為什麼圓周率是無理數 pi，而不是一個有理數？

01-04

為什麼圓周率是 3.14 附近的一個無理數 pi，而不是一個有理數呢？

這個證明屬於Ivan Niven。假設pi=a/b，我們定義（對某個n）：

f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!

F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x)

這裡f^(2j)是f的2j次導數.

於是f和F有如下性質（都很容易驗證）:

1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。

2)f(x) = f(Pi - x)

3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增，並且x趨於0時f(x)趨於0，

x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n!

4)對於0 &<= j &< n, f的j次導數在0和pi處的值是0。

5)對於j &>= n, f的j次導數在0和pi處是整數（由1)可知）。

6)F(0)和F(pi)是整數（由4)，5)可知）。

7)F + F"" = f

8)(F"·sin - F·cos)" = f·sin （由7)可知）。

這樣，對f·sin從0到pi進行定積分，就是

(F"(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F"(0)sin(0)-F(0)cos(0))

=F(pi)+F(0)

由6)可知這是個整數。

問題在於如果把n取得很大，由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾，證畢。

原文在此 http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183510788

在數學院求學時證明過，但現在已經忘了。

直觀來看，如果pi是有理數，則pi=n/m，那麼你一定可以構造一個圖形，它完全被圓包裹，或者完全包裹住圓，周長=直徑*pi，這是不可能的。

因為直徑*有理數之後，所構造的周長都是有稜有角的，不會是圓。