如何通俗的解釋希爾伯特空間，它具有特別的性質么，如果有是什麼？

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在解釋之前，先說一個我導師在上Sobolev空間時講的笑話：

數學上很多定理的命名其實和第一發現（使用）者關係不大，比如H?lder不等式的發現和H?lder本身關係不大。因此有一次，Hilbert開會時發言需要提到Hilbert空間。他不好意思說自己的名字，於是稱呼它為「那個空間」。

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有限的情況總是完美的，可惜世上不如意之事十有八九。

在有限維線性空間（歐式空間）中，有著著名的Bolzano–Weierstrass定理，表明任意有界序列都有收斂子列，從而單位球總是（序列）緊的。可惜在無限維空間中，這個表述不成立的。（事實上這是有限維空間的特徵。）

既然如此，我們在歐式空間 $mathbb R^n$ 中許多良好的性質都將無法在無窮維空間中得到。既然如此，我們是否能夠 $mathbb R^n$ 的一個推廣，使之不局限於有限的維數，但又不失歐式空間的很多良好性質（比如完備性）呢？

這時，Hilbert空間就閃亮登場了。與歐式空間類似，希爾伯特空間也是一個內積空間，從而有度量和角度（及由此引伸而來的正交性概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有柯西序列均收斂，從而數學分析中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間中也有正交基的存在，從而為諸如傅里葉變換等提供了一種有效的表述方式。

簡而言之，Hilbert空間作為歐式空間的推廣，繼承了其大部分性質。具體性質很多，不在此贅述。

【既然評論裡面有人提到了，我還是舉幾個例子吧：

首先，歐式空間裡面的任意元素都是可以用一組固定的基唯一表示的。既然（可分）Hilbert空間裡面有（可數）基，那麼是否能夠考慮將裡面的元素唯一表示出來呢？（Fourier變換）

歐式空間裡面有最小二乘法，在Hilbert空間中是否有類似表述呢？（Bessel不等式）

歐式空間中的線性映射（矩陣）可以求特徵值特徵向量，那麼在Hilbert空間中的特徵值和特徵向量又是如何呢？（譜分析）歐式空間中的實對稱矩陣可以對角化，Hilbert空間中是否有對應的說法呢？（compact self-adjoint operator）

】

可參考各類泛函分析書。比如：

Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces.

或者英文版維基百科

Hilbert space

物理專業（甚至很多工科專業）的同學都應該學點泛函分析。

就是定義了內積的線性空間。