如何構造悖論？

01-04

回答中提到的基本都是羅素悖論，比較好奇其他形式的悖論？

什麼是悖論？悖論不是那些錯誤的語句，而是那些沒有辦法賦值的語句。如果一個語句是真的，那麼它不是悖論，如果它是假的，那麼它也不是悖論，如果它是真的也不行，是假的也不行，那麼它就是悖論。我記得悖論應該連命題都不是。當然，悖論本身是承載了意義的。雖然它不能，也不可能有真值（真值，truth value，指「真」或者「假」），但是毫無疑問我們能夠理解它的涵義（sense）。悖論是一種典型的有涵義但是沒有指稱（reference，或者是語義值，semantic value）的語句。

1、「這句話是錯的」

如果這句話是對的，那麼這句話就是錯的，矛盾。

如果這句話是錯的，那麼這句話就是對的，矛盾。

2 、

下面這句話是對的
上面這句話是錯的

如果第一句話是對的，那麼第二句話就應該是對的，進而，第一句話是錯的，矛盾。

如果第一句話實錯的，那麼第二句話就應該是錯的，進而，第一句話是對的，矛盾。

3、 A 是一個包含一所有不包含自己的集合的集合。

這個命題本身不構成悖論，但是由於它會直接導致悖論，所以將其視作悖論的一部分也可以。

如果 A 包含自己，那麼按照定義，A 就不應該包含自己，矛盾。

如果 A 不包含自己，那麼按照定義，A 就應該包含自己，矛盾。

不夠完善的悖論的示例：

說謊者悖論（其實不必然是悖論）

我說：「我是說謊者。」

這並不必然構成悖論。當然，如果「我是說謊者」是我說過的唯一一句話，那麼這個問題就簡化為了「這句話是假話」這種類型的悖論了。

如果，「說謊者」意指那些每一句話都是謊話的人。那麼，只要這句話為假就行了。因為對應的情況是：「至少存在一句話，這一句話是我說的，並且是實話」，而這可以是真的。只要我說過了實話就可以了。當然，如果之前我說過的每一句話都的確是假話，那麼這種情況下「我是說謊者」就會構成悖論。

另一種可能的解釋是「說謊者」是指那些至少說過一次謊話的人。那麼，這句話就可以直接為真，如果我之前的確說過一句謊話。當然，如果事實是，我之前沒有說過一句謊話的話，那麼這個時候，「我是說謊者」就成了一個悖論。

構成悖論的基本要素是自指，但是這並不是一個準確的說法。這個東西和指稱的層數有關。基本上要構成悖論的話，指稱的層數都會是無窮大。因為有一個無限遞歸的過程。

比如說，我要知道「這句話是謊話」的指稱層數，我就要知道「這句話」的指稱層數，而這又有「這句話是謊話」本身決定。所以這個遞歸是沒有辦法終結的。2 的情況類似。

廣義的悖論指任何滿足如下條件的論證：論證的前提是顯然的，並且是可以接受的，論證的方式也沒有明顯的問題，但是論證的結論明顯不能接受。這一類論證的構造方式和解決方式是對應的，可以參考：

希臘懷疑論、維特根斯坦懷疑論、休謨懷疑論、笛卡爾懷疑論有什麼區別，它們各自的特點是什麼？
如何解答堆垛悖論？

悖論本質上都具備兩個條件：自我指涉與自我否定。

比如著名的祖孫悖論：某人坐時光機回到過去殺死了他年輕的祖父。因為祖父死了，所以這個人的父親以及他自己都沒能出生，所以並沒有人殺死這個人年輕時的祖父，所以他出生了並且殺死了他的祖父。我們把年輕祖父被殺死與沒被殺死稱為事件A和非A，把這個某人殺與沒殺他祖父稱為事件B與非B，則A-&>非B-&>非A-&>B-&>A。在這裡關鍵的鏈條是A-&>非A-&>A，其他的B與非B均為中間元素，可自行添加。類似的例子可以參考我的一篇文章：http://www.douban.com/note/212314463/。

更簡短例子比如：這句話是假的。假設這裡「這句話」的真與假分別是事件A和非A，則這裡很直接地是A-&>非A-&>A。至於前面提到的羅素悖論，我認為也可做這樣的歸納，集合A包含自己-&>集合A不包含自己-&>集合A包含自己。由此，我還想到另一個悖論：一個無其它理由地認為自己患有疾病妄想症的人算不算疾病妄想症患者？

但，我認為還有更簡短的例子，比如：。

所謂悖論，就是脫離實際的智障，電腦里叫死循環。一旦結合現實，一切悖論都會被重置，消失，因為它們根本就不存在，都是虛擬假設的，直到後來被騙子設立騙局。

自身指代是萬惡之源

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1. 羅素悖論及其變種

通常來說，這種悖論有其普遍規律，其構造過程如下：

X對一切不對自身實行Y規則的X『實行Y規則，那麼應由誰對X實行Y規則？

以數學語言來說，這個悖論的構成在於「在羅素的理髮師悖論的所有這些翻版中，都是在集合S中確定了一個關係R，它是從其中一個元素到集合S中不以R自關聯的所有元素的關係」。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA

《從驚訝到思考——數學悖論奇景》

未完待續……

前些日子跟人抬杠說了句話，不知道算不算。

我們處女座都不信星座。

我猜你想要的是這個？對角論證法

我要強答。。。無恥地貼一篇自己的文

他今天終於明白，朝聞道，夕死足矣。

他疲憊躺在沙發上，納米材料的沙髮根據他的姿勢自動調整出了最適合的形狀，愜意得讓他閉上眼睛，做了個手勢，系統關上了燈，他陷入了回憶。

十年前，一個人闖進他的人生，奇蹟發生了。

更久以前，他是一個年輕量子物理學家，籍籍無名。那時他畢生的目標就是探索時間這一偉大的命題。他想要揭曉時間的本質，打破這上帝定下的枷鎖。

穿越時空這種研究，在學術界向來是被否定的，在輿論向來是被嘲諷的。但他自己知道，自己不是民間科學家，他要以一名量子物理學家的尊嚴，挑戰愛因斯坦的權威。他認為，這個時代的物理學理論已經足夠去挑戰一些前人所認為不可能的事。他查遍的所有的專業著作，仔細研究所有的前沿理論，無論已經證明或沒被證明的。他通過各種渠道，與世界頂級科學家們反覆討論，取得研究基金，，獲准使用那些最先進的儀器。

這個過程痛苦而漫長，這是一個如怪獸般龐大詭異的理論系統，只有他能與這頭巨獸正面抗衡，雖然他無數次倒下，但他的熱情始終沒有消退，因為他的理論一直在進步，在完善，直到那個常數的出現。

包括他自己，所有人都認為這個常數是一起的關鍵，可這個常數卻無法被找到。它就像一個幽靈，無論用上怎樣的數學工具，怎樣天才的數學家。都無法將它捕捉。他甚至用過窮舉，可他連這個數的範圍都不知道，有理數無理數，實數虛數，無盡的數學，哪裡去找？與他共同工作的科學家，也不得不讓他停下，因為作為科學家的他們，不能眼睜睜看著世界上運算能力最強的量子計算機白白被他佔用，卻只用來計算一個虛無縹緲的數。可他不想放棄，哪怕用世界上最有價值的機器去做一件成功可能性無限接近零的事，哪怕他相信只有奇蹟才能救自己。

最讓他恐懼的是他居然覺得累了，他的熱情之火即將燃盡，並向自己的精神和生活灼燒。他開始懷疑物理學學和數學，他懷疑那個常數，那個理論是否存在於這個世界的理論體系。他覺得就像是上帝鎖上了一道門，然後將唯一的鑰匙扔在了外面。

後來，這道門就被人一腳就踹開了，奇蹟發生了。

這個人是他自己。

他自己來到他面前，說自己來自哪年哪日，如何常數交給了他。他明白了，未來的自己將常數過了過去的自己，過去的自己成為將來的自己將常數給了過去的自己，一個俗套的循環，卻也證明了，這個常數不可能在這個世界被找到。這個完整的理論，其實並不存在。這無法用奇蹟以外的東西來解釋。

其實到這裡，他的理論已經論證完成，從理論到實踐。在他的理論遇到常數問題前，其實已經可以推演出時空旅行的大概了，所以當他為了籌集資金四處演講時，經常有人問他外祖父悖論怎麼解決，他自然不會將口舌浪費在這些完全不懂量子力學的科幻迷上，他說：

「不會有這種問題，我的理論符合平行世界理論。」

這也是外祖父悖論的一種解釋，即時間旅行者回到過去改變歷史後，時間線便出現分杈，分杈的時間線展開的是另一段歷史，原來的世界沒有那個時間旅行者，依然存在，但兩個世界不再有交集。這種理論早有人提出，剛好符合他的理論。但也有問道另一種情況的：

「您讀過海因萊因的《你們這些還魂屍》呢？」

他讀過，而且不巧的是，他的理論也允許這種情況的存在，甚至，這種情況也是最終證明的一部分，可是它發生的幾率微乎其微。

無論如何，在時間機器製造出來以後，他還是得完成自己的宿命，像是專門為他安排的這宿命一樣。

於是在命運的那一天。他在全球觀眾的注視下，消失，回到過去。然後他回來了，接受了屬於他的光榮與讚譽，財富與聲望。

他停止了回憶，睜開了眼睛。一個人影站在黑暗之中。

他並未感到恐懼，只是覺得奇怪。他的房子安裝有安全系統，任何沒有他的允許的人強行闖入都會觸發警報。

他揮揮手，打開了燈。那裡站著他自己。

「你……是未來的我么？」

那人笑了起來，「當然不是，我不是你的未來，我來自另一個世界。」說著很從容地走到側面的沙發上坐下來。

「噢，對不起，我忘了，既然你來了，就不再是『我的未來』了」他笑著回應。

「是啊，不是你的未來。」那人拿起茶几上的刀，挑了個蘋果，削了起來。「你想知道，如果你沒有找到那個常數，或者晚點兒找到它，會怎樣嗎？」

他的笑容凝固了，他猛然意識到了什麼。「你怎麼會……」

「讓我說完好么，先說這個故事：你沒有找常數，然後……你就瘋了，怎麼樣這個笑話還不好笑？」

「會嗎？」他有些無力地問。

「會呀，治療得花好長一段時間呢。但是，這個故事如你看到的，我肯定還是發現了常數，只不過我還得完成一件事，那就是證明。不是論述，是實踐。如你所看到的，我剛進行了最後一項證明。你還別說，瘋過之後啊，腦子反倒清醒不少。」瘋子把削掉的蘋果皮撿起來，將這串完整的蘋果皮放在茶几上，擺了個八字形。

他楞在那裡，一句話也說不出來。智能沙發卻無法讓他做出一個頹唐的姿勢。

「你看，你明白了，我所要做的不過是將常數交給你，然後讓你相信你是被命運選中這個俗套故事而已，然後來到這裡，時間這個齒輪會替我完成這個偉大的循環。

所以你看，我不是你的未來，我是你、以及這個世界的造物主，而你是我的傀儡。

對了，我在這個世界還沒有個容身之所，我覺得你作為傀儡，應該有義務給我提供一個住所。」說著瘋子站起身，順手提起刀，精確地插入了他的心臟。「和你的一切，現在我要進行收割了。」

這事瘋子早已輕車熟路，作為一次成功的證明，那之前無數次的實驗與微調是必不可少的。

看這傀儡驚恐的臉，瘋子覺得還能廢話上兩句，於是接著說：「你看，這件事最美妙的就在這裡，這個世界完全不會察覺到你的死亡，他們只會看到我照常去研究室，去接受採訪，去生活下去。」

忙完這一切後，瘋子也躺在了沙發上，也閉上了眼睛。有一件事瘋子懶得對傀儡講就是，那個常數的發現。他分明記得，在他的被混亂公式、數據折磨得瘋掉的那段日子，他像是為了找一件東西，弄亂了整間屋子，翻遍了所以角落，然後，它出現了像是有人悄悄放在那裡一樣。它絕對不來自自己的頭腦。那麼他是誰的傀儡呢？

不過在他無數次的實驗中，他漸漸明白了，人類的命運可以如此輕易地被操作，被創造，從來不存在什麼自由。