薛定諤方程與狄拉克方程的區別是什麼？

01-04

這個很籠統啊，能說多少是多少吧

薛定諤方程： $ihbarfrac{d Psi}{dt}=(-frac{hbar^{2}}{2m} abla^{2}+V)Psi$

狄拉克方程： $ihbarfrac{partial Psi}{partial t}=(-ihbaralpha abla+eta m c^{2})Psi$

觀察這兩個方程的形式，形式上的差別主要有以下幾點

1 薛定諤方程對於時間和空間的導數的階數不一致，導致了如果和狹義相對論結合會有問題。

2 狄拉克方程 $Psi$ 是四分量的，方程裡面的 $alpha eta$ 也都是四維的矩陣。

3 多餘的自由度，使得狄拉克方程中的 $Psi$ 可以用螺旋度和哈密頓量的共同本徵態來標記。這樣它就可以包括自旋的結構以及負能解。狄拉克為了解釋負能解引入反粒子，這些都是薛定諤方程沒有的。

4 就是色散關係的不同，這一點前面的答案也提過了。正是因為線性色散的原因，在石墨烯中是可以存在狄拉克型的方程的（狄拉克點），而且有意思的是它是在非相對論情況的。

狄拉克方程正確的理解應該認為是一個場方程，薛定諤方程也可以理解成一個場方程只不過它不可重整化，在高能下不能用於描述物理，狄拉克方程可以看作是它在高能下的推廣。

簡單來說，

薛定諤方程是量子版本的 $m{F}=mm{a}$

狄拉克方程是量子版本的 $f^mu=mfrac{dx^mu}{d au}$

我覺得它們的區別在於所描述粒子的色散關係不同，就是一個動量為 $vec{k}$ 的粒子所具有的能量（是這樣子的吧？）。對於自由薛定諤方程描述的粒子，是 $frac{k^2}{2m}$ ，而對於自由狄拉克方程描述的粒子，是 $vec{alpha}cdotvec{k}+eta m$ ，或者說 $sqrt{k^2+m^2}$ .

至於其他區別都不是絕對的，例如在石墨烯晶格中運動的電子（固體中的電子自然不是相對論性的），在它的費米點附近可以用狄拉克方程描述（我說的沒錯吧？）。而薛定諤方程當然也可以描述自旋為 $frac12$ 的電子。

這個問題可以擴展成海森堡的矩陣力學方程，薛定諤的波動力學方程和狄拉克方程方程的聯繫和區別。

如果展開說，估計可以寫成論文了。總之薛定諤的波動力學方程是單個波函數，狄拉克方程方程需要四個波函數（矩陣）。

薛定諤方程是非相對論的；狄拉克方程是相對論的，並且描述自旋1/2的粒子