量子力學中的波函數到底表示什麼？

01-04

書上說波函數表示電子狀態，我想問什麼狀態？一般來說電子波函數的模表示電子分布的概率，那麼如果兩個電子波函數的模相等，但是它們的函數表達式不同（比如一個是實函數，另一個是虛函數）那麼它們的差別到底在哪裡？

微觀世界發生的事情到底跟尋常世界中發生的事情有什麼區別，為什麼一定要用量子力學，搬弄一些高深的「算符」和「量子態」呢？一個原子跟一塊石頭不都是服從牛頓力學的規律自由下落嗎？難道一個很大很大的東西和一個很小很小的東西有什麼本質區別嗎？是的，我們在認識和處理一個「小東西」和一個「大東西」時，確實有所不同。

「小東西」與「大東西」的區別

拿一個「光子」和一條「狗」來說明人們在認識一個微觀的東西和一個宏觀的東西時，必須考慮到的根本區別。這裡加引號的意思是現在必須學著像哲學家一樣把它們都看成某種「客觀存在」，是外在「事物」，或者「東西」。認識它們有兩點根本的區別。

第一，描述的語言不同。

這種不同來源於我們對這兩個事物認識層面的不同。我們可以嘗試用速度、質量、動量、位置、顏色、尺寸等等這些物理參數描寫一條狗或者一個光子。但是我們發現這些參數都不是好的描寫。因為這些物理量完全不能幫助我們區別一條狗和一頭豬，肯定需要別的更多的特徵參數。嘗試給出「狗」的定義。回答這個問題必須找出「狗」的特徵，比如：有毛的（雞也長毛）、四條腿的（貓也有四條腿）、嗅覺很靈敏（豬的嗅覺也很靈敏）……找的特徵越來越多，但是發現還是不足以描述清楚狗的特徵，最後我們發現居然沒有一條是狗特有的。實際上，就算找出一萬個與狗有關的特徵，恐怕還是忘了狗的右側第三根鬍鬚的直徑是在多少範圍。我們似乎一下子對「狗」這個東西模糊起來，真有點不可思議，難道我們對每天司空見慣的狗是什麼都不知道嗎？

翻閱權威的工具書，比如《辭海》是這樣定義「狗」的：「狗：即犬。狗犬通名。若對文，大者為犬，小者為狗。」我們只好再去找「犬」的定義了：「犬：家畜名。又稱狗。哺乳綱，犬科。為人類最早馴化的家畜……。」這種循環定義令人覺得很好笑，但是這就是我們所知的最權威的關於狗的定義了。《大英百科全書》也好不到哪裡去：「狗，犬科動物，大約是史前先民從一種普通狼馴化而來，有很多種類。」你看，又扯到狼那裡去了。

因此，我們「熟知」的「狗」實際上是一個模糊的概念。我們之所以談論「狗」這個話題但是沒有發生誤解，是因為大家在腦子中存儲了數不清的關於狗的特徵，以及都保持某種默契，沒有去較真！但是我們知道並相信關於這條狗的全部特徵的那些信息是客觀存在的。我們因此可給它一個抽象的符號：︱Dog〉。這個符號用來表示包含了這條狗的全部特徵，或者全部信息（注意「全部」二字）的客觀存在的東西。乾脆稱它為狗的「狀態」。這個概念引申到微觀世界，就是微觀客體的量子「狀態」（state）。雖然沒有嚴格證明，但是我們相信不可能有兩條狗的全部信息（或者「狀態」）都一樣，就像沒有兩片完全相同的樹葉一樣。一條狗包含的特徵信息太多,︱Dog〉只是一個抽象的符號，無法寫出︱Dog〉這個狀態的具體形式。

上述描述對狗似乎是合理的。對一個光子呢？首先，表述一個光子的特徵比一條狗要簡單得多，因此有可能把一個光子的狀態的具體形式寫出來，就是獲得它的全部信息；其次，兩個光子的狀態有可能完全相同。當兩個東西完全相同時，會出現許多經典世界沒有的現象，比如干涉。假如這個世界上真的存在兩片完全相同的樹葉，那它們碰到一起就會出現干涉，這絕對是一件奇妙的事，它們會出現量子疊加，糾纏在一起，翩翩起舞！

量子力學認為，微觀世界可以用量子態,也就是波函數來描寫，不是用位置、速度、動量等這些物理量來描寫的。量子態的演化確定性地服從薛定諤方程。就像位置、速度這些經典物理量確定性地服從牛頓定律一樣。用量子態描寫雖然有些抽象，但更合理。說它抽象，是因為量子態是一種數學上的波函數，包含了虛數這樣「無意義」的東西；說它更合理，是因為量子態包含了一個客體的「全部信息」。

信息在這裡被提高到了重要的地位。環顧周圍的世界：浩瀚的星空、起伏的山巒、身邊的書桌、牆上的畫、偶爾飄來的丁香花香……這些事物最本質的東西是什麼呢？

有個虛構的故事，說的是有一天地球將遭遇到一場無法抗拒的天災，在將來某個時候註定要全部毀滅。有艘上帝派來的超級宇宙飛船只能運載一個人，這個人只能攜帶一件不超過一公斤重的東西離開地球逃生。那麼，這個聰明的救星該帶走什麼最珍貴的東西呢？祂環顧地球，到處是現代人類文明的事物，從摩天大樓到飛機、從激光到電腦、從人類基因庫到互聯網、從唐詩宋詞到物理學定律……祂想把人類的全部文明和知識帶走。最後祂做到了，只帶走了一根不超過一公斤的小小「金箍棒」。這根「金箍棒」中間只有一個記號（刻度），它包涵了全部人類文明的信息。祂是如何做到的呢？原來，我們的所有文明和智慧，都是可以轉化為文字、圖片、聲音等數字信息，這些知識不外乎就是使用各種語言、文字和符號記錄信息，可以對每種語言的字母分配一個不同的符號，全世界用於記錄知識的各種符號不會太多，大約5000個漢字，幾十個英文字母和希臘字母……，各種符號應該不會超過9999個，因此，每一個符號指派一個四位數就夠了。如果四位數不夠也可以用5位數或者更多。比如字母A用0001表示，漢字「我」用2053表示，標點符號「，」用1927表示等等。全部人類的知識就是這些符號組成的字元串。比如《紅樓夢》這本書就是一串漢字和標點符號組成的字元串。這些字元串構成的知識最終變成一串很長很長但有限的數字串，比如：4094634621354235……，這個上帝的使者採用高超的技術在這根「金箍棒」上刻了一個非常精準的刻度，使由這個刻度分開的棒的兩部分的長度之比正好是0.4094634621354235……，這樣，人類的全部知識就包含在這根棒上，只要把這串長長的數字比對相應的代碼解密就可以了。

沒有質量，沒有位置，沒有大小、沒有顏色和味道的「信息」，是如此有意義！早在1990年代，惠勒（J.Wheeler）就認為「一切源於信息」，主張真實世界的一切可能最終都基於信息（「All things physical are information」）。也曾聽李德毅院士說一句話:「在包括人類自身在內的自然環境里，物質、能量和信息是三大要素。沒有物質什麼都不存在，沒有能量什麼都不會發生，沒有信息什麼都沒有意義！」而包含了全部信息的那個抽象的東西，就是量子態！人們對量子論的困惑不全是因為它違反直覺（相對論也是違反直覺的），而是不願意接受用量子態（波函數）這個不可測量的非物理量作為基本的語言。

------張天才，漫談單量子世界

山西大學的張天才教授在2012諾獎後的一個一個科普文章，對於量子態波函數的描述很有功力。

知乎首答。

由於這學期還在學量子力學，所以自己比較naive。

覺得將有限維Hilbert空間和無限維Hilbert空間的情況聯繫起來能更好的理解波函數的概念。

力學量是Hilbert空間上的Hermite運算元。

在有限維的空間中，可以表示成Hermite矩陣的形式。本徵值均為實數，（非簡併情況下）本徵向量相互正交。

可以用本徵向量為基對力學量做本徵分解

$A = sum_{i}^{}{a_i| alpha_i angle langle alpha_i |} , langle alpha_i | alpha _j angle = delta _{ij}$

再將量子態 $| varphi angle$ 在 $A$ 表象中展開

$| varphi angle = sum_{i}^{}{varphi _i | alpha _i angle} , varphi _i = langle alpha _i | varphi angle$

由Born規則測量後得到結果 $a_i$ 的概率為

同樣的對於無窮維的Hilbert空間，考慮位置表象 $X$ 。對應的本徵值、本徵向量分別為 $x, |x angle$ 。

仿照前面

$| varphi angle = sum_{x}^{}{| x angle langle x | varphi angle}$

但由於 $x$ 連續分布，求和變成積分

$| varphi angle = int_{-infty}^{infty}{dx | x angle langle x | varphi angle}$

令

$varphi (x) = langle x | varphi angle$

其中 $varphi (x)$ 就是所謂的波函數。

故波函數可以認為就是量子態 $| varphi angle$ 在位置表象 $X$ 的基 $|x angle$ 上的展開。這樣就能和有限維的情況下類比了。

總的來說：波函數無非就是量子態在位置表象中的表示，表示形式是位置坐標的函數。

當然在動量表象中的波函數 $phi (x)$ 的理也是一樣的咯。

下面摘一段量子力學課的講義中的話，感覺能給出一個比較形象的理解：

標題的答案是：波函數表示電子狀態。什麼狀態？所有狀態，你想問什麼它都能回答。

至於最後一個關於虛部的問題：

波函數的模方表徵概率密度，這個題主已經知道了。和模方相對應的複數概念難道不是相位么？不要想虛部，想相位！

至於波函數的相位代表什麼，根據我十分粗淺的理解，應該是表徵電子和電磁場的相互作用。

區別於抽象的態矢量. 其實波函數就是 Hilbert Space 上的內積, 譬如 $langle x|phi angle$ , 這個說的是 $phi$ 這個態在坐標表象下的波函數. 當然這種兩邊的基不一樣的內積, 最後得到的數可能是復的.

便宜起見, 下面的"坐標"表象取基只有 ${|x angle}$ 的 Hilbert Space. 你要是把它取共軛跟自己相乘, 譬如 $langle phi|phi angle = langlephi|x anglelangle x|phi angle$ , 這麼得到的就是實的, 也就是對應的幾率. 不負責任的說, 你要是改改順序, $langle phi|phi angle = langlephi|x anglelangle x|phi angle = langle x|phi anglelangle phi|x angle$ , 中間那個 $|phi anglelanglephi|$ 就是 density matrix.

幾率一樣的波函數之間差的是相位, $e^{i heta}$ . 不少情況下, 這些相位是無關緊要的, 甚至好些地方的相位約定就是要求它取成實的. 但是有些 non-trivial 的情況(數學描述大概要用到微分流形, 我不太清楚), 比如說 Berry 相, 相位就有物理含義了, 具體情形我沒詳細推導過. 關於相位和物理效應, andrew shen 的回答有更詳細的解釋:

如何理解幾何相位 (Berry phase)？除了 AB 效應外，類似的通俗易懂的實驗或者現象有哪些？ - 光學

某個態的波函數，是該態的右矢與某算符的一系列本徵左矢的內積。

如果本徵值是離散的，本徵態個數有限，波函數表現為列矩陣（向量）；如果本徵值是連續的，有無數個本徵態，波函數表現為以本徵值為自變數的函數。

所以一般以空間坐標為變數的波函數裡面的自變數其實是用來標記做內積運算的左矢的。

不要用波函數來跟態一一對應，而是右矢跟態對應，波函數比較像是個派生的概念，不是那麼本質的。

我覺得題主可能是剛剛學習量子力學的大學生吧。（猜測）所以才問這樣的問題。我也只是剛學習完初等量子力學的學生。問題的答案已經有大神們寫好，我也不可能寫出更好的。我想在這說點別的，算是學習了一些皮毛後的心德吧。

量子力學所研究的範圍有許多是違背了我們的常識的，但是並不是它有問題，而是常識會干擾我們。

我們老師上課說過，先不要問太多為什麼，因為事實就是如此。有些東西先當做硬性記憶就可以，違背常識因為「大前提」被換掉了。就如我們看到的世界規律可以用「牛頓三定律」描述，那它就是「大前提」。為什麼「牛頓三定律」是這個樣子，因為它可以解釋宏觀事實。而量子力學的「大前提」就可以當做薛定諤方程。（其實這個三段論的例子我也不知道是否恰當）

所以剛開始學習很多東西可能不理解，可能無法想像。先當做硬性的規律知道，當積累到一定量，構造出量子力學規律的世界，也許就會領悟了。

就如同你可以理解這個已經被你明白的由宏觀物理規律構成的世界。

初學者的一些見解。

最近在看量子力學，來試著回答一下. 如果有哪裡不對歡迎指出.

波函數表示電子狀態，我想問什麼狀態？

狀態就是狀態，所有力學量都的信息都蘊含在這個狀態之中. 對力學量的本徵態的展開的係數（概率幅）決定了這個力學量測量結果的概率分布. 從數學上看，就是某個 Hilbert 空間到自身的一個算符（力學量）和其中的一個向量（狀態）. 說是內積的你夠了，真是 not even wrong.

如果兩個電子波函數的模相等，但是它們的函數表達式不同（比如一個是實函數，另一個是虛函數）那麼它們的差別到底在哪裡？

事實上，如果兩個波函數只相差一個常數因子，即它們在對應的 Hilbert 空間中只差一個常數因子，那麼它們描述的實際上是同一個狀態，即所有力學量的概率分布都相同. 然而，如果是若干個波函數相互作用，那麼它們之間的相位差是重要的，因為波函數的疊加是概率幅的疊加，而 $|psi_1 + psi_2|^2 = |psi_1|^2 + |psi_2|^2 + psi_1^*psi_2 + psi_1psi_2^*$ , 後兩項顯然與相位差有關. 事實上交叉項對應了波的干涉，是量子力學的一項基本特徵. 反過來，相位本身是無關緊要的，類似於（在某種意義下甚至對應於）勢能零點的選取：說重力勢能為 0 或為 100J 是沒有物理意義的，只有重力勢能差才有意義.

如果兩個波函數（坐標表象下）模總是相等，但相差的因子不是常數，那麼只能說他們位置的概率分布是一樣的，其他力學量未必相同. 比如所有單色平面波都是均勻分布在全空間的，但它們的動量顯然可以不同.

量子力學真正成功的，就在於電子軌道，解析了氫原子光譜，進而元素周期表。也就是量子電子學，因此波函數限於電子。

所謂波函數的概率解釋，是假設電子是「子」，有證據電子是粒子嗎？其實跟光子一樣，只是在相互作用時表現為量子。特別是束縛態下，事實可以否決有電「子」圍繞原子核轉，精靈般的一團波紋就是電子的本原，就如光子本是電磁波一樣。光是峰谷交錯的兩種波，電子也是，只是電場，磁場能觀測，電子波函數對應的兩種波靜態下觀測不到，只好用實部虛部兩個數代表。若另一個世界能感知光，卻無法觀測電場磁場大約也會用這個辦法。

匿名謝邀。

1，一切狀態。

2。首先是電子不可能擁有全同的波函數。。因為它是費米子。對於同一個電子來說。不同的波函數的角度項的後果就是基本上沒什麼不同。可是角度項的改變是有意義的。對於電子對自身的衍射來說。如果某些路徑上波函數的相位發生了改變。那麼整體上衍射就完全改變了。

一個典型的實驗叫做 AB效應

AB效應_百度百科

總體來說，經典力學裡面並沒有相位不同的概念。所以量子力學作出的一些預言會和經典的不同。其中一個就是磁場對電子的干擾。

經典力學認為。電子只受電磁場的干擾。如果沒有電磁場。那麼電子就不會受到擾動。

量子力學認為。電子還受到電磁勢的干擾。如果沒有電磁場，僅僅具有電磁勢。那麼也會造成可以觀測的效果。

量子力學是對的。所預言的是真實的。勢矢改變了電子波函數的相位。導致衍射條紋移動。這在經典力學裡是無法解釋的。。

瀉藥。自己不是很專業，談談自己理解吧。

波函數是描述電子運動狀態的函數（t,x,y,z下），它的模就是表達電子出現的概率。波函數類比於速度等矢量，速度是帶有方向的。而它們的模僅僅表示的是數值大小，沒有其他含義。而波函數描述的具體是什麼，我也答不上來。

如有錯誤，請指正。

態的投影

概率密度