對Maryam Mirzakhani的工作很感興趣，有沒有人能簡單的談一談她的工作？

01-04

我有一個riemann conjecture的證明的program，其中一步需要類似於她的工作，所以我很想了解她的工作。

References

M. Mirzakhani, 「Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli
spaces of bordered Riemann surfaces」, Inventiones Mathematicae, 2007.

M. Mirzakhani, 「Weil-Petersson volumes and intersection theory on the
moduli spaces of curves」, Journal of the American Mathematical Society,
2007.

M. Mirzakhani, 「Growth of the number of simple closed geodesics on hy-
perbolic surfaces」, Annals of Mathematics, 2008.

M. Mirzakhani, 「Ergodic theory of the earthquake flow」, International Math-
ematics Research Notices, 2008.

Mirzakhani重新證明猜想的論文是我讀過的最優美的三篇論文之一。（註：另外兩篇分別是Kontsevich解決Witten猜想的論文，以及RodinSullivan解決Thurston關於圓堆積(Circle packing)的極限收斂於共形映射猜想的論文。）

最近因為比較忙，也沒時間認真去重讀一下論文，暫時就憑印象大致回顧一下吧。若有紕漏，歡迎方家指正。

論文主要用到三個結果：1，Wolpert公式，這個式子表明模空間的辛形式可以用Fenchel-Nielson坐標簡潔地表示；2，Duistermaat-Heckman定理，這個定理建立了Chern類之間相交數與模空間的體積的形變的關係。而由前面的Wolpert公式，這又轉化為Fenchel-Nielson的坐標的積分，而Fenchel-Nielson坐標事實上就是pant分解下某些測地線的長度與粘貼起來的twist角度。最終Witten猜想轉化為關於帶邊Riemann曲面上某些測地線長度之間的遞歸關係。3，推廣的McShane公式，就是前面所需要的遞歸關係的公式。通過以上三步，Witten猜想由此得證。

我個人覺得這裡面最了不起的發現是第二個，即利用Duistermaat-Heckmann 定理將Chern類之間相交數的關係轉化為體積形變。這需要對辛幾何以及示性類等知識有非常熟悉的理解，以及對不同分支之間聯繫的深刻洞察。就我個人的感覺，Mirzakhani的眼界與創造性是遠遠高於常規研究模空間的那批人的，她在數學上的貢獻也完全配得上菲爾茲獎。

最後，我想提一下她博士期間那三篇論文的關係。這三篇文章中，解決Witten猜想的這篇論文發表於JAMS。如前提到的，它最終轉化為McShane公式的推廣，該推廣結果發表於Invention。在解決Witten猜想的過程中發現的計算體積的技巧，恰好又可以用於解決Riemann曲面上簡單閉測地線計數的漸進公式，該結果發表於Annals。

以上最後一段關於Mirzakhani研究工作的動機及先後順序的認識可能有誤。復旦大學的蘇偉旭師兄專於Teichmuller理論及模空間的研究，對Mirzakhani的相關工作更加熟悉，他慷慨地允許我把他的一些評論附於我的答案之後。

「Mirzkahani 研究的出發點應該是曲線記數。她發現了研究這個問題的兩條途徑，一個是在模空間對幾何函數作積分，一個是利用地震流在模空間的分布。採用第一種方法時，她需要推廣McShane 等式。至於Witten猜想的新證明，應該是副產品，並非她的出發點。而第二種方法，讓她考慮了地震流的遍歷性，從該方法推出曲線計數公式則是去年才把論文貼在arXiv。」

「最後、她拿獎的最重要一點，是她和Eskin 給出了Abel微分模空間SL（2，R）閉包的分類。該結果被譽為這一研究領域的魔杖，證明達兩百多頁，光寫就寫了兩年多。」

最早知道Mirzakhani的名字是2012年在Luminy開會的時候聽到Eskin的一系列講座，介紹他和Mirzakhani證明的Moduli space上的關於 $mathrm{SL}_2(mathbb{R})$ 不變測度的分類定理（arXiv:1302.3320）。這個定理可以看作Ratner測度分類定理在Moduli space上的類比。Marina Ratner在今年7月7日突然去世，一周之後Mirzakhani也去世了。不禁令人感慨。

這個工作幾乎被看作是不可能的任務。我曾經試圖學習他們的論文，至今未果。所以也無法介紹其中的精髓。

之後出於好奇，我學習了Mirzakhani的博士論文。下面我簡單介紹一下我從她的博士論文中學到的一些東西。

我們考慮一個虧格為 $g$ ，有 $n$ 個洞的雙曲曲面 $S_{g,n}$ 。一個經典的問題是數 $S_{g,n}$ 中的閉合測地線。這個問題由Selberg用Trace Formula解決：長度不超過 $L$ 的閉合測地線的個數大約是 $e^L/L$ 。Mirzakhani考慮的是下面這個更精細的問題：如果只數簡單的閉合測地線，會怎樣？這裡簡單的意思是沒有自相交的測地線。這個問題之前只有一些簡單的情況被解決。而Mirzakhani對任意的曲面都給出了一個漸近公式。這雖然不是革命性的工作，但也是非常優美的。

證明的思路大致如下：對於其中的一條簡單曲線 $gamma$ ，我們可以考慮 $gamma$ 在mapping class group $mathrm{Mod}_{g,n}$ 作用下的軌道： $mathrm{Mod}_{g,n}cdot gamma$ 。軌道中每一條曲線都是簡單的，而且都有一個唯一確定的雙曲長度。另一方面，我們考慮 $S_{g,n}$ 上的measured lamination 組成的空間 $mathcal{ML}_{g,n}$ ，每條曲線都可以看作是 $mathcal{ML}_{g,n}$ 中的一個點，而且可以看作是其中的一個整點，即 $mathcal{ML}_{g,n}(mathbb{Z})$ 中的一個點。當我們固定 $S_{g,n}$ 中的雙曲結構，則每一個 $mathcal{ML}_{g,n}$ 中的點 $lambda$ 都有一個唯一確定的長度，我們記作 $l_{lambda}(S_{g,n})$ 。於是我們考慮下面的計數問題：對於給定的比較大的數 $L$ ，我們關心下面的集合

${g in mathrm{Mod}_{g,n}: l_{ggamma}(S_{g,n}) leq L}$ 的個數。我們記這個數為 $s_{S_{g,n}}(gamma, L)$ 。對於數數問題比較熟悉的朋友都知道，對於一個連續空間，我們要數其中一個離散子集在一個大球中有多少個點，一般我們期待這個數與這個大球的體積成正比。那個大球 ${lambdain mathcal{ML}_{g,n}: l_{lambda}(S_{g,n}) leq L}$ 的體積是多少呢？它是單位球

$B_{S_{g,n}} := {lambda: l_{lambda}(S_{g,n}) leq 1}$ 的 $L$ 倍擴張。我們記它的體積為 $B(S_{g,n})$ 。由於 $mathcal{ML}_{g,n}$ 的維數為 $6g-6+2n$ ，我們期待 $s_{S_{g,n}}(gamma, L)$ 大致與 $B(S_{g,n}) L^{6g-6+2n}$ 成正比。為了證明這一點，我們要研究 $mathrm{Mod}_{g,n}cdot gamma$ 在 $mathcal{ML}_{g,n}$ 中的分布情況。一個很自然的想法就是定義下面這個scale之後的測度

$mu_{gamma, T} (U) = frac{sharp{TU cap mathrm{Mod}_{g,n}cdot gamma}}{T^{6g-6+2n}}$ 然後研究當 $T oinfty$ 時的極限測度。我們想證明這個極限測度等於某個常數乘以 $mathcal{ML}_{g,n}$ 上的Lebesgue測度Thurston volume form $v_{g,n}$ 。

我們取其中任何一個收斂子列，假設它的極限為 $v$ 。很容易證明 $v$ 關於Lebesgue測度是絕對連續的，而且在mapping class group $mathrm{Mod}_{g,n}$ 的作用下保持不變。由於 $mathrm{Mod}_{g,n}$ 在 $mathcal{ML}_{g,n}$ 上的作用是關於 $v_{g,n}$ 遍歷的，我們得到 $v = k v_{g,n}$ 。我們還需要證明 $k$ 與我們選擇的子列是無關的。要證明這一點，我們需要研究 $k$ 所滿足的性質。

根據定義， $s_{S_{g,n}}(gamma, L)/L^{6g-6 + 2n} = mu_{gamma, L}(B_{S_{g,n}})$ 。所以當 $L o infty$ 時，

$s_{S_{g,n}}(gamma, L)/L^{6g-6+2n} o k B(S_{g,n})$ 。

這裡Mirzakhani用了一個技巧：讓 $S_{g,n}$ 在 Moduli space $mathcal{M}_{g,n}(b)$ 中變動，其中 $b$ 是曲面各個破洞的邊界長度。如果我們把上面這個極限的兩邊關於 $S_{g,n}$ 積分，我們就得到

$k int B(S_{g,n}) = lim_{L o infty} frac{1}{L^{6g-6+2n}} int s_{S_{g,n}}(gamma, L)$

其中 $int B(S_{g,n})$ 是一個有限的積分。這個證明並不平凡，Mirzakhani用了一些組合的近似對它進行了一些估計。 $int s_{S_{g,n}}(gamma, L)$ 是一個關於 $L$ 的多項式，次數為 $6g-6+2n$ 。於是右邊的極限就是這個多項式的首項係數。這個證明是整個論文的核心部分。主要是因為這個積分可以劃歸為Moduli space的體積關於參數的積分，而Moduli space 的體積主要通過歸納法來得到，都是一些多項式。主要的技巧就是通過把曲面剪開，得到一些比較簡單的曲面，從而將問題簡化。

這樣， $k$ 就可以顯式的表達出來了，也就跟選擇的子列無關了。這樣就完成了證明。

Mirzakhani的博士論文還研究了Moduli space上的Chern class的相交數問題，對Witten猜想給出了一個新的證明。

讀了這篇論文，我學到了很多。整篇論文從無到有建立了一整套框架，非常漂亮的解決了問題，內容非常豐富。

之前有回答說博士論文有可能是老師幫忙完成的。我不同意這樣的說法。導師在學生研究的過程中只能提供指導性的幫助，比如為學生選題，在學生研究過程中給一些soft的建議。而Mirzakhani博士論文的選題太龐大，不會是導師為學生指定的。導師為學生選的題目一般比較小。

謝邀。

首先是Riemann hypothesis不是Riemann conjecture.

其次看引用的文獻她是做動力系統、做幾何的，我才疏學淺並不知道Riemann surface和Riemann hypothesis有什麼直接的聯繫。

如果幾何裡面也有個黎曼猜想的話，我倒是有興趣聽聽是講什麼的。不過如果你指的是zeta函數那個黎曼猜想的話，我有很大理由懷疑你是民科，因為她做的東西跟這個基本不太搭嘎。

在數學行業，感興趣的話。如果是導師，可以強制學生看，然後給自己彙報工作。如果是學生，那就自己看。

http://mp.weixin.qq.com/s/9gCui6uDjO8p__ASaQnprg

微信老顧談幾何

，真的蠻可惜的。

誒誒今天師弟邀請了我一下我才發現怎麼特么問題題目和內容都變了…

我記得之前這位民科兄問的不是黎曼猜想和黎曼曲面有啥關係么…怎麼今天就蹭開熱點了…

謝邀！隔行如隔山，本人水平極其有限，所以不清楚，抱歉！！！

Mirzakhani教授拿菲爾茲獎的工作主要就是她的博士論文。這篇論文分三個部分發表在三家數學頂級雜誌上：Annals、Inventiones、JAMS。這三份雜誌和Acta一起合稱「四大」數學雜誌。在數學界，在「四大」上發表一篇論文是一種巨大的榮譽。

外界可能難以想像、但讀過數學博士的都知道，大部分博士論文是導師的貢獻。導師幫忙寫論文也很常見。絕大部分博士生如果沒有導師的幫助，做不出任何非平凡的結果。

紐約大學教授Wilhelm Magnus有六十多名學生。他這樣說過："I don"t mind writing a student"s thesis. I object when they come back to check my rate of progress."

這不是因為學生不夠聰明、不夠用功，而是數學這門學科的現狀決定的。數學發展到今天已經非常成熟了，要在博士階段就做出點新東西非常困難。

如果說有人在讀博時自己寫了三篇「四大」，讀過博士的應該都不會相信。這明顯有悖常識。因此，Mirzakhani教授獲獎工作的獨立性存在疑問。

另一方面，數學界性別不平衡的現象非常嚴重。頂尖女性數學家數量很少，幾乎從未得過重要獎項。長期以來，這一現象廣受詬病，影響數學在公眾中的形象。奧巴馬執政時期更是如此。

因此，尋找女性數學領袖是數學界的要務。Mirzakhani發過三篇「四大」、還拿過國際奧賽金牌，是個不錯的人選。2014年，Mirzakhani獲得了菲爾茲獎，被推向了風口浪尖。

還有一點，當時西方和伊朗正在尋求改善關係。所以Mirzakhani的獲獎不能排除有政治因素的作用。

背負了不能承受的巨大榮譽，Mirzakhani教授的心理壓力可想而知。巨大的心理壓力對身體健康當然會產生嚴重的負面影響。

Mirzakhani教授已經離開了我們。她的離開令人感嘆。Mirzakhani教授的一生看似輝煌，但其實是一個悲劇。她是數學這門畸形的學科的犧牲品。