求證：存在無窮多個正整數n, 使得n^2+1無平方因子且每個素因子小於等於n. ？

01-04

刪掉「且」後面的東西的話挺容易的，然而加上後面那個條件我就不會做啦

放到math stackexchange上問了一下，

number theory

結果Harvard的大牛Noam Elkies出來回答了！總結一下精神：

1. 設n形如P(x),P是整係數多項式。取P使得P^2+1可以分解因式。可取

$P=x^2+x+1$

那麼 $P^2+1=(x^2+1)(x^2+2x+2)$ 。取x為正偶數，那麼 $P^2+1$ 的所有因子都不會超過 $x^2+x+1$ . 不妨寫x=2y. 那麼 $P^2+1=2(4y^2+1)(2y^2+2y+1)$ .

2. 現在用篩子開始篩剩餘類， $yleq Y$ 。注意到4y^2+1與2y^2+2y+1的公因子只有1或5. 假設質數p滿足p^2|P^2+1。那麼 $pleq 2Y$ 且p模4餘1。那麼

$sum_{yleq Y,p^2|P^2+1}1leq Y/5+2 imes Y/25+sum_{pequiv 1(mod 4),pgeq 13}4 imes Y/p^2+O(Y/log Y)$

$leq 2Y/3+O(Y/log Y)$

根據素數定理 $sum_{Yleq yleq 2Y,p^2|P^2+1}1=O(Y/log Y)$

因此在Y充分大的時候至少有1/3的y滿足條件。

恰好數學競賽講過後半句的證法。題主確定不是所有素因子＜n嗎？

爪寫版先將就看一下吧，明天能用電腦了再用公式編輯器敲( ′? ??")