水旋轉為什麼會凹陷？
大半年前的答案竟然被挖了hhh
被羽田中山爸爸點贊受寵若驚另外請大家無視我用cad畫的丑圖...............................................................................終於有我能答的題啦……
其實這題的物理知識僅僅是高中程度，只是數學方法要一丟丟微積分呢。其他答主也講到了旋轉液面液面曲線實際上是開口向上的拋物線，不僅僅是題中所述的「凹陷」下面證明為什麼液面曲線是拋物線首先進行受力分析，我們選取隨圓柱形容器旋轉的參考系，這是一個轉動的非慣性參考系。液體相對於參考系是靜止的。首先建立坐標系以液面最底部為原點，容器轉軸為縱軸。我們隨意選取液面上一個微小的液團dm，它的橫坐標為旋轉半徑r，縱坐標為y，旋轉角速度為w。這個微小液團收到重力和一個慣性力，如下圖所示
以下文字轉自《牛頓的水桶——方勵之文集》http://fang-lizhi.hxwk.org/2011/09/19/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E7%9A%84%E6%B0%B4%E6%A1%B61687-2011/牛頓的水桶1687-2011
發表於 2011 年 09 月 19 日 由 方勵之
絕對的轉動
經典物理的開山之作「自然哲學之數學原理」發表於1687年。書中，牛頓第一個講到的物理實驗是水桶實驗。
牛頓說，用一根長的軟吊繩提一桶水，把吊繩擰成麻花狀。如果你握住吊繩，不讓麻花狀的繩子鬆開，桶及桶中的水是相對是靜止的，水面是平的。突然放開手，麻花開始放鬆，吊繩旋轉，水桶也隨著吊繩旋動。最初，桶中的水並不轉動，只有桶在旋轉，桶和桶中的水有相對轉動。慢慢地，水被桶帶動，也開始轉動。最後，水和桶一樣轉動。這時，水和桶之間又是相對靜止的，不轉動的。但水面卻呈凹狀，中心低，桶邊高。牛頓爵士特別說「 I have experienced」。他親自做過這實驗。
這個實驗很容易，任何有水桶和軟繩的人都可以試試。我也多次做過這個實驗。 1957 冬 – 1958年春， 我在河北省贊皇縣南邢郭村下放勞動。天天要用軟吊繩的桶從約十米深的井中打水。水桶的姿態只能用軟吊繩控制。沒有十天半個月的練習，是學不會水桶姿態控制的。結果是，任憑你讓吊桶十五次七上八下，每次提上來的水，大多不過是半桶水，而且在旋轉。常被同吃同住同勞動的老農（其實不老，同我年齡相仿，但農活經驗老道）笑話：「哈哈，半桶知識分子……」。半桶正好作牛頓水桶實驗。牛頓爵士當年可能也在蘋果樹附近的井中打過水，所以，「I have experienced」。
水桶實驗的關鍵是揭露，有兩種「桶及桶中的水是相對是靜止」的狀態。最初（第一狀態），繩被放鬆之前，「桶及桶中的水是相對是靜止的，水面是平的」；最後（第二狀態），繩被放鬆一段時間之後，「水和桶之間又是相對靜止的」， 水面卻是凹狀。兩種狀態中，水和桶之間都是相對靜止的，但水面卻不同，前者平，後者凹。引起牛頓的疑問，為什麽？
為此，牛頓問一位「聰明人」:「為什麽桶中水面有時平，有時凹？」
聰明人答：「這個問題簡單，轉動時水面凹，無轉動時水面平。」
牛頓反詰：「不對吧。你看水桶實驗，在第一和第二狀態時，水相對於桶都是無轉動的。但水面可以是平的（第一狀態），也可以是凹的（第二狀態）。」
聰明人覺得這個問題也不難答：「雖然在第二狀態水和桶之間相對無轉動，但實際上水和桶同時都在轉動，它們並不是在真正的無轉動狀態，只是相對無轉動而已。所以，水面是凹的。」
到要害了，牛頓的興緻來了：「那就是說，轉動必須分成真正的無轉動，和相對的無轉動。只在真正的無轉動狀態，水面才平。有相對無轉動，沒有真正的無轉動，還不行。」
聰明人只能同意了：「應當是吧。」
牛頓再追問：「那，誰是在真正的無轉動狀態？」
聰明人意識到這是難題，只能碰碰運氣了：「水井就沒有轉動呀！水井就在真正的無轉動狀態。」
果然被牛頓抓個正著：「哈哈，聰明的朋友，水井建在地球上。如果水井是在真正的無轉動狀態，地球也應當是在真正的無轉動狀態。這不就同哥白尼學說矛盾了嗎? 地球的自轉一天一圈，公轉一年一圈，雖然比水桶的旋轉慢得多，但也是在轉動呀。」
聰明人語塞：「……」
牛頓緊逼：「再想想，什麽東西在真正的（或絕對的）無轉動狀態？」
聰明人想：是太陽？不對，太陽也有轉動。是銀河系？（牛頓時代，尚無銀河繫結構概念）不對，銀河也有轉動……
聰明人已無招架之功了：「牛先生，還是請你告訴我們答案吧。」
其實，牛頓自己也不知道答案。但是，牛頓的過人之處，在於敢大膽假定他自己也沒有見過的東西。牛頓在他的「自然哲學之數學原理」里假定，「絕對空間：其自身特性與一切外在事物無關，處處均勻，永不移動」。「永不移動」的東西當然是不會有轉動的。所以，「絕對空間」是在絕對的無轉動狀態。儘管，誰也沒見過「絕對空間」。
這樣，水桶實驗的一個自洽的解釋是，只當桶中水相對於絕對空間無轉動時，水面才是平的，否則是凹的。
馬赫的解釋
一百多年後， E. 馬赫 （1838-1916）強烈反對牛頓的解釋。主要理由就是，牛頓的假定 —— 「當桶中水相對於絕對空間不轉動時，水面才是平的」—— 是無法實驗檢驗的，無法證偽的。誰知道如何觀測「絕對空間」？
馬赫提出的解釋是，如果桶中水相對於整個星空背景無轉動，水面是平的。當水相對於星空背景有轉動時，水面是凹的。馬赫的解釋中，不需要絕對空間。表面看，馬赫似乎只是用「整個星空背景」替代了牛頓的「絕對空間」。但二者有很大不同，馬赫的解釋是可以檢驗的。人人都看得見「星空背景」，而看不見「絕對空間」。
人類很早就以星空背景作為位置和方向的基本參考系。無論是在陸地上旅行，或在海上航行，星空背景都是有效的導航者。（南邢郭村是一個很孤立的小村。如果在無月夜去其他村，必須靠星空辨識方向。否則，在四面漆黑的平坦的田野上，很容易走失方向，嚴重者走成鬼打牆的圈子。所以，老農警告：「陰天夜不出行」。）
表面看，馬赫的解釋似乎與星空導航相似，實則有很大不同。導航參考系是運動學（位置和方向）問題，而馬赫解釋賦予星空背景特別的動力學性質。他說，水面之所以變凹，是由於星空背景與水之間的相互作用。相互作用是動力學。馬赫還設計了一個「手臂實驗」，類似牛頓的水桶，證明他的動力學解釋，大意是：
「你站在星空下的一塊開闊地。如若你的兩個手臂自然地下垂在身體兩邊，這時你看到的遙遠星空（相對於你）必是不轉動的。然後，你設法讓自己以身體為軸，快速自轉。以致你的兩個手臂不再自然地下垂，而是向兩邊分開。這時，你會看到，整個星空（相對於你）在快速地旋轉。」所以，用你看到的遙遠星空是否旋轉，可以區分兩種狀態「手臂自然地下垂」和「手臂自然地向兩邊分開」。「手臂自然地向兩邊分開」是由於旋轉星空對手臂的作用。
手臂實驗要比牛頓水桶實驗還難做。誰能讓自己快速自轉，以致手臂都不能自然下垂？芭蕾舞演員也難於做到。用芭蕾舞者的裙子在旋轉時張開的角度，似可行。
不過，馬赫的解釋的確可以極精確地驗證，無需牛頓的水桶，芭蕾舞者的裙子，而是用陀螺。陀螺的最基本的動力學性質是它具有轉動慣性。物體慣性的基本動力學性質是：在沒有外界干擾時，動者恆動，靜者恆靜。轉動慣性的基本動力學性質是：在沒有外界干擾時，陀螺的轉軸方向保持恆定，它的指向是不變的。
按馬赫的解釋，一個沒有外界干擾的陀螺軸的指向，應當相對於星空背景無轉動，亦即，
「一旦一個沒有外界干擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向。」
各種飛行器上的慣性導航系統，就是根據陀螺的這個性質。當飛行器轉向時，慣性導航儀中的陀螺軸指向相對於星空保持不變。所以，不必看星空背景，只要看陀螺，就可以度量飛行器相對於星空的轉動。
再回到牛頓水桶。如果把牛頓水桶和導航陀螺兩者放在一起，讓陀螺軸垂直於吊繩，按馬赫的解釋，當水面是平的時，水相對於陀螺軸一定無轉動，當水面是凹狀時，水面相對於陀螺軸必有轉動，這也可以實驗驗證。至此，在馬赫解釋里，陀螺，水桶，芭蕾舞旋轉，星空背景等之間的關係，都得到自洽的說明，而且有實驗支持。
愛因斯坦的「顛覆」
如果「無轉動狀態決定於星空背景的作用」，那末，邏輯上就不能否認個別星體也會對動力學無轉動狀態有作用。因為，星空背景是由個別星體構成的。當然，整個星空背景包含大量星體，其作用可能比個別星體的作用大得多。
不過，個別星體的作用是否可以忽略，不能想當然，而應由定量的理論估計。
馬赫也意識到，他的解釋必須有動力學理論支持。他曾企圖建立動力學理論，定量解釋「水面之凹，是由於水與星空背景在相對轉動時的相互作用」。但不成功。
愛因斯坦於1915年建立廣義相對論。
1916 – 1918 年就有人注意到，廣義相對論的一個重要推論是，無轉動狀態不僅取決於星空背景，也決定於個別星體。
如果有一艘飛船飄浮在太空里，它距離所有星球都很遠。這時，太空飛船里的導航陀螺軸相對於星空背景是不轉動的。如果飛船離一顆星體太近，按照廣義相對論，導航陀螺軸相對於星空背景是有轉動的。結論是：
「一旦一個沒有外界干擾的陀螺軸指向星空某一方向，它就總是保持這個方向」——在星體附近不再正確。陀螺導航的根據被「顛覆」。
「顛覆」效應的大小，取決於星體的質量和轉動。如果飛船飛到一個快速轉動的大黑洞附近，陀螺軸相對於星空背景會有很強的轉動。這時，不能再用它導航。
幸好，地球的質量不大，自轉（一天一圈）也慢。「顛覆」效應很小。在近地空間的飛機和衛星，仍可以用陀螺導航，廣義相對論只帶來極小的修正。修正有兩項：
1。測地漂移：地球質量引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（1916，W. de Sitter [1]）；
2。慣性參考系拖拽：地球轉動引起的陀螺軸相對於星空背景的轉動（J. Lense 和 H. Thirring [2] ）。
在地球上空一千公里以內的導航陀螺，測地漂移大約是每年千分之一度（角度，下同）。慣性參考系拖拽大約是每年十萬分之一度。
所以，如果你乘的飛機是Airbus 380 （其中就有由激光陀螺構成的慣性導航系統），那怕飛行一整天（24小時），飛行距離兩萬公里。測地漂移和慣性參考系拖拽帶來目標偏差，分別不大於1米，和1厘米。導彈的飛行時間短，飛行距離小，廣義相對論的修正更小。
歷時48年的「水桶」實驗
今年（2011）五月底，物理評論通訊（Physical Review Letters ）發表了一篇短文，只有五頁 [3]。它報告了Gravity Probe B 實驗的最終結果。Gravity Probe B 實驗的目的是精密測量地球附近的測地漂移和慣性參考系拖拽，以定量地檢驗廣義相對論。Gravity Probe B 的主要裝置是，一台極精密的陀螺儀放在一顆衛星上。衛星的軌道為圓形，並經過地球南北兩極上空，離地高度642公里。它測量陀螺軸相對於星空背景的轉動。按廣義相對論計算，在這個衛星上陀螺軸的測地漂移和慣性參考系拖拽，分別是每年千分之1.8度，和每年十萬分之1.1度。
Gravity Probe B 由斯坦福大學C. W. F. Everitt教授主持 。這項實驗歷時48年（1963 – 2011）。前45年 （1963 – 2008），由美國宇航局（NASA）支持。它是美國宇航局支持時間最長的一個項目，共耗資 7億5千萬美元，亦即，五頁的文章，每頁平均耗資1億5千美元。美國宇航局於2008年停止支持。近三年（2009 – 2011），是由沙烏地阿拉伯王國的一位王子 —— 在斯坦福大學獲PhD 學位 —— 在沙特王國找的錢。
儘管Gravity Probe B耗費的時間和財力巨大，其結果並不理想。按原來宣稱的目標，Gravity Probe B 能給出精度達0.01% 的測地漂移數據，和精度達1% 的慣性參考系拖拽數據。而最終結果的精度只分別是 0.28% 和 19%。比預期的精度差十倍以上。 因此，引來不少微詞 ，「花錢太多了……」。
不完全成功的主要原因是，項目主持人低估了技術上的困難。技術的關鍵之一是陀螺的穩定性。我認識Everitt教授，他年紀長我兩三歲。80年代初期，Everitt訪問過中國。那時Everitt 正雄心勃勃招兵買馬，因為項目進入工程階段，需要工程人員。Everitt曾問我：「你認識不認識搞陀螺的中國工程專家，有好的給我推薦。」我說：「試試看」，我知道七機部里有人研究陀螺技術。但是，Everitt 回美國後不久，就來信說：「不必找了，美國防部不同意找中國陀螺專家，因為陀螺是軍事技術， 不能讓中國專家介入。」
美國防部的戒令，後來好像廢了。Everitt 的團隊里，有中國學生。可能因為 ，美國防部認識到，Everitt 要做的陀螺，難有軍事應用。Everitt 等在他們的論文中一開始就寫到，他們需要的陀螺的穩定性要比現今最好的導航用陀螺高一百萬倍！Everitt要測「每年十萬分之1.1度」的轉動，那末，陀螺的不穩定性至少應當小於每年百萬分之1度。而Airbus 380上用的激光陀螺的不穩定性，不會小於每年1度。所以，它比Everitt 等的要求——小於每年百萬分之1度，要差一百萬倍以上。（物理和天文前沿實驗用的儀器，其精度，一般都比民用和軍事設備高。許多高精度技術，是物理和天文前沿實驗的副產品。）
我在Everitt的實驗室看過他的陀螺儀原型。它由4個乒乓球大小的水晶球構成。球的每個方向上不得與理想球面有40個原子厚度以上的偏差。球的表面再鍍以鈮。4個水晶球都放在液氦的低溫（1.8K）環境里，幾乎沒有熱雜訊。在此低溫度下，鈮成為超導體，當鍍鈮水晶球轉動時，會產生磁場。磁場的方向就是陀螺的軸的方向。Gravity Probe B即測量磁場方向相對於背景星的轉動。
雖然Gravity Probe B不完全成功，Everitt 等人近半個世紀的努力，仍是功不可沒。它是第一次在近地空間，用陀螺直截了當地證偽了「一旦一個沒有外界干擾的陀螺的軸指向背景星空某一方向，它就總是保持這個方向」。其結果支持愛因斯坦理論預言的測地漂移和慣性參考系拖拽。
下一輪的「水桶實驗 」
今年（2011），義大利空間局將發射激光相對論衛星（Laser Relativity Satellite [LARES] ）。計劃費用為4百萬歐元 。其目的是要將慣性參考系拖拽測准到 1% [4]。LARES 不用陀螺儀。LARES 的軌道本身就是一個陀螺。（同行們正在 關心，義大利債務問題是否會影響 這個項目）。
等著瞧，四百多年的牛頓水桶，還在轉。
參考文獻
[1] W. de Sitter , Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 77, 155, (1916)
[2] J. Lense and H. Thirring, Phys. Zeits, 19, 156, (1918)
[3] C. W. F. Everitt et al. Phys. Rev. Lett. 106, 221101, (2011)
[4] I. Ciufolini et al. Space Sci. Rev. 148, 71, (2009)
2011, 9. Tucson
樓上已經有很多有意思的回答了，其實我個人覺著這個問題可以引深為，為什麼水池（或者浴缸）里的水流出時（進入下水管）是旋轉且凹陷的
補充一點，在流體力學的觀點中流體微團只能受壓力，不能受拉力，所以旋轉時的離心力作用下流體微團會發生相互的滑動，通過受力分析可知會形成拋物面
因為它「知道」自己正在 相對 於某個遙遠的恆星旋轉，所以它才不樂意的在杯子邊緣升高。
——喬治.貝克萊
牛頓在他的著作《自然哲學的數學原理》對此現象解釋為相對於絕對空間旋轉。但三十年後，愛爾蘭的數學家兼哲學家喬治同學認為一切運動都是相對某種參照物，絕對空間不可「察覺」也就不可「參照」。既然世界充滿了滿天繁星，我們才有了合適的參照物。可惜喬治的想法過於超前，直至150年後他的觀點才被人認可。
在我看到的科學史書內，這兩位大佬都是在哲學角度解釋這個問題，書中並無給出具體的力學分析。一句話就是離心力。液體做圓周運動的時候也和其他物質一樣需要向心力的，對於液體中的一個微元來說，它的向心力由圓周外側與圓周內側的壓強差提供，外側壓強需要超過內側壓強，當外側液面高度高、內側液面高度低的時候，這個液面高度差就提供了這個壓強差，從而使液體可以保持圓周運動。實際的液體運動要更複雜一些，有粘滯力、伯努利效應之類的問題，不過大致上來看就是這樣了。
這是一個很有意思的問題，可以用高中知識解決。我直接上圖了……(點擊可以看大圖，字差湊合看吧……)
一個密封的圓柱形罐子，裡面一半水，一半汞，你猜旋轉罐子會發生什麼？
百度「水桶實驗」或「馬赫原理」，你會發現這個事情還真有點意思。。。
如果你沿與水桶半徑垂直的方向攪動水桶中的水，水桶內的水一開始是沿垂直於水桶半徑的方向運動的，於是水桶四面的水位升高，而水桶中心的水位下降，而一旦四面水面升高，水繼續沿垂直於半徑方向的運動就受到了阻礙，所以水的運動方向發生改變，水四面都受到升高的水面所產生的力的阻礙，所以水只好沿曲線運動，於是旋轉的水面會凹陷。
謝邀～(哇！第一次被邀請！受寵若驚 ！)
其實凹陷並不是凹陷，而是水都到向外圍去了，所以顯得中間凹陷
因為物質做圓周運動需要向心力的支持，圓周運動剛開始的時候因為液體表面是平的，幾乎沒有壓強，所以幾乎沒有向心力支持水做圓周運動，表面的水就會沿著切線方向「飛」出去，故而外圍的水面會升高，又因此會對內部的水產生壓強，因此內部的水有向心力做圓周運動
綜上所述，水在旋轉的時候中間會凹陷謝謝邀請@Yui Yoshioka
前面的回答，已經闡述的非常細緻。我僅從力平衡的角度談談理解。
從旋轉坐標系（非慣性系）觀察，假設已經處於靜平衡狀態。由於角動量相同，靠外的流體速度大，離心力較大，需要更大向心力來平衡。在流體內部，向心力來自流體靜壓力。而壓力與高度成正比。因此，越靠近外緣，液面越高。
從實驗室觀察（慣性系），系統中的任意流體團的軌跡是一個圓，即持續的具有一個（向心）加速度。根據牛頓第二定律，這個加速度來自與某向心力。那麼，這就是流體內部的靜壓力了。
等勢面彎了
水旋轉導致渦旋內部壓力遠低於周邊水壓力，也小於大氣壓，而且越靠近渦心與大氣壓的壓差越大，所以呈現出這種特徵。
考慮與水桶一起旋轉的參考系內的某一小液塊，其受重力和慣性離心力作用。設坐標系XOY，其中x為橫軸，設水面方程為y=y（x），即得dy/dx=tanα=mrω^2/mg=rω^2/g（其中m為小液塊質量r為旋轉半徑ω為角速度）dx乘到右邊等式兩邊積分得到一個拋物線方程，積分常量為中心水面高度。又軸對稱即得水面為拋物面。
離心運動會讓水向圓心外有力的作用！這樣，水的和力就指向了斜下方，就不會在水平面成平面了～說的亂七八糟～我都懵逼了～自己領會～
總體原因是中間的水向四周移動，造成了中間凹陷。
原因有兩方面：
1，圓周運動：水做圓周運動，收到離心力作用。水會向四周移動。
2，流體力學方面：由上面的做圓周運動可以推算出離中心越遠，線速度越大。根據流體力學中速度越大壓強越小也可以得到水會向四周移動。
其實這裡還可以反推，為什麼最後水不動的時候水面會回歸平整，還不就是因為速度沒有，離心力也沒有了，然後內外速度相同，壓強差也沒有了。
所以應該是兩方面的力同時作用的效果。
這是離心現象。水做圓周運動需要向心力。而水在相對筒靜止時，水分子之間沒有過多的壓力（粘滯力），都處於受力平衡狀態（近似）。當水隨筒轉動時，水分子之間的水平壓力不足以提供向心力，所以會把部分水分子擠到筒邊，依靠筒壁的壓力提供向心力。所以中間低四周高，而且，隨著角速度增大，水的邊上和中心的高度差越大，就是這個原因。順便寫一下向心力的公式F向心力=mω2R，其中，m為質量，ω為角速度，R為旋轉半徑。
離心力學過嗎？
瀉藥。這個該是經典力學範圍吧。應該是旋轉運動的水分子，有切線和離開圓心的速度，運動水分子和外側低速分子作用(液體有黏性)，部分動能變成重力勢能。
作為一個物理學渣強行回答此題，怒證一波自己其實還是有學霸體制的
一句話：感覺這個就是高中講的離心力如果不對，歡迎評論指出錯誤推薦閱讀：
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