333333

還叫我們不要學他…………………………

看到這裡，來知乎搜索密立根學術造假趣聞

我做實驗的時候是取帶電量最小的那個假設它為e，然後讓其它的電荷量與他相比，求n，在做n與q的線性回歸，這樣元電荷就是斜率，算出來的誤差是百分之2

他沒在證明啊，先有的原子性假設，他只是在這前提下比較精確的測出了電子電荷，諾貝爾獎獲獎詞裡面也說這實驗並不能說明電子電量就是這個unit了。原子性的問題好像爭論了上千年呢，維基告訴我大概要去看道爾頓-&>愛因斯坦-&>佩蘭-&>湯姆遜-&>#￥*%

至於無理數啥的就更沒意義啦，從來沒人說元電荷量是無理數吧，看庫倫的定義就要看安培的定義，看安培的定義也不過是當時測兩根導線的作用力比測電子電量更容易，以後定義可能還要改，甚至值本身也在變。。想從數學上證明這種實驗科學裡的常量你就想多了。。

總之不要沒事就想著發現什麼物理常量中的驚天大秘密啦。。都是愚蠢的人類對自然的自以為是的窺探和假設而已。。開心就好。。

不知道你讀過這本書沒有？原來初中讀過，現在手邊沒有，只好淘寶了。

記得這一章，詳細論述了密里根實驗。

我認為吧，無理數的定義是無限不循環小數。現在的計算都還沒有達到絕對精確哪一個地步，所有說，嚴格的邏輯推理，我記得在原實驗中並沒有。

現在計算出的元電荷數值只是一個近似值，並不是完整值。

至於為什麼是無理數。我也不知道。但是我覺得吧，肯定和人類採用的基礎定義有關。比如說，米的定義，好像是光年的好多好多分之一。那麼如果我們把一米定義為，光年的好多好多分之二，那麼你不是只有現在的一半高了，從數值說。但是你實際的身高並沒有變。還是那麼高。所以說，為什麼原電荷是無理數，並沒有意義，它只是一個代表。如果換一個計量體制，變成整數。但原電荷還依舊事那麼多，並沒有意義。

以上，我瞎掰的，望大神指點。我也不知道對不對，我只是工科。

密爾根測量多組雨滴具有的電荷數，發現數據之間有個公倍數，也就是元電荷電荷量。

他自己做的數據，跟著感覺走，真的

close enough