純數科研對於本科生是否可能?

01-04

本人數學系大二學生，今天老師在交談時向我推薦了一個劉秋菊教授組織的面向本科生的代數幾何暑期科研項目(似乎叫Undergraduate Research Experience)。我感到非常吃驚，因為原來以為(像我這種普通的)本科生的水平並不足以做一些有意義的東西。(我是這學期剛剛開始接觸代數幾何，而且因為沒有什麼復幾何基礎所以學的都是純粹代數的部分)
請問應該如何看待這個(以及類似的)本科生科研項目?

題主所說的應該是REU (Research Experience for Undergraduates)。

我本科三個暑假都在做研究，第一個暑假在本校做的組合學（代數組合加上純組合）和一些圖論，第二個暑假是在加州某個學校做的一個類似REU的program（偏數據），第三個暑假是在東部某個學校跟一個教授做的流體力學上的模擬（應用數學）。

一般來說，我不是很推薦從很早就接觸研究，特別是對於訓練周期更長的分支，如代數拓撲。說實話花幾個月去理解問題，然後一知半解渾渾噩噩地結束了真的沒什麼意思。大多數數學分支都需要較長時間的訓練，少數的例外是組合圖論還有一些數據相關的項目，或者是編程的東西。如果你是想做出點成果有利於申請研究生院的話，那這個做法無可厚非，而且事實上如果你想讀PhD的話，至少要在本科時做過一次研究（當然了，你先申MS然後轉PhD的話另論）；但是如果只是想培養自己的數學功底的話，利用暑假好好看書，好好上課，可能是更好的。很多研究層面上的東西太過於分化了，比方說你做一個nonlinear PDE的numerical solution，花上幾個月去理解一個解法和在代碼上實現，可能就不如先好好讀讀Evans，然後讀讀一些偏numerical solution的書。（不了解代數幾何，所以用了PDE的例子，請自行代替。）我自己有時會覺得本科做研究的時間拿一部分出來好好學數學可能我現在數學會好一點，不過可能我也有點吃著碗里瞧著鍋里，把自己做研究帶來的好處看得太少了。

另外一個方面，至於可不可能做出有意義的成果，肯定是可能的。比如John Pardon本科的時候就發過Annals的文章。我沒記錯的話中國大陸往前幾年大概一年平均能發個一篇Annals。我本科有幾個師兄和同學做的很好，一個是做了很多組合的結果出來，現在在MIT，他現在的論文數也比很多其他MIT的同級學生多，另外一個是我同級的一個同學，大四的時候發了Journal of Algebra，也屬於代數裡邊很好的期刊了。像Williams的SMALL，也常常能夠一個組最後出一篇paper （不過我記得他們基本上出paper的時間都是在暑期結束兩三年後，即使算上一年半的審稿期，也還是有點慢的，如有錯漏，請告知）（update 16/09/15: 評論中Nil Sol同學提出一般暑假結束paper就提交了），另外像Duluth那個，是因為Joseph Gallian很精心地準備問題（還大多是組合的，少數是抽代的），加上學生全都是頂級的學生（裡邊的學生，超過一半以上的進了Top 6讀博，人均發表論文一篇左右，且基本都是獨立發表）。其他也有幾個REU做的很好，但是多數的REU並非如此，很多的REU要麼是選擇大量的lecture來代替research，要麼是挑一些很邊角料或者是很水的問題來entertain一下學生。（這句話其實並沒有數據支撐，是一些以前搜資料，接觸人，和看到其他人的觀點的結合。）在大多數學科裡邊純數本科要做除了圖論組合之外的東西，做出真的很有意義的成果是比較難的，而且時間成本太大了。本科的時間可以用來發現更好的世界，多上一點其他分支的課，說不定你覺得代數幾何很無聊，然後跑去做計算理論了呢。或者覺得數學很無聊，跑去學音樂了呢。（無意冒犯，請自行替換科目和領域）記得前段時間人在紐約有幸趕上今年的Courant lecture，只聽了第一天的，是Horng-Tzer Yau主講的。當時他提到他剛從普林斯頓畢業去到NYU Courant的時候，連Central Limit Theorem都不知道，因為在普林斯頓那時候概率論被認為是比較低等的數學。而今他的主要研究興趣卻是概率論，數學物理之類，當時lecture講的也是random matrix。太早地把大量的時間投入在某個很分化的研究，可能就會有類似的結果，i.e.，失去或者推遲認識一個自己更感興趣的領域的機會。

不過如果志在於本科畢業後申純數PhD的話，最晚到了大三的時候，要有做一個暑假的研究，出不出成果倒不是最重要的（畢竟即使是PhD也沒人能保證兩三個月能做出可以發表的結果），但是你做的時候你的導師對你做得怎麼樣會看在眼裡，假設他/她是一個理智的人類，他/她應該會給你寫好的推薦信，這個對於你申請來說非常重要，特別是美本的話。而且你也可以知道自己其實喜不喜歡做研究的過程。

如果你以後不想走數學這條路，那就自然不會考慮這個問題了。因此我就不妨假設你想要走這條路。（笑）

既然如此，我個人的建議是，如果沒有比這更好的選項，那就去吧。不過你需要自己對項目和導師的可持續性進行評估。如果僅僅是一個暑期的討論班性質的，那就抱著學習的態度去，順帶試試看自己對這個方向是否感興趣。如果可能進行更進一步地訓練，並且導師比較負責，時間充裕，並且你還感興趣，那就最好不過了，甚至於你的畢設論文也就有著落了。對於這種事情自己也不要期望太高。有些東西的作用不是立馬就能顯示出來的，但是可能對你的一生都有益。

至於成果，比如論文什麼的，也不要去強求。借著機會學習才是重要的，論文僅僅是錦上添花的事情。本科期間做出好文章也不是不可能的，不過這種東西需要運氣（有適合的問題和恰當的想法），導師（有很多時間跟你「鬼混」並且本身能力也強），當然還有自身對數學的感覺。好論文最重要的就是想法。

上面的東西算是我對自己本科科研經歷的一些感想吧。希望對你有用。

我個人認為本科生最好還是要有一次科研經歷，通過專門攻克一些簡單的易於理解的小問題，可以快速地掌握科研的一些基本方法與基本技巧，也能對真正的科研有一些新的認識，從而確定自己是不是真的喜歡做研究。但如果想要在本科做出有意義的成果，我認為是非常非常艱難的，一方面是由於知識儲備的不足，另一方面是對特殊方法技巧的掌握不夠成熟，因此本科生的科研大多數只能發一些很簡單也意義不大的成果，而且大多集中在較為初等的領域如組合以及計算等領域。

我就拿組合來做一個說明性的例子，前面也有答主提到，組合的一個非常重要的特點就是門檻低，幾乎不需要什麼基礎，其證明偏重技巧和方法，因此是非常適合本科生選一些簡單的課題做研究的，基本上有些問題隨便改改，方法換個皮就能整一篇文章了。不過我要說的是，如果致力於以後能做出不錯的工作，不應該沉迷於這些小問題，而應該往更深刻以及更困難的方向去靠攏，這就需要長時間的積累，現代組合已經充分引入了其他學科的方法，如概率組合學，拓撲圖論，代數圖論都是體現組合與其他學科相互交融的典型例子。而組合學中一些困難而深刻的問題，如關於Latin Square的Ryser conjecture，圖的重構猜想，Double cycle cover conjecture，Hadwiger conjecture，1-factorization conjecture都需要對相關領域非常深刻的技巧以及全新的思想的引入，更加深刻的例子，像Seymour的圖子式定理，Semeredi的正則引理，這些定理是對組合學的新的詮釋，也是代表了最好的工作，因此本科生科研具有一定的意義也是值得提倡的，但不應該誇大，真正的有意義的工作往往是需要時間的。

謝邀，本科生科研有意義，但是那種短期型，東打一槍，西打一炮的本科生科研沒啥意義，本科生科研訓練不該是這樣做的。我不清楚這個所謂的研究計劃是怎麼樣組織的，如果它會持續兩年，那就有意義。如果只是這一個暑假搞一搞，那就沒意義。因為這麼短時間，可以肯定沒法做任何有意義的研究，方向選擇也容易偏向於可以短平快出論文的方向，甚至會產生誤導。

膜xk大神

秋貓回答得已經很全了，我再補充幾點。

對於有意向讀博的美本而言，大學假期里做REU是一個很好的選擇。題主可能也有所了解，美國的博士和碩士是兩條完全不同的路線。讀碩士是為了增加自己的知識儲備，有點查漏補缺的感覺，通常都在兩年以內就能讀完。而讀博的大多是對某個學科，甚而對某個問題特別感興趣的學生，為了對這個領域有更加深入的理解，而花費五年左右的時間去完成這個學位。有學生甚至九年都還在讀，所以說五年只是一個參考年限。

由此看來，在申請phd之前有個相關的研究經歷是非常有必要的。這和實習是一個道理，在決定投入大量時間之前先用暑假兩三個月的時間試驗一下，看看自己是不是真的喜歡這種工作/生活方式。其中很重要的一點是看看是不是能和一起做REU的同學以及各組的指導教授合得來。不管是什麼工作和周圍人是否處得來都是非常關鍵的。我自己做REU的時候就明顯感到組裡的同學比大學裡接觸到的其他同學要geek很多，話相當少，但每次討論起問題來會非常投入。有一次在吃飯的時候討論到一個數學概念，他們就開始拿起餐盤裡的西柚又切又擰地做起示意來。

還有就是REU的實際內容方面，如果感覺完全沒有挑戰性的話那確實意義不大。但題主的問題應該是相反的。帶REU的教授能夠理解本科生學得不多，所以會對課題或者研究形式做一些調整，大多不會直接把給phd做的東西扔給本科生做。有些REU採取的方式是教授給思路，讓幾名小組成員合作研究，另一些是選擇對本科生而言相對容易的topic，比如組合論裡面的一些問題，或者抓一個細分領域裡的新問題，把這種本來就沒太多人研究過的給小本來做，出成果的幾率就會大很多。所以呢，有時候乍看上去教授招生時寫的簡介根本看不懂，但實際開始了以後不會那麼嚇人的。第一個星期很可能就是讓你讀讀paper，問問問題，去理解這個topic的。我參加的時候第一個星期教授每天還給我們講一點點課，幫助我們理解paper。當然啦在去之前還是要問清楚要做哪些準備，然後基礎課一定要學好，不然進去了以後讀什麼paper都讀不懂，發現只能從看教科書開始的話就比較尷尬了。

另外，我認識幾個美國學生從高中開始就和大學生一樣搞這種小科研項目了，聽上去也蠻牛的樣子。個人感覺不是大神的話這麼做挺浪費時間的。這麼看來呢，大學生做REU一點也不早。

夠厲害就可以。超過普通碩博水平的本科生並不少見。

努力學習呢。。

有興趣就做唄，又沒啥不好的後果。

做科研而已，又不一定要發有質量的paper，我當年做的還是希爾伯特的那二十三個問題裡面的一個呢。

請google北大數院的諸位大神