1+1=2是公理還是定理？

01-04

1+1=2這個問題究竟屬於公理（定義）還是定理?
數學中有少數定理人類無法給出證明的話。是否可以認為所有數學定理是「上帝」規定的而人類只是遵從「上帝」的「安排」？

$1+1 = 2$ 是定理

---------------證明如下---------------------------

首先我們有 $0$ ，這是公理。

我們定義 $1 = 0 exttt{++}, 2 = (0 exttt{++}) exttt{++}$ ，其中 $x exttt{++}$ 表示 $x$ 的後繼，這是定義。

我們定義加法為：

$egin{cases} 0+b = b \ (a exttt{++})+b = (a+b) exttt{++} end{cases}$

那麼 $1 + 1 = (0 exttt{++})+(0 exttt{++}) = (0+(0 exttt{++})) exttt{++} = (0 exttt{++}) exttt{++} = 2$

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更多疑問詳見《陶哲軒實分析》

首先，關於集合論的公理系統才是根本性的，請學習ZFC公理系統，學完了再說，謝謝。

ZFC公理系統_百度百科 Zermelo-Fraenkel Axioms

有些人知道peano公理，卻不知道peano公理可以從ZFC公理推導出來

Deducing PA"s axioms in ZFC

然後從PA公理系統中1+1=2可以被證明（不知道你說的「人類」做不到是什麼意思）。具體的證明另外的答案給出來了，還有集合論公理系統叫NBG公理系統，是ZFC的延拓。好處是它只包含有限個公理。這個工作屬於馮諾伊曼。

John von Neumann–Bernays–G?del_set_theory

是定理，證明是 refl 2

1+1=2是公理還是定理？

定理，Peano公理可得（從更基礎的集合論衍生而出）。

1+1=2這個問題涉及到哥德爾第一不完備定理

哥德爾第一不完備性定理是「對於足夠複雜的系統，存在正確性 (soundness) 無法被證明的定理」。1+1=2這個問題的正確性可以被證明，不屬於這個定理考慮範疇。

即數學證明的不完備性也可能存在非構造性證明

所謂的不完備性(incompleteness)是指「存在其正確性無法被證明的命題「，所要求是「存在 $exists$ 」，而不是「全部 $forall$ 」。例子，命題「我在說謊」就是一個反例，足以證明現有邏輯系統的不完備性。

數學中有少數定理人類無法給出證明的話。是否可以認為所有數學定理是「上帝」規定的而人類只是遵從「上帝」的「安排」？

出門左轉哲學，Descartes 的 Evil Genius 和 Harman 的 Brain in a vat 歡迎你。

沒有人提羅素和Whitehead英雄式悲劇的《數學原理》。另外，在 $F_2$ 數域，1+1=0。

其實還是蠻好的問題，但別的答案明顯沒有認真對待。

是公理還是定理其實是相對的。

1. 通常來說，我們將1+1=2作為一個在Peano公理下的定理。因為Peano公理是被大家廣泛認可的，用來構造自然數的公理。但並不是說Peano公理就是唯一的公理了。比如說自然數還可以由ZFC公理來定義。所以在這種情況下，我們可以說1+1=2是定理。

2. 另一方面，因為公理是人為創造的，所以完全有可能創造一個包含1+1=2為公理的一個公理系統。這樣就可以說1+1=2是一個公理了（雖然據我所知沒有這樣的被廣泛接受的公理系統）。

所以嚴格來說，當在問一個命題（如1+1=2）是不是一個定理的時候，是要說明是問的在哪一個公理系統下。

根據上面的討論就可以回答提問中的最後一個問題了，即「是否所以數學定理時"上帝"規定的，而人類只是遵從"上帝"的"安排"」。答案是否定的。因為數學公理是由人為選擇的，只要是自洽的，就能組成公理系統並發展出定理。而不同的公理系統下，得到的定理是不同的，甚至可能同一個命題在一種公理系統下時真，而在另一個公理系統下為假。這也許就是數學與自然科學的區別了。自然科學是對人類所生存的這個世界或者宇宙中的探索，而數學更像是在人類自己創造的世界中的探索。

最後，因為對別的回答中的證明不滿意，這裡給出我在另一問題中寫過的一個在Peano公理下的證明。其他答案中的證明忽略了對1+1≠0和1+1≠1的證明，而這是必須的且不是顯然的。因為只有證明了1+1≠0且1+1≠1，才能定義1+1為一個不同於0和1的數（或者符號），即2。

首先給出皮亞諾公理和加法的定義：

（註：第5條說的是數學歸納原理）

定義：令m和n為自然數，我們定義加法為：

（1）0+m:=m

（2）假設n+m已經被定義，則定義(n++)+m=(n+m)++.

（註：這裡的++是累加運算元，相當於計算機語言里的＋1）

根據以上公理和定義，我們可以證明1+1=2如下：（這裡為了方便分析，步驟會寫得比較細）

證明：

1. 根據公理1和2，存在一個寫作0++的自然數，並且因為公理3，所以0++≠0。

2. 因為0++和0不同，所以我們可以用一個與符號「0」不同的符號「1」去表示（定義）0++，所以有1≠0。

3. 令m=1，根據加法定義的第1條，0+m=0+1=1。

4. 令n=0，根據加法定義的第2條，1+1=(0++)+1=(0+1)++，然後根據上一步的結果有1+1=(0+1)++=1++。

5. 根據公理3可知1+1=1++≠0。

6. 因為1≠0（第2步結果），根據公理4，可得1+1=1++≠0++=1，即1+1≠1。

7. 根據第5、6步，1+1既不等於0又不等於1，所以可以用一個與符號「0」和「1」都不同的符號「2」來表示，定義為1+1=2。□

Peano公理

不明絕厲。對於從小教育的東西，流傳下的公式、定理，符合這個世界的構成，能在此基礎上進行解釋，推導。對數學大師來說，不是給一個0，就能推導整整個數學體系，在整個數學體系上，能推導成整個人類社會，乃至整個宇宙。但是這些推導的依舊還是原來依存在這個社會中的概念和知識。有一種理念說的，所有的一些都只能稱之為發現，不能成為創新，你的創造僅僅是你發現的某些東西。我這些辭彙，不是單純的語言，正如語言背後所展示的內容和含義，思維是如何傳播，通過文字，不同的文字表達的含義不同，不同的時代，相同的詞語也許表達不同的內容。我所說的這一切，都基於一個因。佛家講的因果，有因才有果，有了我學習的經歷，我認知的過程，我形成了我的思想。當時最初的因怎麼來的，正如最初的粒子怎麼來的，最初的0又是怎麼來的，我不知道，但是這不妨礙我的存在。當人存在的時候，總會想一下不存在的事情，然後不存在的東西便成了存在，如果不存在真的存在，那麼久沒有不存在的不存在。這裡都不過是無聊的時候一些思辨，想不清，道不明，學的知識有限，發現（創新）的能力有限，全當痴人說痴話把。

先看實分析

不是定理，應該算無需證明那類。

取決於數域吧？說是定理的，如果是矢量呢？

我覺得是定理

從形式系統的公理出發對應規則推出來的都是定理。在ZFC中，定義一個歸納集為自然數集，當然自然數也是集合滿足適當的條件可以得到遞推原理，由遞推原理再定義加法。

1+1等於1的後繼

是定理，可由皮亞諾公理推導出來。

定理，是由皮亞諾公理推出來的，建議自學實分析，從根源了解數學

買本抽象代數看看就懂了

這種簡單的數學問題google一下就好啊，為啥在知乎提問？

https://zh.wikipedia.org/wiki/皮亞諾公理

對於不太關注宗教的人，如我，明顯先知道的這個後知道的基督教啊。

不過雖然用上帝來解釋這個東西比用這種簡單的數學的方法解釋要困難，但是用上帝來解釋問題更有通用性，比如可以用上帝解釋為啥有人根本不會這些簡單的數學常識。這時我們就不用考慮地區教育資源的不平衡啦、家庭環境的影響啦，也不用費力氣幫小白建立一個無神論的世界觀。

為什麼不用幫他們建立無神論的世界觀呢？因為他們遇到這種百年前就被解決的問題仍然要求助於神來解釋也是「上帝的安排」啊。

某人摘自《陶哲軒實證分析》證明過程。

定義了2=1+1,然後證明1+1=2，這個能叫證明？

定義0+b=b，1=0++，2=(0++)++，（a++）+b=（a+b）++，求證1+1=2

推導如何暗地裡定義2=1+1如下：

因為0+b=b,（a++）+b=（a+b）++

所以2=0+2

=（（0++）++）+0

=（(0++)+0）++

=(0+(0++))++

=（0++）+（0++）

=1+1

所以1+1=2是定理

我想問這叫證明？

這就相當於定義狗這個動物叫狗，突然有一天一個人跑出來指著這種叫狗的動物，大喊一聲，大家證明一下為啥叫狗。

補充：

我認為陶哲軒的過程不能叫證明。

我上面的推理過程，就是推導「定義2=（0++）++」其實就是暗地裡已經定義了2=1+1

好多人沒看懂我的意思。

有些人認為定義的++是後繼，後繼不是一個確定的值，那麼就可以推導出第一個++不能等於第二個++，就相當於兩個無窮大是無法比較大小一樣。

所以，希望大家不要掉入循環證明的陷阱，因為1+1=2是不可證的。

補充：

回答題主說的公理是「上帝」的「安排」。

我對哲學稍微了解點。

上帝是先驗的，公理也是先驗的，題主在說公理是「上帝」的安排，那就是表明先驗1公理是先驗2上帝的從屬。問題是，哲學上就沒有提過先驗之間有從屬性。