一個求極限的問題？

01-04

xx考研老師說這個極限是等價不存在的，不等於1。
解釋是這樣說的：當x趨向於零時，sinx等價於x(等價無窮小)，然後x是趨向於0但x不能等於0，x*sin(1/x)是可能取到0的，因為sin(1/x)是振蕩的，此時分母取到零點，就說明函數在這一點是無定義的，違背了函數f(x)在x-&>0時處處有定義的說法，所以這個極限是不存在的。
但是用MATLAB計算是等於1的

所以感到很困惑，到底是怎麼樣的？

謝邀。以前回答過這個問題：當x趨向於0，sin(xsin1/x)/(xsin1/x)是否為1？ - 余翔的回答，不過那個問題好像被舉報了。下面是以前的回答，修訂了一下錯誤。

是的，不過更準確的應該是 $(lim_{x ightarrow 0;xin Esetminus{0}} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} =1)$ 。

首先需要知道極限 $(lim_{x ightarrow 0} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} )$ 指的是什麼？因為 $x$ 並不能取所有的實數，有些點必須排除。要使得函數 $extstyle frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}}$ 有意義，分母 $extstyle xsinfrac{1}{x} eq 0$ ，於是 $extstyle x eq0,pmfrac{1}{pi},pmfrac{1}{2pi},dots$

設集合 $extstyle E:={xinmathbf{R}:x eq0,pmfrac{1}{pi},pmfrac{1}{2pi} ,cdots}$ ，那麼函數 $extstyle xmapsto frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}}$ 的定義域為 $E$ 。極限 $extstyle lim_{x ightarrow 0} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}}$ 指的是 $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin Eackslash{0}} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}}$ （注意 $0$ 是 $E$ 的極限點，因此這個極限是定義良好的，由於 $E$ 不包含 $0$ ，所以 $Esetminus{0}$ 和 $E$ 沒有區別，但更一般的情形會有區別）。

先回顧一下函數極限的定義

定義.（函數在一點處的極限）設 $X$ 是 $mathbf{R}$ 子集， $f:X omathbf{R}$ 是函數，並設 $E$ 是 $X$ 的子集， $x_0$ 是 $E$ 的極限點，而 $L$ 是實數，我們說 $f$ 在 $x_0$ 處沿著 $E$ 收斂到 $L$ ，寫作

$lim_{x ightarrow x_0;xin Esetminus{x_0}}{f(x)} =L$

當且僅當對於每個 $varepsilon>0$ ，都存在 $delta>0$ ，對於一切 $xin Eackslash{x_0}$ ，當 $|x-x_0|leq delta$ 時， $|f(x)-L|leq varepsilon$ 。

注. 我們只考慮 $x_0$ 是 $E$ 的極限點時，函數在 $x_0$ 處的極限，當 $x_0$ 不是極限點時，不值得定義極限的概念（為什麼？）。很多情況我們從上面的記號中略去集合 $Esetminus{x_0}$ ，也就是說，我們只說 $f$ 在 $x_0$ 處收斂到 $L$ ，或者 $extstyle lim_{x ightarrow x_0}{f(x)} =L$ ，但去掉集合 $Esetminus{x_0}$ 有點危險，比如對於Dirichlet Function

$D(x):=egin{cases} 1, xinmathbf{Q}cap[0,1];\ 0, xin [0,1] setminusmathbf{Q} . end{cases}$

極限 $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin [0,1]setminus{0}} D(x)$ 不存在，但極限

$extstyle lim_{x ightarrow 0;xin mathbf{Q}cap[0,1]setminus{0}} D(x)=1$ ， $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin ([0,1]setminus mathbf{Q})setminus{0}} D(x)=0$

都存在

函數極限可以用序列極限刻畫，因為我們有下面命題

命題. 設 $X$ 是 $mathbf{R}$ 的子集， $f:X omathbf{R}$ 是函數，並設 $E$ 是 $X$ 的子集， $x_0$ 是 $E$ 的極限點，而 $L$ 是實數，那麼下述兩個命題是邏輯上等價的：

$f$ 在 $x_0$ 處沿著 $E$ 收斂到 $L$
對於每個完全由 $Eackslash{x_0}$ 的元素組成，並且收斂到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{infty}$ ，序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $L$

現在採用序列來證明極限 $(lim_{x ightarrow 0;xin Esetminus{0}} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} =1)$ 。設 $extstyle f(x)=xsinfrac{1}{x}$ ， $extstyle g(x)=frac{sin x}{x}$ ，根據這一命題，由於 $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin Eackslash{0}}{xsinfrac{1}{x} } =0$ ，於是每個完全由 $Eackslash{0}$ 的元素組成，並且收斂到 $0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{infty}$ ，即 $extstyle lim_{n ightarrow infty}{a_n} =0$ ，序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $0$ ，且對於每個 $n$ ， $f(a_n) eq 0$ ，因為 $a_nin Eackslash{x_0}$ 。又因為 $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin mathbf{R}setminus{0}}{frac{sin x}{x} } =1$ ，而序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $0$ 且每一項都不為 $0$ ，即對每個 $n$ ， $f(a_n)in mathbf{R}ackslash{0}$ ，於是序列 $(g(f(a_n) )_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $1$ ，也就是序列 $extstyle left(frac{sin(a_nsinfrac{1}{a_n}) }{a_nsinfrac{1}{a_n}} ight)_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $1$ ，因此函數 $extstyle frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}}$ 在 $0$ 處沿著 $E$ 收斂到 $1$ ，即 $extstyle lim_{x ightarrow 0;xin Eackslash{0}} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} =1$

注意，下面命題不成立

命題. （不成立）設 $X,Y$ 是 $mathbf{R}$ 的子集，設 $x_0$ 是 $X$ 的極限點， $y_0$ 是 $Y$ 的極限點，設 $f:X o Y$ 是函數，使得 $extstyle lim_{x ightarrow x_0;xin Xackslash{x_0}}{f(x)} =y_0$

，設 $g:Y o mathbf{R}$ 是函數，使得 $extstyle lim_{y ightarrow y_0;xin Yackslash{y_0}}{g(y)} =z_0$ ，那麼 $extstyle lim_{x ightarrow x_0;xin Xackslash{x_0}}{g(f(x))} =z_0$

這個命題是錯誤的，因此不能直接根據 $extstyle lim_{x ightarrow 0}{xsinfrac{1}{x} } =0$ 和 $extstyle lim_{x ightarrow 0}{frac{sin x}{x} } =1$ 來說明 $extstyle lim_{x ightarrow 0} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} =1$

$extstyle lim_{x ightarrow x_0;xin Xackslash{x_0}}{g(f(x))}$ 不一定等於 $z_0$ 。但如果函數 $g$ 在 $y_0$ 處連續，這個命題是成立的。因此可以通過補充定義 $frac{sin(x)}{x}$ 在 $0$ 處的值使得它連續，這樣就可以使用上述命題說明 $(lim_{x ightarrow 0;xin Esetminus{0}} frac{sin(xsinfrac{1}{x})) }{xsinfrac{1}{x}} =1)$ 。

因為對於每個完全由 $Xackslash{0}$ 的元素組成，並且收斂到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{infty}$ ，序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $y_0$ ，但序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 可能有無限多項等於 $y_0$ ，而 $extstyle lim_{y ightarrow y_0;yin Yackslash{y_0}}{g(y)} =z_0$ 只能說明對於每個完全由 $Yackslash{0}$ 的元素組成，並且收斂到 $y_0$ 的序列 $(b_n)_{n=0}^{infty}$ ，序列 $(g(b_n))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $z_0$ ，當序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 有無限多項等於 $y_0$ ，我們不能推出序列 $(g(f(a_n)))_{n=0}^{infty}$ 收斂到 $z_0$ ，但下面兩種情況可以

對於每個收斂到 $x_0$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{infty}$ ，序列 $(f(a_n))_{n=0}^{infty}$ 只有有限多項等於 $y_0$ ，那麼就有 $extstyle lim_{x ightarrow x_0;xin Xackslash{x_0}}{g(f(x))} =z_0$
函數 $g(y)$ 在 $y_0$ 處連續時，我們也有 $extstyle lim_{x ightarrow x_0;xin Xackslash{x_0}}{g(f(x))} =z_0$ 。

我覺得你老師的意思是，x_k=1/(kpi)的時候分母是0，式子沒定義，而x_k是一個收斂到0的序列，所以極限不是well-defined的。

個人覺得這個解釋make sense，但是問題本身屬於沒什麼價值的細枝末節，沒太多糾結的必要。

@余翔的答案是對的，不過比較長，我來答個簡短的。

這道題的有爭議之處在於，一般我們討論函數f(x)在某點x0處的極限時，f(x)都是在x0的一個去心鄰域內有定義的。而此題中的函數在以0為中心的任意去心鄰域內都有無定義的點，於是你的老師說極限不存在。如果你的教科書上的極限定義有此要求，那就按這個來。

不過，維基百科上給出的函數極限的ε-δ語言定義並不要求f(x)在x0的某個去心鄰域內有定義，而只需要在定義域內能找出一列趨向於x0的點。按此定義，此題中函數在0點處極限存在，值為1。

我感覺其實是原題有錯誤……因為 $lim_{x o 0} g(x)$ 是否存在時必須規定存在 $delta>0$ 使得 $g$ 在 $(-delta,delta)$ 有定義（否則我們談極限是沒有意思的）。另外轉一下Rudin在《Principles of Mathematical Analysis》上的定義[pp. 83~84, Definition 4.1]

設 $X$ 和 $Y$ 是度量空間, 並設 $Esubset X$ , $f$ 映 $E$ 到 $Y$ , 並且 $p$ 是 $E$ 的極限點. 我們稱當 $x o p$ 時 $f(x) o q$ 或者 $lim_{x o p} f(x)=q$ , 如果存在 $qin Y$ 滿足下列性質: 對任意 $epsilon>0$ , 存在 $delta>0$ 使得當 $xin E$ 並滿足 $0<d_X(x,p)<delta$ 時, $0<d_Y(f(x),q)<epsilon$ .

請注意粗體的部分， $E$ 的選取必須滿足 $f$ 在 $E$ 上有定義。所以這個極限可以定義的前提（也就是定義中的 $E$ ，原來函數的自然定義域）必須是 $mathbb{R}setminusleft(left{frac 1{kpi}:kinmathbb{Z}setminus{0} ight}cup{0} ight)$ 的子集。

事實上我們可以在 $frac 1{kpi}$ 上可以補充定義吧，由於 $lim_{x ofrac 1{kpi}} xsinleft(frac 1x ight)=0$ ，由等價無窮小的定義， $lim_{x ofrac 1{kpi}} frac{sinleft(xsinleft(frac 1x ight) ight)} {xsin left(frac 1x ight)}=1$ 。不知道有沒有問題……

謝邀，這個問題很好玩，我來給你解釋解釋，這是怎麼回事兒。

當我們談論極限的時候我們在談論啥？

談論在某一點的數值嗎？

非也！

而是一種趨近的狀態。

就針對趨近於0來說：

也就是說，可以不包含中間那一點兩邊取無窮小，換句話說，ε理解為一個橡皮泥一樣的變數比較好，這個橡皮泥由考官來捏，你不知道他會捏的多小，所以你要保證不管他怎麼捏，只要捏的足夠小，你的理論都是對的。

但是xsin(1/x)不這麼想：

從坐標軸可以看出，我已經放到了很小的尺度，但是不管多小的尺度內，都有無窮多個點等於0。

這裡等於0沒事，但是拿到張宇那個式子裡面就有事了，看上去你的圖是這樣的：

那是因為數值上你能繞開幾乎所有的無定義點。

但實際上你的函數是千瘡百孔的：

這些孔很稀疏，測度和有定義點相比就是個渣渣，導致等間距採樣可以完全繞開。

但數學不這麼看。

所以我覺得說映射，拓撲還有matlab預定義那幾位也是有點扯，這是個數學問題，不是數值問題，數值解最多是個驗證和直觀感受，不能作為評價。

以上。

懷疑MATLAB直接是對函數sin x/x補充定義了，當x = 0時，這個函數值為0。

當然，如果沒有這個補充的話，這個極限過程的意義是比較模糊的。

第一種便是如題主所說，要求x = 0處，存在一個一個R中0的鄰域，使得這個鄰域被包含在函數定義域中。按這個意義，這個極限是沒法做的。

第二種就是函數的定義域作為R的子空間的導出拓撲。相當於說，就只考慮R中0的鄰域與定義域的交。這樣，這個極限是可以取的，答案也自然是1。

洛必達法則不可以么？求出來極限為1。

不存在不是初等函數p

極限定義需要x附著於集合E上

通常情況下略掉x∈E

看了別人然後發現……還是不改了，，我就是永遠不認真看題除非做不下去的那種

根本不記得極限的定義了，，不過想像了一下可以用 x=1/(2n*pai+1), n趨向無窮大。解決問題？

我一開始沒把x=1/k*pai當回事，因為這些都是實際例舉出的數，討論無窮小時可忽略。又一想他也可趨向0似乎不太對啊，，我們不要x了還不行嗎，，，，，

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還有覺得不要什麼不會做就去matlab， mathematica（雖然我也會做個弊什麼），基礎題還是要會動筆算的吧

sinx等價於x（x趨向於0）是沒錯，但x=0時，sinx=0=x你們是傻嗎？！

雖說「趨向於」不包括等於的情況，但還沒討論怎麼就直接扣個「無意義」的帽子？

為什麼說sinx等價於x呢？（條件略）（記得同濟六版說這個結論時用的是比值極限為1 ）

與其用等價不如直接泰勒展開：

sinx=x-x^3/6+....（讀高數的都懂就這樣了）

只是當求sinx/x的極限時如同多項式分式求極限那樣sinx展開的後面被忽略了（結果如此，過程略複雜）

你高數老師要知道一定氣死了（一定不會）

。

算了我們看下題吧，

第一眼就應該替換成求sint/t，（換元）我們當然要簡化簡化再簡化。。一切逃不出基礎。。（瞎扯的，但一看這分母分子一模一樣不換元覺得好虧）

sinx/x的圖一定要知道（這好像是高中的吧喂）

（大致如此，只要知道x向0、向無窮時的不同極限就可以了）

安卓arity畫的，這軟體還不錯。

然後我們只要去求t是向0還是向無窮的就可以了（看上去也不是特殊值對吧）

t=x*sin(1/x)看不出吧，換元：t=(1/u)*sin(u)=sin(u)/u，（u趨向無窮）

得t趨向0

得所求為1

定義一元函數的極限時，要求函數在某去心鄰域上有定義就是耍流氓。題主可以參見多元函數的極限的定義。

所以話應該這麼說: 因為可以在*定義域*中找到以0為聚點的序列，序列上的函數值總可以任意精確到1，所以極限存在且為1。進一步，因為任何一個序列都滿足這個性質，所以0是一個可去間斷點，補充定義可以使函數連續。

數學裡摳定義是好事兒，但也可能踩到雷，尤其是這種為了教學設置的定義。

此處極限取的基為x→0(也就是所有0的去心區間)，不管怎樣取，都會有導致sin(1/x)=0的點存在，使式子無意義。因此沒有極限。

主要是基沒選好，去除點x=1/(kπ)，應該就可以了

我覺得極限是1.

不過不是用嚴謹的數學方法證明的。僅供不嚴謹的參考。

sin（x u）/（x u），分兩種情況看

1 當u是非零的任意±1之間的數，x趨向於0的時候， y極限顯然是1

2 當u趨近於零，而x相對來說還遠離0， y 極限（在sin（1/x）等於零的地方的極限）也顯然是1

整個x趨向0的過程， y會無數次的取到1，然後無數次的偏離1，確切的來說是小於1，因為在0附近， sinx/x只有在x為0時才達到最大值1，在sin（1/x）等於零的地方， y極限是1，所以y是一直有意義的。

重要補充：關於這個問題，不能僅僅考慮x關於0的去心鄰域，而是要具體去考慮x關於sin（1/x）等於零的地方的去心領域。所有 sin（1/x）等於零的地方的去心領域的極限都存在。那麼除了x等於0的地方， y都「有意義」，也就是說x關於0的去心領域是有「定義」的。這裡我打了引號，是因為和一般意義上的定義有點區別。