行列式的本質是什麼？

01-04

想請教各位大神，方陣行列式的本質是什麼？其定義就是幾個數字加加減減，但是其有獨特的性質，所以我覺得其應該是有本質含義～求教（抱拳）

直接借用MIT教授講解行列式的說法：

行列式是 $R^n$ 維空間下n維空間幾何的體積。

比如在三維矩陣中：行列式的值是一個六面體的體積。

這三個向量張成了一個平行六面體，而 A 的行列式的絕對值即為其體積。

行列式的值有正負，所以該六面體的體積即為行列式的絕對值。而正負號的作用是告訴我們這個立體是左手系的還是右手系的。因為當我們調換這個立體的兩條邊之後，我們得到的會是不同系下的立體，其體積不會變，但是旋轉順序變了。

筆記來自坤博學弟，更多mit線代筆記見專欄：MIT線性代數課程精細筆記[第十一課]

先說答案：行列式是線性變換的伸縮因子。

理解行列式一定要從線性變換出發去理解，直接去理解它的代數形式是沒有意義的。

這篇文章的結構是：

線性變換的幾何直觀
實現線性變換的矩陣
行列式

1 線性變換的幾何直觀

線性變換的幾何直觀有三個要點：

變換前是直線的，變換後依然是直線
直線比例保持不變
變換前是原點的，變換後依然是原點

比如說旋轉：

比如說推移：

這兩個疊加也是線性變換：

自己動手試一下（觀察下是否符合之前的三個要求）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

2 實現線性變換的矩陣

矩陣可以講的東西非常多，我這裡通過一個具體的例子來展示下矩陣是如何完成線性變換的。

我把基畫出來的原因是因為矩陣變換的其實是基。

舉例子來看看，比如旋轉（旋轉矩陣 )：

如果要說詳細點，實際上：

我們只需要旋轉基，就可以完成正方形的旋轉：

下面我們看看正方形的旋轉過程中，旋轉矩陣和基是怎樣變化的（為了方便觀察旋轉，我標記出一個頂點）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

再給一個例子，看看推移是怎麼改變基的：

3 行列式

3.1 行列式是線性變換的伸縮因子

我們還是拿旋轉矩陣來舉例子：

什麼意思？我們來看看：

在繼續往下面講之前，我設計了一個動畫，讓你來感受一下，變換矩陣的行列式由正到負，線性變換會怎樣進行（我把基也標註出來）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

掌握了行列式是線性變換的伸縮因子這一點之後，我們就很容易理解各種行列式的值與線性變換的關係。

3.2 行列式&>0

行列式&>1，很顯然對於圖形有放大的作用：

行列式=1，圖形的大小不會變換：

0&<行列式&<1，很顯然對於圖形有縮小的作用：

3.3 行列式=0

行列式等於0，有一個重要的結論是，矩陣不可逆。這點也很好理解。

先看看什麼是可逆。原始的圖形是這個樣子：

通過旋轉矩陣，逆時針旋轉 $45^circ$ ：

再通過另外一個旋轉矩陣，順時針旋轉 $45^circ$ ：

看起來這個正方形就像沒有變換過一樣，因此 $egin{bmatrix}cos(-45^circ)-sin(-45^circ)\sin(-45^circ)cos(-45^circ)end{bmatrix}$ 和 $egin{bmatrix}cos(45^circ)-sin(45^circ)\sin(45^circ)cos(45^circ)end{bmatrix}$ 互為逆矩陣。

有的線性變換是可逆的，有的不行，比如行列式=0這樣的線性變換就是不可逆的。從圖像上看，圖形會縮成一點：

或者縮成一條直線：

沒有矩陣可以把它們恢復成原來的樣子。

這就好比摔碎的雞蛋、潑出去的水、破了的鏡子：

所謂覆水難收、破鏡難圓就是這個意思。

3.4 行列式&<0

原始圖像是這樣的：

被行列式&<0的矩陣線性變換後是這樣的：

行列式&<0，其實就是改變了基的「左右手法則」。

4 推論

知道了行列式的意義，我們就很容易知道，為什麼說：

我們也很容易知道，為什麼說：

我們也很容易知道，為什麼說三階矩陣的行列式是列組成的平行六面體的體積。

2015.12.08 更新

誠如很多評論指出的，我寫這篇答案僅僅只是為了反駁最高票答案的蛇足，並沒有給出自己的答案。事實上，就線性代數中的行列式而言，最高票的答案除去畫蛇添足的那部分是一個很精彩的解釋，我也做不到更好，就不獻醜了。

鑒於知乎上還是有很多專家在，我們可以把眼光放得稍稍高一些。我個人認為從範疇論中行列式函子的角度考慮問題似乎能夠更加接近行列式的本質。感興趣的朋友可以參考

http://personal.us.es/fmuro/pontevedra.pdf

和其中列出的參考文獻 @chuo Chan 。事實上本文中 $det(Delta):=prod_{0leq pleq n}det(Delta_p)^{(-1)^pp}$ 這個古怪定義從函子的角度看是自然的。

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三千多票的同學還是不要誤導大家了 @童哲前麵線性放大率那裡寫的還不錯，在給黎曼流形賦測度時就是用行列式來調節不同坐標卡上測度的轉換率的。可後面傅里葉變換的行列式那裡是什麼鬼？

先不糾結手性那裡你玩的是實空間還是復空間，就算全按照你的邏輯， $det(F^{-1})$ 也應該等於 $detleft(frac{1}{2pi}F ight)$ 而不是 $frac{1}{2pi}det(F)$ ，除非你將 $(2pi)^{infty}$ 定義成 $2pi$ 才有可能相等吧。

再退一步，假設你有方法合理定義 $(2pi)^{infty}:=2pi$ , 可你那兩個式子放在一起也應該是 $(det(F))^2=2pi$ , $det(F)=pmsqrt{2pi}$ , 你沒有任何理由把負值舍掉吧。

當然，常數問題可以通過歸一化繞過去，改改傅里葉變換的定義就好，可為什麼你只取了正一而不是負一。事實上，傅里葉變換的所有特徵值都是可以求出來的，

$lambda_n=(-i)^n$ ，甚至每一個特徵函數都可以具體的寫出來，維基上都有。可是 $prod_{n}(-i)^n$ 等於多少呢？恐怕 $(-i)^{-1/12}$ 都比 1 要合理吧。

還有後面微分運算元行列式那部分，我想說都不知道從何說起，只能說你膽子太大了，不懂的東西也說的像專家一樣。當然每個微分運算元都有零特徵值，但不等於找微分運算元的行列式是在耍流氓。

這是一本專著也不一定寫的清楚的東西。但你那裡連求導運算元把哪個空間映到哪個空間都說不清楚，何談線性變換？行列式更無從談起。

實際上研究微分運算元的行列式是一件很有意義的事情，本人才疏學淺，不敢用本質這個詞，但把微分運算元的所有非零特徵值乘起來（稱為微分運算元的行列式）能夠揭示底空間拓撲信息這一點還是挺奇妙的。舉個例子，實軸是非緊的，函數空間完備化很複雜，我們可以先考慮最簡單的，實軸的一點緊化，單位圓 $S^1$ ，考慮求導運算 $-ipartial_{ heta}$ （這裡前面加虛數單位係數是使得特徵值都在實軸上，省掉考慮 $prod(-i)^n=?$ 的麻煩）。根據傅里葉分解，每個單位圓上的複函數可以寫成 $f( heta)=sum_{nin Z}a_ne^{in heta}$ ， $-ipartial_{ heta}f( heta)=sum_{nin Z}na_ne^{in heta}$ .

所以所有非零特徵值為 $pm1, pm2,cdots,pm n,cdots$

這裡又遇到了無窮個-1乘起來等於多少的問題。為了繞開它，我們計算 $(ipartial_{ heta})^2=-partial_{ heta}^2$ （叫做Laplace運算元）作用在實函數空間上的行列式。此時 $-partial_{ heta}^2$ 的所有特徵值為 $1^2, 2^2,cdots,n^2,cdots$

乘起來， $det(-partial_{ heta}^2)=prod_{n> 0}n^2$ . 連乘積的計算要用到黎曼 $zeta$ 函數的延拓：

$prod_{n>0}n^2=e^{2sum_{n>0}log n}:=e^{-partial_szeta(2s)|_{s=0}}=e^{-2zeta$

所以 $det(-partial_{ heta}^2)=2pi.$ 這是最簡單的可以求的微分運算元的行列式。在量子場論中算自由粒子的高斯路徑積分時就會用到。

再多說一點，考慮 n 維緊無邊黎曼流形 $M$ 及其上的酉平坦向量叢 $F$ （存在保度量聯絡使得曲率為零）。設定義在整個微分形式空間上的Laplace運算元為 $Delta$ , 定義在p次微分形式空間上的Laplace運算元為 $Delta_p$ ，我們將 $Delta_p$ 的所有非零特徵值乘起來得到 $det(Delta_p)$ , 我們定義

$det(Delta):=prod_{0leq pleq n}det(Delta_p)^{(-1)^pp}in R$ . 顯然這個定義是依賴流形與叢上的度量的。但是神奇的是

當n為奇數時， $det(Delta)$ 是一個拓撲不變數，即它不依賴流形與叢上的度量的選取。(Reidemeister-Franz, Ray-Singer, Cheeger-Mueller)

這是歷史上第一個能夠區別同倫等價但不同胚流形的拓撲不變數。

幾何的觀點：如果把方陣視為線性變換，則其行列式的絕對值表示該線性變換造成的體積元的變化係數，行列式的符號反映了基底的定向變化。

比如，行列式可表示平行四邊形或平行六面體的有向面積/體積，因為平行四邊形和平行六面體實際上分別是平面和空間中另一組基底構成的面積元/體積元。

比如，行列式為零，表示線性變換是奇異的，即把原空間的體積元變成零了，一一對應就不存在了

又比如，導數實際上是線性變換 (微分實際上是兩個切空間之間的線性變換，比如一元函數實際上是一維實軸到一維切線之間的線性變換，得到的斜率只是一個數，但實際上是1x1矩陣)，於是積分變換中的Jacob行列式實際上是此線性變換的行列式，它的絕對值是體積元dxdydz的係數。

代數的觀點: 行列式無非是方陣的一個函數，但它是一種反對稱多重線性型，比如 $f(alpha x_1,x_2,x_3)=alpha f(x_1,x_2,x_3)$ ， $-f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)$ ，多重線性性體現在每一行或每一列的線性性質，反對稱體現在兩行或兩列交換後變負。同為行和列的反對稱多重線性型，行列式的計算方式也就確定了。

這兩種觀點都不允許非方陣的行列式的定義。

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補充一下，問一個數學工具的本質，竊以為並不妥當，有一點追求終極真理的感覺，在哲學上並不能自洽。不如先看一下它的歷史，然後再觀察一下它有哪些深刻的應用。

歷史上，行列式先於矩陣，用於求解線性方程。行列式是否為零可用來判定一個線性方程是否有解，然後Cramer規則直接用行列式給出線性方程的解。隨後，行列式才被視為一個矩陣的函數。

數學上的兩條重要的主線：解方程和微積分在線性代數上統一起來了，因為微分實際上就是一種線性逼近。因而，矩陣和行列式在這其中起到的作用就非常深刻了。而行列式作為一個函數具有的反對稱線性性在抽象代數是一個非常重要的概念。

所以說，行列式只不過是數學家在解決實際問題時發明的一個很好用的工具，恰好它又可以在許多的應用中發揮作用。

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再補充一下，幾個常用的行列式應用

積分變換與Jacob行列式 (體積元都為正，所以取行列式的絕對值)
$(v_1,cdots,v_n)=varphi(u_1,cdots,u_n) Rightarrow dv_1 cdots dv_n = |det(operatorname{D}varphi)(u_1, ldots, u_n)| , du_1 cdots du_n$
Cramer規則
$Ax=b$ 的解為 $x_i=frac{|A_i|}{|A|}$ ，其中 $A_i$ 為將 $A$ 的第 $i$ 列換成 $b$
平行四邊形面積，從原點出發的兩個矢量 $oldsymbol{v}_1,oldsymbol{v}_2$ 構成的平行四邊形的有向面積為
$operatorname{det}(oldsymbol{v}_1,oldsymbol{v}_2)=left|egin{matrix}v_{11},v_{21}\v_{12},v_{22}end{matrix} ight|$
平行六面體體積
叉乘的另一種定義
$(x_1,y_1,z_1)^T imes(x_2,y_2,z_2)^T=left|egin{matrix}ijk\x_1y_1z_1\x_2y_2z_2end{matrix} ight|$
判斷共面
判斷共圓

行列式這個「怪物」定義初看很奇怪，一堆逆序數什麼的讓人不免覺得恐懼，但其實它是有實際得不能更實際的物理意義的，理解只需要三步。這酸爽~

1，行列式 $det(A)$ 是針對一個 $n imes n$ 的矩陣 $A$ 而言的。 $A$ 表示一個 $n$ 維空間到 $n$ 維空間的線性變換。那麼什麼是線性變換呢？無非是一個壓縮或拉伸啊。假想原來空間中有一個 $n$ 維的立方體（隨便什麼形狀），其中立方體內的每一個點都經過這個線性變換，變成 $n$ 維空間中的一個新立方體。

2，原來立方體有一個體積 $V_{1}$ ，新的立方體也有一個體積 $V_{2}$ 。

3，行列式 $det(A)$ 是一個數對不對？這個數其實就是 $V_{2}$ $div$ $V_{1}$ ，結束了。

就這麼簡單？沒錯，就這麼簡單。

所以說：行列式的本質就是一句話：

行列式就是線性變換的放大率！

理解了行列式的物理意義，很多性質你根本就瞬間理解到忘不了！！！比如這個重要的行列式乘法性質：

$detleft( A ight) imes det(B)=det(BA)$

道理很簡單，因為放大率是相乘的啊~！

你先進行一個 $A$ 變換，再進行一個 $B$ 變換，放大兩次的放大率，就是式子左邊。

你把「先進行 $A$ 變換，再進行 $B$ 變換」定義作一個新的變換，叫做「 $BA$ 」，新變換的放大律就是式子右邊。

然後你要問等式兩邊是否一定相等，我可以明確告訴你：too simple 必須相等。因為其實只是簡單的把事實陳述出來了。這就好像：

「你經過股票投資，把1塊錢放大3被變成了3塊錢，然後經過實業投資，把3塊錢中的每一塊錢放大5倍成了5塊錢。請問你總共的投資放大率是多少？」

$3 imes 5=15$

翻譯成線性代數的表達就是：

$detleft( A ight) imes det(B)=det(BA)$

這還不夠！我來解鎖新的體驗哈~

上回咱們說到行列式其實就是線性變換的放大率，所以你理解了：

$detleft( A ight) imes det(B)=det(BA)$

那麼很自然，你很輕鬆就理解了：

$det(AB)=det(BA)$

so easy，因為

$det(AB)=detleft( A ight) imes det(B)=det(BA)$

同時你也必須很快能理解了

「矩陣 $A$ 可逆」完全等價於「 $det(A) e 0$ 」

因為再自然不過了啊，試想 $det(A)=0$ 是什麼意思呢？不就是線性變換 $A$ 把之前說的 $n$ 維立方體給拍扁了啊？！這就是《三體》中的」降維打擊」有木有！！！如來神掌有木有！！！直接把3維立方體 piaji一聲~一掌拍成2維的紙片，紙片體積多少呢？當然是 0 啦！

請注意我們這裡說的體積都是針對 $n$ 維空間而言的， $det(A)=0$ 就表示新的立方體在 $n$ 維空間體積為0，但是可能在 $n-1$ 維還是有體積的，只是在 $n$ 維空間的標準下為0而已。好比一張紙片，「2維體積」也就是面積可以不為0，但是「3維體積」是妥妥的0。

所以凡是 $det(A)=0$ 的矩陣 $A$ 都是耍流氓，因為這樣的變換以後就再也回不去了，降維打擊是致命性的。這樣的矩陣必然是沒有逆矩陣 $A^{-1}$ 的。這就是物理意義和圖象思維對理解數學概念的重要性。

當然要證明也是小菜一碟輕而易舉的：

由 $AA^{-1}=I$

可知 $det(A) imes det(A^{-1} )=det(I)=1$

這怎麼可能啊~？ $det(A)=0$ 了，那麼 $det(A^{-1} )$ 等於多少呢？毫無辦法，只能不存在。一個矩陣怎麼可能行列式不存在呢？只能是因為 $A^{-1}$ 不存在。所以 $A$ 自然不可逆。

YES！竟然真的過1000了，我來加點兒燒腦的，第一次看以下結論如果沒有毀三觀亮瞎雙眼的刺激感，請接受阿哲的膝蓋：

傅里葉變換也可以求行列式！！！

是的你沒有聽錯，大名鼎鼎的傅里葉變換 $F(k)=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$ 居然也可以求行列式！！！

首先一定有很多人要問責我，是不是沒有學過行列式，因為按照絕大多數教科書來說，行列式是這樣定義的：

$det(A)=sum_{sigma in S_{n} }^{}{} sgn(sigma )prod_{i=1}^{n} A_{sigma (i)i}$

然後還有什麼好說的，拿到一個矩陣各種化簡然後算就好了唄，可是怎麼說傅里葉變換也可以求行列式？傅里葉變換又不是一個矩陣，更別說矩陣元 $A_{ij}$ 了。我在痴人說夢嗎？

但是，等等！橋度麻袋，「傅里葉變換」裡面有個"變換"，難道它也是「線性變換」？！！！

一檢查，尼瑪還真的是。所有函數 $f(x)$ 就組成了一個向量空間，或者說線性空間。可是為什麼呢？從高中咱們就熟悉的 $f(x)$ 明明是函數啊，怎麼就變成了向量 $v$ 呢？向量 $v$ 不是一個 $n$ 維空間中的箭頭嗎？長得也不像啊。

其實「所有 $f(x)$ 組成的集合」確實滿足一切線性空間的定義，比如：

1，向量 $f(x)$ 和向量 $g(x)$ 可以相加，並且有交換律 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

2，存在零向量 $f(x)=0(x)$ ，即處處值為零的函數

3，任何一個向量 $f(x)$ 都存在一個與之對應的逆向量 $-f(x)$ ，使得相加之和等於零向量 $f(x)+(-f(x))=0(x)$

以及存在數乘以及分配率等性質…… 總之「所有向量 $f(x)$ 組成的集合」完美滿足線性空間的8條黃金法則。

艾瑪真是亮瞎了俺的鈦合金左眼，原來咱們熟悉的函數 $f(x)$ 身世可不一般啊，其實它是一個掩藏得很好的向量！！！對，我沒有說錯，因為所有函數 $f(x)$ 組成的集合構成了一個線性空間！而且還是無窮維的線性空間！！！阿哲校長感動得哭了 T____T

好，下面準備亮瞎鈦合金右眼吧~

一旦接受了向量 $f(x)$ 是向量的設定，周圍的一切都變得有趣起來了！軼可賽艇！！！

接下來不妨思考一下，傅里葉變換 $F(k)=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$ 是把一個函數 $f(x)$ 變成了另一個函數 $F(k)$ ，難道不可以理解為把一個線性空間中的向量 $f(x)$ 變成了另一個線性空間中的向量 $F(k)$ 嗎？我整個人都咆哮了！！！

而且這個變換是妥妥的線性的，完美地滿足線性變換的定義：

$A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2}$ 以及 $A(k imes v_{1})=k imes Av_{1}$

因為積分變換的線性性：

$f(x)+g(x)$ 的傅里葉變換 $=int_{-infty }^{infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx$ $=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx+int_{-infty }^{infty} g(x)e^{ikx}dx=$ $f(x)$ 的傅里葉變換+ $g(x)$ 的傅里葉變換

加法達成。當然數乘也輕鬆滿足：

$int_{-infty }^{infty} (kf(x))e^{ikx}dx=kint_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$

於是乎，我們通過以上內容知道了一個重要的結論：

傅里葉變換其實也是線性變換，所以也可以求行列式！！！

（其實傅里葉變換作為一個線性變換不但可以求行列式，更可以求它的特徵向量！！比如 $f(x)=e^{-x^{2} /2}$ ，以及其他很多很多牛逼的東東，恭喜你又一扇新世界的大門被打開了。千萬不要小看傅里葉變換，比如量子力學不確定性原理的秘密就都在這裡了）

言歸正傳那麼傅里葉變換神秘的行列式的值 $det(F)$ 究竟是多少呢？難道這個無窮維線性變換也可以求出行列式嗎？

那阿哲就把 $det(F)$ 求出來給你看：

很明顯的問題是這是一個比較困難的問題，如果不太困難的話評論中應該有人po出了答案。因為求傅里葉變換的行列式讓我們覺得沒有工具可以用，行列式的定義式毫無用武之地。畢竟沒有誰能夠寫出傅里葉變換的 $infty imes infty$ 矩陣表達式並套用公式。

所以一定要用到其他的化簡辦法，例如對稱性啊等等。不妨先回顧一下之前的結論，對於任何可逆線性變換 $A$ 有如下性質：

$det(A) imes det(A^{-1} )=det(I)=1$

如果把傅里葉變換 $F$ 看做是一個無窮維的 $A$ ，那麼也一定滿足這個性質。所以只要求出了傅里葉變換的逆變換的行列式，求一個倒數就得到了傅里葉變換的行列式。

艾瑪~ 問題變得更難了。傅里葉變換的逆變換？還好我學過。。。

若傅里葉變換是： $F(k)=int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$

則它的逆變換是： $f(x)=frac{1}{2pi } int_{-infty }^{infty} F(k)e^{-ikx}dk$ （說明傅里葉變換可逆，因為表達式都出來了）

現在的問題是，正負變換，我都不會求行列式，唯一知道的是 $det(F) imes det(F^{-1} )=1$ 為之奈何？我們還需要至少一個表達式能夠反映二者的關係，連立起來才能夠求解。

沒問題，因為這兩個變換真是太像了，像到幾乎完全對稱。差異點僅僅在於逆變換多一個乘積係數 $frac{1}{2pi }$ ，以及積分因子 $e^{ikx}$ 多了一個負號。除此之外完全是同一個線性變換。而積分因子 $e^{ikx}$ 多一個負號是什麼意思？意味著複數空間的手性定義相反， $i$ 變成了 $-i$ ，左手變成右手，或者說虛數部分取負號實數部分不變。這樣的手性改變，並不會改變線性變換的體積放大率（之前的知識）。於是乎在線性變化的方法率的意義下，傅里葉變換和它的逆變換放大率是一樣的（還差一個乘積係數 $frac{1}{2pi }$ ）。

於是也就是說 $det(F^{-1} )=frac{1}{2pi } det(F)$

結合之前的式子 $det(F) imes det(F^{-1} )=1$

我們很容以得到 $det(F)=sqrt{2pi }$

（更嚴格來說更對稱的傅里葉變換版本 $F(k)=frac{1}{sqrt{2pi } } int_{-infty }^{infty} f(x)e^{ikx}dx$ 的行列式為1）

我去，真的可以求啊。是的，你已經求出來了，雖然神一般的無窮維行列式的計算公式並沒有出現，但你確實求出來了。而且阿哲再附送大家一個彩蛋：

都說求導可以把一個函數 $f(x)$ 變成另一個函數 $f$ ，如果我們把「求導這個操作」 $D$ 當做是一個線性變換，發現其實也是完全合理的：

$D: f(x) ightarrow f$

線性性完美地滿足:

$D: k_{1} f(x)+k_{2} g(x) ightarrow k_{1}f$

那麼請問"求導作為函數空間下的線性變換行列式」等於多少呢？

思考一下。。。

再思考一下。。。前方劇透請小心手滑！！！

。。。

$det(D)=0$

因為，它是不可逆的！

你要問我茲次不茲次？我可以明確告訴你，不可逆的線性變換都是耍流氓，行列式都等於零。不要沒事就搞個大新聞。

（全劇終，其他文章連載繼續。時間太少更新不夠勤，請多包涵。另外數學中的嚴格性在本文中並不能體現，也請海涵。）

知識創造樂趣，你是你的大學 http://www.wanmen.org

"n階行列式是n個n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個把一組標準基映到1的反對稱線性函數"

這個觀點記得是當時華羅庚先生引入中國的數學教材的

12月18日更新：通過定義函數空間，給出構造性證明並推導出表達式。嗯，有時間再更新性質吧~

更新內容鏈接：行列式：作業部落 Cmd Markdown 編輯閱讀器（截圖內容）

嗯，偶要開始認真答題啦~

-------------------我----------是---------分------------割-----------線----------------------

先來說結論，數域 $K$ 上的 $n$ 階行列式,其等價定義是

定義在 $M_n(K)$ 上，滿足如下條件的數量函數：

列線性性

列反對稱性

規範性

-----------------------------等----價----定----義----證----明-------------------------------

符號說明：

$varepsilon_i$ 為第 $i$ 個分量為 $1$ ，其餘分量為 $0$ 的列向量。
$alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n$ 分別對應矩陣第1列，第2列, $cdots$ ,第n列的列向量。
矩陣 $A=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)=(a_{ij})$

定義 $M_n(K)$ 上的數量函數 $f(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)$
滿足如下條件

列線性性： $f(cdots,kalpha_i+leta_i,cdots)=kf(cdots,alpha_i,cdots)+lf(cdots,eta_i,cdots)$

列反對稱性： $f(cdots,alpha,cdots,alpha,cdots)=0$

規範性： $f( varepsilon _1,varepsilon_2,cdots,varepsilon_n)=1$

我們斷言，這樣的數量函數 $f(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)$ 存在且唯一，而行列式滿足上訴性質，所以有我們開頭所說的等價定義。

存在性：

顯然行列式函數滿足上述條件，所以滿足上述性質的數量函數存在。

唯一性：

設 $f,g$ 均滿足上述條件,下證 $fequiv g$

若 $rank(A)<n$ ，則存在 $i$ ，有 $alpha_i=sum_{k e i}a_kalpha_k$ ,根據列線性性和列反對稱性，有 $f(A)=f(alpha_1,cdots,alpha_{i-1},sum_{k e i}a_kalpha_k,alpha_{i+1},cdots,alpha_n)=sum_{k e i}a_kf(alpha_1,cdots,alpha_{i-1},alpha_k,alpha_{i+1},cdots,alpha_n)=0$ 同理，有 $g(A)=0$ ,所以 $f(A)=g(A)$
若 $rank(A)=n$ ,則矩陣 $A$ 可經過一系列的初等列變換，變為單位矩陣 $E$ ，即存在初等矩陣 $P_1,P_2,cdots,P_t$ ,有 $A=EP_1P_2cdots P_t$ 。因為 $f(E)=g(E)=1$ ,每一次初等列變換，都在等式兩邊乘以相同的倍數，所以我們有 $f(A)=f(EP_1P_2cdots P_t)=g(EP_1P_2cdots P_t)=g(A)$ 。

--------------------------從函數空間角度理解等價定義-------------------------------

上面的證明的缺陷是只證明了其唯一性，並沒有給出其表達式。

下面我們通過研究滿足特殊性質的函數空間，給出構造性的證明方法

定義函數空間（咦，知乎不支持中文公式混排，啊我還是換Markdown吧@_@）

------------------------------------------行列式的性質------------------------------------------------

於是我們得到了行列式的一個等價定義，而我們所說的「有向體積」剛好滿足上述幾條性質，所以我們也可以理解為行列式是其列向量所圍成的有向體積。當然還可以通過該等價定義得到一些其他性質，有時間更新~

這個問題好多人關注。補充幾句，可以把行列式和跡（trace）結合來看。這有幾個互相關聯的原因：

$det(exp(M)) = exp(operatorname{tr}(M))$ 。換而言之，行列式實際可由跡定義。李群中的行列式，對應李代數中的跡。
行列式和跡，都屬於矩陣的阿貝爾不變數（abelian invariants），即滿足 $f(M_1 M_2) = f(M_2 M_1)$ 的 f。
它們也都是矩陣的特徵值 ${lambda_i}$ 在對稱多項式下的值。一個是所有特徵值乘起來 $prod lambda_i$ ，一個是所有特徵值加起來 $sum lambda_i$ 。
行列式和跡都是矩陣的特徵多項式 $det(tI-M)$ 中的係數，一個是最低係數，一個是最高係數（特徵多項式的其它係數，無疑也是 ${lambda_i}$ 在對稱多項式下的值）。
很典型的例子是示性類。某種意義上陳類（Chern class）是行列式和跡的一種推廣。最高陳類 $c_n$ 就是行列式。第一陳類 $c_1$ 就是跡。中間的陳類也都是阿貝爾不變數。
以上的幾點之間有緊密的關係，有興趣可自己想想。

由於某種神秘原因，大家學線性代數的時候一般都會忽略跡（可能是因為太好算了，把矩陣的對角線元素加起來就行了，老師出不了題目）。

其實跡在某種意義上更"本質"。因為如果說行列式對應著"體積"，那麼跡對應著"維數"。在數學（表示論等等）和物理（量子場論等等）中，我們都會發現跡無處不在。尤其是無限維矩陣的跡。

知乎上已經有一個很好的回答，矩陣的秩與行列式的幾何意義 - 普通de世界 - 知乎專欄。

行列式就是多個向量圍成的"體積"。行列式的諸多性質以及計算公式都是通過這個從向量到體積的映射推導出來的。

了解問題的來源，其實自己也可以進行推導，相關性質不難得到。

原始問題可以這樣描述:

在n維空間（為了簡單你可以從2維開始）存在n個向量，這n個向量圍成的平行體（相當於一個單位方體在某些維度上做了旋轉和拉扯後得到的平行體），當n個向量確定，這個平行體就確定其體積也就唯一確定，所以存在一個函數：f(x1,x2,x3...xn)=平行體體積，現在要求這個函數f。這個函數f就是行列式，然後你在推導f的過程中會發現行列式的各種性質（那些性質完全可以在不知道行列式的具體公式時通過抽象的表達式得到）。

行列式，或者一般矩陣，的意義是從一個向量空間到另一個向量空間的線性映射。如果我們對兩個向量空間都給定一組基的話，一個線性映射就是用一個矩陣來表示。

行列式的很多性質，比如乘法的定義，對角化，相似變換，合同變換等等，只要看成抽象的映射的性質，就很好理解了。比如乘法就是兩個映射的複合，對角化就是在線性空間中找一組基是的每個向量都是特徵向量。

模

行列式是，n階實方陣集到實數集，唯一的，使單位矩陣的值是1的，斜對稱多重線性函數。

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參考：代數學引論（第1卷）

P93

P111

剛才有朋友回答說，行列式的本質是線性變換的放大率，說得非常好，這樣我再藉機說點。n 維空間到自身的線性變換，可以用一個方陣來表示，特徵向量，就是變換中方向不變的向量，特徵值就是這個向量的收縮率，所有特徵值相乘就是整個放大率。

如果不從線性變換來看，單純從行列式本身來看，二階行列式便是一個有向平行四邊形的面積，三階行列式便是一個有向平行六面體的體積。

其實，線性代數就是n維空間的解析幾何，解析幾何就是三維空間的線性代數。(李尚志經典思想，我拿過來引用。)

我引用的都是別人的思想和成型的理論，可以說沒有多少自己的獨特的思想，竟然還有這麼多朋友贊，謝謝大家。

請看科斯特利金《代數學引論》第一卷行列式一章

要計算行列式必須是針對方陣而言的，原因是在n維空間中要想張成一個n維平行多面體必須要n個向量，例如，在二維中，兩個向量張成平行平行四邊形，在三維中，三個向量張成平行六面體。而行列式的含義就是改平行多面體的有向體積，因此該體積存在正負之分。行列式等於零說明體積為0，例如在三維空間中，一個3*3的矩陣對應3個3維向量，如果這三個向量線性相關，那麼這三個向量張成一個平面或直線或原點，那麼用三維空間去度量，體積為0。

最高票的答案已經很好了，再給大家推薦更詳細的文章

十分鐘理解矩陣！包教包會包分配

簡單說兩句：

國內似乎大部分教材都是直接用逆序數定義行列式，然後再驗證一些性質什麼的。對於行列式來說，因為反正也不是太複雜，只要靜下心來按照定義過一遍也沒什麼不行。但是了解行列式的幾何含義，對理解他的幫助還是非常大的，尤其是以後遇到了更複雜的代數表達，能明白背後的幾何含義會簡化很多思維。

幾何上說，方陣A 的行列式det(A)=n維空間中由A的n個列向量張成的n維平行多面體（n=2:平行四邊形,n=3：平行六面體）的有向n維體積。

所以以下四個性質非常顯然：

1. 互換兩列，行列式變號。n-為體積絕對值不變但是定向改變。

2。某一列乘以c，行列式乘以c。類似於底相同，但是高差了c倍，體積也差c倍。

3. 第i列加上第j列的倍數，行列式不變，畫一下圖就知道，這是說底不變，高雖然變了，但是距離底的垂直距離沒變化。

以上三個是行列式關於初等列變換下的性質。

4. det(I)=1，單位矩陣行列式為1.這其實就是一個Normalization。規定一下單位。

這四條性質保證了我們可以計算行列式，因為通過初等列變換我們總是能把任意矩陣變成簡約列標準型。所以這確定了行列式的唯一性，其他的定義，可以看做具體的計算方法。

所以為什麼A可逆，等價於det(A）非零就很明顯了。其他答主也說了很多。

我就想說一句Cramer法則吧，至少我上學的時候，感覺好像每個書都會講一下cramer法則解方程，還要訓練幾個例子。其實解方程直接用消去法遠比cramer法則要強，因為只用消去一次，而cramer法則里每一個行列式都要用一遍消去法來計算，計算量不知道大了多少。所以我一直覺得用cramer法則解方程實在不是好方法。不過cramer法則有他的重要意義，就是通過它，你可以再一次看到行列式的含義。把b=sum(a_ix_i)的時候，分量a_i其實就代表著兩個n-維平行多面體的體積的商。這倆平行多面體有同樣的底，所以他們的體積商就是高的商，正好就代表了那個分量的大小。

當然了，代數的證明也很簡單，不過我想這背後的幾何才是cramer法則的重要之處吧。

我覺得是一個mxn矩陣，列空間在n維空間里（每列作為此矩陣幾何圖形的一條邊），行列式是此幾何圖形的體積。或者行空間在m維（每行作為此矩陣幾何圖形的一條邊），行列式是此幾何圖形的體積。在行空間或列空間中體積相等，m=n，方陣才有行列式。

V是n維線性空間，V*是它的對偶空間，V*做n次外積後變成一維的，裡面的元素只能是行列式函數的常數倍，行列式函數就是此線性空間的基。