為什麼物體在液體受到的浮力等於溢出液體的重量？

01-04

看到已經有人問過這個問題，盆友們用微積分或者用上了牛頓第一定律等等，但是阿基米德那會牛頓並未出生，而且也沒有微積分吧。請問阿基米德是怎麼推出的？是反覆的實驗結果嗎？我的想法很簡單，就是杯子對水的力不變，等於水的重力，水少了一部分，自然是木塊的重力把它填補上，所以木塊重力等於溢出去的水的重量。這樣想正確嗎？我是小白，希望各位大觸能用簡潔的話向我解釋，微積分啥的看不懂……

謝邀。

這個問題有意思，我試著推理一下：

想像在任意在一杯水中取一個任意形狀的部分作為研究對象（用腦子想就行了，不用真的去取），記為x。假設這一杯水已經穩定，那麼這部分x水是受力平衡的。顯然，這部分x水除了重力之外的所有的力都是周圍的水給的（這裡說的力自然是彈力，所以不接觸就不可能有力），那麼把周圍的水給這部分x水的所有的力統一起來定義一個叫做「浮力」F的合力，因為受力平衡，所以浮力F必然和重力大小相等，方向相反，所以當把x水挖走之後的坑（不管是露天的坑還是在水中的坑）所受到的合力就是這部分x水的重力，方向是豎直向上的（當然，這裡假設抽象的「坑」是沒有質量也沒有重力的）。

那麼，如果把某東西放進水裡佔據一定體積之後，那部分體積就不能被水佔據了，而現在需要的假設僅僅是這時候這個被佔據了的體積受到的力還是等於周圍的水給它的力，也就是周圍的水對這個坑一視同仁，無法識別這個坑內是什麼東西（這個假設是合理的，因為這裡宏觀討論的水給水內的東西壓力是因為水的重力產生的）。

證畢#

假定重力場是 $m{g}$ . 流體的靜平衡條件是

$abla p = ho m{g}$

這裡不對重力場的形式做任何假定, 當然它得是無旋的, 不然不存在壓強場 $p$ 使得平衡條件成立.

一個在靜流體中的物體受力為 $-int_{partial Sigma} p , m{n} ,dA$ .

注意到

$int_{partial Sigma}p, m{n} , dA = int_{Sigma} abla p ,dV$

所以物體受到的浮力正是

$-int_{Sigma} ho ,m{g} ,dV$

By definition, 這正是"它所排開的水的重量".

當然以上推導跟@nan hu的答案思路完全一樣, 阿基米德也是這個思路.

首先，我們針對一個底面積為S、高度為h的完全浸沒在水中的柱體進行分析，其底部距離液面 $H_{2}$ ，頂部距離液面 $H_{1}$ ，水的密度為 $ho$ ，重力加速度為g（以初中理解是G對m的比例，並不需要涉及加速度概念，加速度是高中物理的知識）

根據初中級別定義，浮力是物體在流體中在受到的來自流體的力的合力。

根據初中級別的「顯然」，這個合力在水平方向是一定是0，所以只要計算垂直方向上的合力。

底部液壓 $P_{2}$ = $ho gH_{2}$ ，方向向上

頂部液壓 $P_{1}$ = $ho gH_{1}$ ，方向向下

因此它受到的那個方向與重力相反的合力就是 $F=F_{2}-F_{1} =P_{2}cdot S-P_{1}cdot S = ho g(H_{2}-H_{1})cdot S = ho ghcdot S= ho gV$

注意上式中V是物體體積，而 $ho gV$ 剛好就是排開的那一部分水的重力。

以上內容屬於初中物理課程內容，可以得到結論：

對於一個柱體，當它底部不接觸容器底部時（這是初中物理一大考點——為什麼貼住杯底的蠟塊漂不起來？）它受到的浮力就是排開的水的重力。

而對於一個形狀不規則的物體，可以將其視為很多個微小柱體的組合（此處對於初中水平來說不需要引入微積分概念），因此受到的浮力還是等於排開的水的重力。

力學, 漆安慎, 高等教育出版社.

這個問題可以分成幾個小問題和誤區來解答

首先是，如何直觀的看出來浮力等於排開水的重力？我們暫時不考慮這個直觀的看法是否是一個合適的證明。

首先我們用一個非常薄的塑料袋裝一些水，讓後丟到水盆里，我們可以發現塑料袋的液面和水盆的液面是一樣高的，然後就可以非常輕鬆地推導出來，塑料袋裡面的水受到的浮力恰恰等於它的重力，因為如果浮力大於重力，塑料袋內部的液面必然高於水盆液面，反之如果小於重力，則塑料袋的液面必然比水盆低。

然後即使不做這個實驗，同樣可以通過不嚴謹的推理得到同樣結論，首先一盆水裡面所有的水都是一樣的，所以有沒有塑料袋阻隔水的自由流動對於我們分析液面和壓力是沒有區別的。所以對於任何一盆水，我們都可以假設有個看不見的塑料袋阻隔水的自由流動，但是傳遞所有的壓力，然而對於任何一盆水都有液面高度一致，所以我們可以想像得到，就算加上一個塑料袋，液面還是會保持一致。

然後是阿基米德是怎麼想到這一點的？！

事實上這是個誤導，因為每次說浮力的時候，總是會說那個皇冠的故事。

但實際上皇冠的故事和浮力連半毛錢關係都沒有，阿基米德用水泡皇冠是用來測量體積的，從而用來計算密度，和浮力有個毛關係。

我們的教科書總是讓我們誤以為阿基米德是在泡澡的時候突然開竅得出了浮力公式最後解開了皇冠之謎。

其實仔細想一下就會發現哪裡不對，浮力公式和皇冠真假有毛線關係啊？

事情的真相是這樣的，阿基米德解決了皇冠問題後，做了一大堆實驗，注意是做了一大堆實驗，將一個物體浸泡在水裡面來稱重計算浮力，通過大量的實驗總結出來了浮力公式，，，，，

如果你也被教科書騙過，就點個贊吧。

力學中的剛化原理。

將一部分靜止的水視為剛體，則該部分浮力平衡於重力。將佔據相同空間的物體放入（比如澡盆里的阿基米德），承受的浮力應當與新置入物無關，浮力等於排出的水的重力。

浮力=下表面和上表面的壓力差。

這個可以計算得到浮力等於排開水的體積。

你的理解不錯。

恰好能支撐這部分水的重力。

當阿基米德一點點的躺進去浴缸的時候水隨著他的四肢支撐的力量減少而溢出。

同時，他也感到隨著水的溢出，四肢支撐的力量慢慢變少。

其中的變數就是溢出的水和減少的四肢支撐力。

嗯，聯繫一下，總覺得這一定有什麼問題……

這個問題反過來想最簡單。

如果木塊的重量與被其排出的水的重量不相等,則木塊下面的水與其周圍會有壓力差,進而導致水體流動,所以靜水條件下兩者重量必然相等。

題主一定有這樣的體驗：

把一個皮球放到水裡感覺很費勁，好像水有一個向上的力在拖著它一樣（如圖a）。這個施加任何在液體裡面浸泡的物體的向上的力叫做浮力(buoyant force)。

浮力有多大？

想像一個「水球」，這個「水球」是由水組成的，和之前的皮球的模樣，位置都一樣（如圖b）。因為這些水沒有流動，所以認為這個「水球」是受力平衡的。但是「水球」有重量啊，所以肯定有什麼向上的力在「托」著它。這就是浮力了。它的大小就是「水球」的重量B=G=mg。（B：浮力，G：重力）也就是說浮力等於這圈水的重量了。但是「水球」並不會把這些水「溢」出來，換成皮球，浮力就等於溢出液體的重量了。

2. 那為啥我們可以用同樣大小的「水球」替代「皮球」呢？這就涉及到浮力因為什麼而產生了。

浮力是由周圍的水產生的（簡單版本）。
浮力是由物體浸在水中，由水產生的圍繞在物體表面的合力（複雜版本）。
浮力是由物體在流體（包括液體和氣體）中，各表面受流體（液體和氣體）壓力的差（合力）而產生（標準版本）。

也就是說和物體本身的質量，密度，材料，構成什麼的沒關係。這兩個球，同樣的水，同樣的大小，浮力當然不變啦。

這種現象叫做阿基米德原理(Archimedes』s principle)。該原理是說，浸在流體中的物體（全部或部分）受到豎直向上的浮力，其大小等於物體所排開流體的重力。

阿基米德，古希臘數學家，物理家，工程師。

3.那為啥「水球」不動，皮球就漂起來了呢？

因為皮球的浮力等於「水球」的重力大於皮球的重力，皮球就有一個向上飄的力了。

4.那為啥浮力的方向是豎直向上呢？

假設水中有一個立方體，由於該立方體底部和頂部的深度不同，由p= $ho$ gh（p:壓強），底部的壓強大於頂部的壓強。因此垂直向上的底部的壓力大於垂直向下的頂部的壓力。合力就是豎直向上。簡單判斷：物體是沉是浮僅僅與液體和物體的密度有關。

因為B ＝( $P_{top}$ － $P_{bot}$ )A＝ ( $ho$ gh) ， B= $ho$ $gV$ ， $B=Mg$ .因此 $ho gV=Mg$ (V是V排)與前面的分析一致。

5.魚的密度大於水的密度，那為啥魚兒為什麼可以在水中自由自在的游，而不沉下去呢？

夏威夷的熱帶魚

魚兒可以通過魚鰾(bladder)調整浮力的大小。

其實當我們知道浮力的大小時，我們就清楚為什麼物體在液體里受到的浮力等於溢出液體的重量了。

因為占同樣體積的水不會上浮，也不會下降。說明那樣體積的水中的空間產生的浮力等於同樣體積的水的重力

如果物體佔據的空間充滿液體，這些液體受自身重力和浮力，達到平衡。所以物體受到的浮力等於排開液體的重力。

首先，問題不準確。應該是物體在液體中平衡時所受的浮力＝物體投擲到該盛滿液體的容器的過程中溢出的液體所受的重力

兩個方法證明：

1如果要推導，可以利用物體在水中所受浮力公式和溢出液體所受的重力（即浸入液體的物體的體積×液體密度×重力加速度g）公式推導出來。這裡就不詳細解答了（記得當時初中課本上沒有詳細推導過程，自己用之前的知識推導了一下還是很容易得出的）。

2任何的理科知識推導只是走向真理的工具而非真理本身，有時候可以用跳出公式和定理的眼光另闢蹊徑來看待知識，可能就會得到簡單而深刻的認識。比如這個定理：不論什麼形狀的物體漂浮在液體上，它其實就是佔據了一部分原本液體的空間，我們可以把它看做原來同一個位置的那部分液體的膨脹。

原本盛滿液體而平衡且和諧的容器，因為這個物體的加入，原本的一部分液體溢出而被它取而代之，液體和這個容器又重回平衡且和諧的狀態。因此原本這個地方的液體的重量和後來代替這部分液體的物體的重量是相等的。

PS:如果你想看詳細的理論推導，有空的時候可以給你推一下哦。

水深度不同密度也不同，所以只能說排開水的重量，溢出只能是近似的演算法。

大的懸浮物不可能處在液體的任何地方。極其細小的微粒受到液體分子間里的作用才可能在一定範圍內懸浮。

如果學過多元微積分，可用高斯公式的一個變種輕易解釋（就是目前排名第二的那個回答）。

如果要用初等數學形象解釋，可參見拙著：

阿基米德浮力定律 ─?─

哦，當然，排名第一的那個答案其實更好。。

不同物體浮力不同，溢出的水量不同，猜也能猜到

從能量守恆定律也許可以解釋

等量轉化啊

高斯定理

這個問題讓我一下子想起了初中物理，浮力應該是初二下學期學習的內容吧。

我們學過浮力公式：

f=ρgv排

其中：

f是浮力，

ρ是液體密度，

g是9.8N/KG，

v排是物體排出的水的體積。

我們都知道，密度公式ρ＝m/v，

密度=質量/體積，

單位是「千克/立方米」

比如水的密度是1000千克/立方米。

重力公式G=mg，

這裡的g為了方便運算，我們通常取值10N/KG，

所以一公斤水的重力是10牛頓/千克。

那麼f=ρgv排，

這裡的ρv排就相當於排出的水的質量，

再乘以g就等於排出水的重力，

所以我們說物體排出的水的重力就等於物體所受的浮力。

阿基米德時代，數學還沒有發展到如今的高度，所以他不可能用微積分去推導浮力，但他可以通過實驗去論證浮力公式。

就比如三國時期的經典案例「曹沖稱象」，因為無法找到那麼大的秤，所以就藉助了船的浮力，用的是等量代換的原理。

曹沖先讓大象站到船上，記住船體吃水的位置，然後讓大象下船，開始往船上堆石頭，直到吃水量達到先前標記的位置，然後再把船上的石頭分別稱重，最後加總求和得到大象的重量。

根據上文的浮力公式f=ρgv排

ρ和g都是常量，只有v排是變數，排出的水的體積，和物體本身的密度無關，只跟他排出的水的體積有關。

所以浮力又稱物體在液體中減輕的重量，大象在陸地上稱重，和在水裡沉重的差值，就是浮力。