為什麼歐拉常數連是否為有理數都無法證明？

01-04

歐拉常數（wiki：Euler-Mascheroni_constant）是一個數學常數，通常希臘字母 $gamma$ 表示，歐拉常數的定義是
$gamma:=lim_{n oinfty}left(sum_{k=1}^nfrac1k-ln (n) ight)$
請問為什麼證明現在還不能證明歐拉常數是否為有理數？

Why is it hard to prove that the Euler Mascheroni constant is irrational?

這時候就該Google!

簡單說， $e$ 和 $pi$ 是無理數的證明一定程度上還是依賴於下面的性質：我們能找到一個很快收斂到 $e$ 或 $pi$ 的有理數序列。但是現在對於 $gamma$ ，尚不能做到這一點。

最近在學Diophantine逼近，由於涉及Apéry定理，而在2003年Jonathan Sondow寫了一篇關於如果歐拉常數是有理的的幾個等價條件，論文地址如下

http://www.ams.org/journals/proc/2003-131-11/S0002-9939-03-07081-3/home.html

因為很難。

歐拉常數是極限定義的，這樣的定義方式使得對他的研究也特別困難。好比pi，分析里也是用極限給出(比如說定義sinx為那個冪函數的和函數，然後pi記為這個和函數在正實軸上第一個零點)，證明pi是無理數就很麻煩了，看過一個證明，構造了兩個積分推出矛盾來反證。證明它是超越的就更複雜了。

所以這個命題很難，現在還沒有人證出來。(當然，也是因為我們對這個極限式的性質還不夠了解吧╮(╯_╰)╭)

因為沒找到等價猜想，成了孤問題。所以除了證明是不是無理數以外沒有什麼意義。