線性代數從矩陣和行列式入門真的是最恰當的學習方法嗎？

01-04

有學長向我推薦「圖靈數學叢書」中的《線性代數應該這樣學》，這本書別出心裁地直接介紹線性空間與線性變換等重要概念，弱化了矩陣和行列式的地位。學長覺得這種學習方法很有意思，但他也承認這本書比較適合有一定基礎的人來看，並不適合做主要教材。那麼，傳統的從高斯消元法到矩陣行列式再到線性空間、二次型、歐氏空間的教學方法和《線性代數應該這樣學》中的教學方法哪種更適合大一學生們學習線性代數呢？特別是對物理學和數學專業的學生。

　　其實應該從集合、邏輯、函數、二元運算入手，然後進入群、環、域的 基本內容。

　　這以後再學線性代數。

　　隨著數學逐漸發展，這樣的教學法將成為主流。從更高的觀點和更基本的結構去研習一門學科，標誌著一種走向成熟的進步。

　　按這種思路展開的經典代表作：戈德門特《代數學教程》，柯斯特利金《代數學引論》。這兩本書一本是法國教材，另一本是前蘇聯教材，就我個人的學習體驗——無論是與「從具體入手逐漸抽象(解方程組→逆序→行列式→矩陣……)」這一思路的各種教材相比，還是與「從相對抽象落實到具體(向量空間→線性相關/無關→基與維度→極大線性無關→線性變換及其矩陣表示→同構、秩零定理→行列式→方程組理論→特徵值、特徵向量→內積空間理論→喬丹標準型…)」這一思路的各種教材相比，都要痛快淋漓得多！它會讓你感到你是在從現代數學基本與核心範式起步，把一切都講得清清楚楚，不留任何漏洞。

　　給這種思路做一描述——從現代數學使用的最簡單，最基本，同時卻也最抽象（注意：抽象，但絕不複雜）的底層概念入手，利用邏輯與形式化得到有效結論，並逐漸聯繫到具體、現實的對象從而拓展認知邊界。嚴格、透徹、完整並一以貫之地處理問題可以帶來深刻的認識，基於此觀念上的學習可令人獲得一眼看穿研究對象的洞察力，這便是現代數學的精髓所在！而線性代數只是反映了這一精髓的一種範式而已，如果要好好掌握它，自然是從精髓本身入手——內容高於形式（其實數學上應該說，概念高於範式）。

　　作為一個現代的學習數學的人，與時俱進不是政治口號，而是指數學思維的進化。具體而言，就是有意識地從最高深，同時也最基本的觀點/概念看問題，並著力培養、習慣於這樣的思維方式。這才是進步。畢竟，大學，還是和中學有著本質的不同的。

（2017/12/10更新）【以下圖片截自評論區，鑒於評論區一夜之間多了很多條關於看待具體數學問題的討論，我就把回應放在答案里，免得打擾評論區的討論了。】

請你原諒我的冒犯：我覺得你這條評論就是扯。我是提到了抽象，可你哪隻眼睛看到我說要把具體的例子和計算給刨出去了？我只是指出了我認為好的一個學習思路，應該從更基本也更高的觀念上入手，僅此而已；至於實現這一觀念所應採取的教學手段，我指出了能夠體現這樣一種思路的兩本教材，你可以翻一翻，裡面具體的計算和例子俯拾皆是，但都是圍繞著讓讀者熟悉並理解這些抽象概念而有機組織起來的。以我理解，具體和計算是手段，從更高的觀點看問題是目的，此二者並不矛盾。但你卻強行認定我所描述的是一種以抽象為過程，以抽象為目的，「從抽象到抽象」的教學手段，然後說大師們都不是這樣做的。這種憑空立一個靶子自己打得很嗨，還拉來一堆數學大師（全然不顧你拼錯的那個Deligne，和他後面那個Faltings是明顯的反例）給自己站台的混帳邏輯，顯然犯了「稻草人」和「訴諸權威」兩個邏輯謬誤；還有什麼「違反人性的就不是好的數學」、「布爾巴基的教育失敗了」、「數學就是源於例子，回到例子」這種片兒湯話，除了裝屄，我也找不到其他理由。因為「雖然限制到實向量空間帶來的簡化遠比這種限制必然導致的一般性缺失更有價值，但恰恰是無需附加更多努力就能學習到越來越普遍結果的這種可能性，使得年輕人快速地達到百年來數學研究的前沿，而這段時間內人們的研究發現碩果累累」（摘自戈德門特《代數學教程》序言）。

牆裂推薦David C. Lay的《線性代數及其應用》，該書的內容注重實例，把重要概念都用具體的栗子詮釋，不至於太抽象。

最重要的是國內很多教材沒有響應概念的幾何解釋，這點超級重要！對於抽象的數學，如果理解了幾何解釋，學起來輕鬆很多，理解也會更深刻！

這本書至少值得看三遍！因為很多概念和性質是交叉的，比如矩陣和行列式，不管先學哪個，都要翻回去再看一遍才能融會貫通。每看一遍都是一次新的領悟！因為我現在又在看著！

在線性代數中，有兩種常用的把一個矩陣轉化為一個數的方式：行列式和跡。國內教材通常花很大篇幅介紹行列式，而對跡一筆帶過。實際上，跡比行列式有更好的數學性質。跡和行列式都滿足交換率，但跡是線性運算，而行列式只對某一行/列線性。另一方面，行列式的計算複雜度太大，在實際應用中幾乎不會出現，而跡經常被用作聯繫矩陣、向量、和數的工具，比如：

$c = mathrm{tr}(c)$

$oldsymbol a^ op oldsymbol b = mathrm{tr}(oldsymbol aoldsymbol b^ op)$

$mathrm{vec}(oldsymbol A)^ op mathrm{vec}(oldsymbol B) = mathrm{tr}(oldsymbol A^ opoldsymbol B)=mathrm{tr}(oldsymbol Aoldsymbol B^ op)$

$|oldsymbol A|_{mathrm F}^2 = mathrm{tr}(oldsymbol A^ opoldsymbol A)=mathrm{tr}(oldsymbol Aoldsymbol A^ op)$

我們研究線性代數不應局限於計算行列式和解線性方程組，對向量空間的分析和理解更有意義。

說一點我的拙見吧。我認為對非數學類專業來說，線性代數應該從3維解析幾何開始講，從空間的仿射/旋轉變換引入矩陣，從定向體積引入行列式，再形式地推廣到複數空間。這是因為對非數學類專業（甚至許多應用數學方向）來說，線性代數的應用基本都來自於這一幾何直觀。甚至包括許多李群、李代數的應用，最終也歸結到這類相對簡單的幾何直觀上。不管你講得再抽象，最後大家天天打交道的還是這類幾何性的問題。從代數結構出發的抽象理論反而不那麼必要。

我認為要弄明白線性代數的意義最好加一門解析幾何。但是微積分+線性代數幾乎是大部分理工科專業數學基礎課的標配，開解析幾何的反而不多。

當然解析幾何這麼課程的定位也很尷尬。有的人搞了一門高等代數與幾何，不僅沒有講清楚線性代數的幾何意義，反而跳來跳去的讓人不知所云；如果解析幾何只圍繞著線性變換行列式的幾何意義，又不足以撐起一門課程；如果要開一門單獨的課程，限於學生微積分水平又不知道後續該補充些什麼。

強烈推薦北大丘維聲版的高等代數上冊內容基本就對應工科的線性代數章節編排和學習順序都比同濟版的好太多

孟岩先生珠玉在前，我實在沒有更好的解答。貼一篇他的舊文吧

前不久chensh出於不可告人的目的，要充當老師，教別人線性代數。於是我被揪住就線性代數中一些務虛性的問題與他討論了幾次。很明顯，chensh覺得，要讓自己在講線性代數的時候不被那位強勢的學生認為是神經病，還是比較難的事情。

可憐的chensh，誰讓你趟這個地雷陣？！色令智昏啊！

線性代數課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個「前無古人，後無來者」的古怪概念，然後用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘一個係數加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西有嘛用。大多數像我一樣資質平庸的學生到這裡就有點犯暈：連這是個什麼東西都模模糊糊的，就開始鑽火圈表演了，這未免太「無厘頭」了吧！於是開始有人逃課，更多的人開始抄作業。這下就中招了，因為其後的發展可以用一句峰迴路轉來形容，緊跟著這個無厘頭的行列式的，是一個同樣無厘頭但是偉大的無以復加的傢伙的出場——矩陣來了！多年之後，我才明白，當老師犯傻似地用中括弧把一堆傻了吧嘰的數括起來，並且不緊不慢地說：「這個東西叫做矩陣」的時候，我的數學生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以後，在幾乎所有跟「學問」二字稍微沾點邊的東西里，矩陣這個傢伙從不缺席。對於我這個沒能一次搞定線性代數的笨蛋來說，矩陣老大的不請自來每每搞得我灰頭土臉，頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就如同阿Q見到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。

事實上，我並不是特例。一般工科學生初學線性代數，通常都會感到困難。這種情形在國內外皆然。瑞典數學家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：「如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多。」，然而「按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。」事實上，當我們開始學習線性代數的時候，不知不覺就進入了「第二代數學模型」的範疇當中，這意味著數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對於從小一直在「第一代數學模型」，即以實用為導向的、具體的數學模型中學習的我們來說，在沒有並明確告知的情況下進行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。

大部分工科學生，往往是在學習了一些後繼課程，如數值分析、數學規劃、矩陣論之後，才逐漸能夠理解和熟練運用線性代數。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數為工具進行科研和應用工作，但對於很多這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎的問題卻並不清楚。比如說：

* 矩陣究竟是什麼東西？向量可以被認為是具有n個相互獨立的性質（維度）的對象的表示，矩陣又是什麼呢？我們如果認為矩陣是一組列（行）向量組成的新的複合向量的展開式，那麼為什麼這種展開式具有如此廣泛的應用？特別是，為什麼偏偏二維的展開式如此有用？如果矩陣中每一個元素又是一個向量，那麼我們再展開一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？

* 矩陣的乘法規則究竟為什麼這樣規定？為什麼這樣一種怪異的乘法規則卻能夠在實踐中發揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關的問題，最後竟然都歸結到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規則下面，包含著世界的某些本質規律？如果是的話，這些本質規律是什麼？

* 行列式究竟是一個什麼東西？為什麼會有如此怪異的計算規則？行列式與其對應方陣本質上是什麼關係？為什麼只有方陣才有對應的行列式，而一般矩陣就沒有（不要覺得這個問題很蠢，如果必要，針對m x n矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因為沒有這個必要，但是為什麼沒有這個必要）？而且，行列式的計算規則，看上去跟矩陣的任何計算規則都沒有直觀的聯繫，為什麼又在很多方面決定了矩陣的性質？難道這一切僅是巧合？

* 矩陣為什麼可以分塊計算？分塊計算這件事情看上去是那麼隨意，為什麼竟是可行的？

* 對於矩陣轉置運算AT

，有(AB)T

= BT AT

，對於矩陣求逆運算A-1

，有(AB)-1

= B-1A-1

。兩個看上去完全沒有什麼關係的運算，為什麼有著類似的性質？這僅僅是巧合嗎？

* 為什麼說P-1AP得到的矩陣與A矩陣「相似」？這裡的「相似」是什麼意思？

* 特徵值和特徵向量的本質是什麼？它們定義就讓人很驚訝，因為Ax

=λx，一個諾大的矩陣的效應，竟然不過相當於一個小小的數λ，確實有點奇妙。但何至於用「特徵」甚至「本徵」來界定？它們刻劃的究竟是什麼？

這樣的一類問題，經常讓使用線性代數已經很多年的人都感到為難。就好像大人面對小孩子的刨根問底，最後總會迫不得已地說「就這樣吧，到此為止」一樣，面對這樣的問題，很多老手們最後也只能用：「就是這麼規定的，你接受並且記住就好」來搪塞。然而，這樣的問題如果不能獲得回答，線性代數對於我們來說就是一個粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規則集合，我們會感到，自己並不是在學習一門學問，而是被不由分說地「拋到」一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然無法領略其中的美妙、和諧與統一。直到多年以後，我們已經發覺這門學問如此的有用，卻仍然會非常迷惑：怎麼這麼湊巧？

我認為，這是我們的線性代數教學中直覺性喪失的後果。上述這些涉及到「如何能」、「怎麼會」的問題，僅僅通過純粹的數學證明來回答，是不能令提問者滿意的。比如，如果你通過一般的證明方法論證了矩陣分塊運算確實可行，那麼這並不能夠讓提問者的疑惑得到解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運算為什麼竟然是可行的？究竟只是湊巧，還是說這是由矩陣這種對象的某種本質所必然決定的？如果是後者，那麼矩陣的這些本質是什麼？只要對上述那些問題稍加考慮，我們就會發現，所有這些問題都不是單純依靠數學證明所能夠解決的。像我們的教科書那樣，凡事用數學證明，最後培養出來的學生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意義上的理解。

自從1930年代法國布爾巴基學派興起以來，數學的公理化、系統性描述已經獲得巨大的成功，這使得我們接受的數學教育在嚴謹性上大大提高。然而數學公理化的一個備受爭議的副作用，就是一般數學教育中直覺性的喪失。數學家們似乎認為直覺性與抽象性是矛盾的，因此毫不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在內的很多人都對此表示懷疑，我們不認為直覺性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數學教育中和數學教材中，幫助學生建立直覺，有助於它們理解那些抽象的概念，進而理解數學的本質。反之，如果一味注重形式上的嚴格性，學生就好像被迫進行鑽火圈表演的小白鼠一樣，變成枯燥的規則的奴隸。

對於線性代數的類似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續續地反覆思考了四、五次，為此閱讀了好幾本國內外線性代數、數值分析、代數和數學通論性書籍，其中像前蘇聯的名著《數學：它的內容、方法和意義》、龔昇教授的《線性代數五講》、前面提到的Encounter with Mathematics（《數學概觀》）以及Thomas A. Garrity的《數學拾遺》都給我很大的啟發。不過即使如此，我對這個主題的認識也經歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結論曾經寫在自己的blog里，但是現在看來，這些結論基本上都是錯誤的。因此打算把自己現在的有關理解比較完整地記錄下來，一方面是因為我覺得現在的理解比較成熟了，可以拿出來與別人探討，向別人請教。另一方面，如果以後再有進一步的認識，把現在的理解給推翻了，那現在寫的這個snapshot也是很有意義的。

因為打算寫得比較多，所以會分幾次慢慢寫。也不知道是不是有時間慢慢寫完整，會不會中斷，寫著看吧。

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今天先談談對線形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數學背後說的實質問題說出來。

首先說說空間(space)，這個概念是現代數學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在裡面定義了範數，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。

總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數學定義，大致都是「存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然後滿足某些性質」，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什麼要用「空間」來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。

我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那麼多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什麼最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：1. 由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2. 這些點之間存在相對的關係；3. 可以在空間中定義長度、角度；4. 這個空間可以容納運動，這裡我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的「連續」性的運動，

上面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有一個集合，大多數還得在這個集合上定義一些結構（關係），並不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，容納運動是空間的本質特徵。

認識到了這些，我們就可以把我們關於三維空間的認識擴展到其他的空間。事實上，不管是什麼空間，都必須容納和支持在其中發生的符合規則的運動（變換）。你會發現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中允許的運動形式而已。

因此只要知道，「空間」是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。

下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認線性空間是個空間，那麼有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：

1. 空間是一個對象集合，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那麼線性空間是什麼樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什麼共同點嗎？

2. 線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？

我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當的給出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那麼平凡的例子：

L1. 最高次項不大於n次的多項式的全體構成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0, x1, ..., xn為基，那麼任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的係數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到後面提到的概念了，

所以這裡先不說，提一下而已。

L2. 閉區間[a, b]上的n階連續可微函數的全體，構成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續函數。對於其中任何一個連續函數，根據魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大於n的多項式

函數，使之與該連續函數的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結為L1了。後面就不用再重複了。

所以說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空間里任何一個對象。這裡頭大有文章，因為向量表面上只是一列數，但是其實由於它的有序性，所以除了這些數本身攜帶的信息之外，還可以在每個數的對應位置上攜帶信息。為什麼在程序設計中數組最簡單，卻又威力無窮呢？根本原因就在於此。這是另一個問題了，這裡就不說了。

下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數的一個最根本的問題。

線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那麼，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之後，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。

簡而言之，在線性空間中選定基之後，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。

是的，矩陣的本質是運動的描述。如果以後有人問你矩陣是什麼，那麼你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。（chensh，說你呢！）

可是多麼有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數中大多數奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關係。

工科從線性方程組，矩陣開始學沒問題。

理科的話，尤其是偏數學方向的：從映射開始學才是真的大丈夫！

這要看人，看他怎麼接受一門學科。

線性代數本身是非常漂亮的理論，無論是形式化的，還是計算的，還有著一套幾何直觀。線性代數毫無疑問是現代數學的基本工具，無論從理論還是實用上都有著基礎地位。

但正因為如此，線性代數的入門就可以有非常多的方式。形式化那一套，這適合那些習慣抽象的人入門，對於他們來說，抽象的才是方便理解的，否則初學會被細節搞得亂七八糟。計算的那一套，當然一般是從線性方程出發，建立的一套工具對於那些需要直接使用線性代數進行計算的人來說當然更方便入門。幾何的一些直觀，譬如Courant的數理方法第一卷第一章，從二次型出發講線性代數，我第一次看的時候還是很驚艷的2333.

我想很多物理系的童鞋們線性代數的入門是量子力學，雖然是很粗糙的譜論，基本每一本量子力學都會講一遍運算元balabala，看著看著也就習慣了線性變換什麼的。

總之，雖然入門大家都是坎坷的，但最後這些東西都接觸過之後，也沒什麼區別了。再深入嘛，看需求啊。

學校課程關於大學階段的比較初級的本科一年級二年級代數課分了三類：1 Matrix Algebra 有點像國內工科的高等代數，就是矩陣算算算，後面帶一點differential equation 算是lower division的課 2 Linear Algebra 正統從Vector Space 開始講，涉及到了Orthogonal Basis，Eigenbasis, Jordan Form之類的內容 3 Abstract Algebra 從群環域入手展開我是先學了3再學2的，沒有系統學過矩陣之流，當然，高中那點底子還是有的…我分析一下我自己這種學法的好壞，再來評價題主作法是否恰當…

其實我大體覺得我的作法不錯，只是市面上2的教材如今分成兩個方向，一種是以Hoffman 和 Friedberg為首的大部分教材，在處理Diagonalization上，選擇用Determint解方程找到eigenvalue,而這一做法對於要求嚴謹的數學系學生來說其實還是相當蛋疼的，因為這意味著你必須對Matrix Algebra非常理解，才能使用做題不心虛，當然咯，不求甚解的人當然是無所謂的。另外一個方向就是題主所說的Axler的LADR，這本書採用的是一種Determint free的作法，繞過了傳統方式，顯得非常乾淨…但是某種意義上來講，因為LADR少了一些傳統內容，導致我覺得其實他在Dual Space，Quotient Space這些挖掘的很不夠，可能料不如Friedberg多，但勝在簡單幹凈…我自己是把Friedberg基本刷掉了，LADR做了前半本，總結一下就是LADR是一本很好的書，英文第三版已經出了，中文應該也挺快，樓主完全可以嘗試一下

我比較贊成矩陣論方面的東西單獨拿出來，把線性空間理論放在抽象代數里做更一般的處理。

當然這只是個人的感受。

「線性代數」這個課程的名字，說明是物理或者比物理更偏應用的專業的人學的

數學專業的人學的那應該叫「高等代數」

物理專業和數學專業學矩陣和線性空間這些內容的「線性代數」課程，目的是不一樣的

對於數學專業而言，高等代數和數學分析相比，更「抽象」，更不「直觀」，因此是數學專業的好的入門課

而就物理專業而言，在本科低年級階段，矩陣、行列式這些和「算術」差不多的東西，跟線性空間、線性變換這些「抽象」得不知所云的東西，重要性其實是差不多的

直接從線性空間、線性變換講起，對於物理專業的學生而言，接受度其實非常低

有幾個原因：

一是不直觀。線性代數一般在本科一年級開設，那時候學的微積分（高等數學）也好，普物也好，都是和現實生活結合非常緊密，有直觀的例子的

二是沒有用。線性代數涉及的是同一個矢量在不同坐標系下坐標的變換，只有涉及到多維空間才有用，而本科一年級更多的要麼仍然是一維情形，要麼是矢量語言，線性變換的概念用不上，學生根本不知道為什麼要學

三是不利於計算。除開線性代數課程，在別的課程中最先用到線性代數知識的是雅可比行列式、朗斯基行列式之類（高數，或者叫微積分課程，會用到），結果你把這些內容放後面了，高數課上要用的時候結果你連行列式怎麼算都不會

線性代數從矩陣乘法和行列式的計算出發，雖然不利於體系的構建和思維的訓練，但卻是現實的選擇

《線性代數應該這樣學》這種寫法，只適合學完了線性代數以後進行高屋建瓴的提高，而不適合初學者

我原來曾經提議過，把線性代數課程放到物理專業的本科二年級再開設，這樣三方面的問題都解決了，可以和四大力學中的理論力學（哈密頓力學）結合起來，也可以和普物中的原子物理（近代物理）結合起來，學生對於抽象性概念的接受度也提高了

但是這意味著大學一年級不教矩陣乘法和行列式，這個有點兒說不過去，後來想想，這樣也不現實

我不知道現在狹義相對論是在哪兒學的，普物力學，普物電磁學，or 普物原子物理？線性空間的概念，在第二遍學相對論的時候其實就可以用上了（第一遍學還是用不上- -b）

推薦沙法列維奇的線性代數。

對於零基礎的學生來說，是的，因為線性代數就是一門講計算技巧的課。但是把重點變成花式求解行列式就不可取了。

我認為倒是應該從解線性方程入手，自然而然引出克萊默法則，從而引出行列式。然後講運算量更小的高斯消元法，引入矩陣及其初等變換。之後順水推舟引入逆矩陣。為了解決更一般方程組（矛盾方程組，即方程個數多於未知數個數的方程），引入廣義逆矩陣（如摩爾-彭羅斯逆），這是一條主線。

另外一條就是特徵值與特徵向量了，可以從化一般二次曲面方程為標準方程這一與空間解析幾何有很大關係的實際問題入手。然後帶出三種特殊矩陣——正交矩陣，實對稱矩陣，正定矩陣。

我之前給學工科的妹子補習線代的時候就是這麼講的，效果還不錯。線代本來就是工科學生作為數學工具去學習的，從問題入手，提綱挈領，或許是個不錯的學習方法。

看你學的目的是什麼了.

大部分人學代數的目的是要算某些東西.所以直接從矩陣行列式開始,免得他們問你"你說的好有道理但是鴿子為什麼這麼大",更深刻的東西他們也不需要懂,你跟他們講線性空間有可能沒有基,你說的對,但這並沒有什麼用,他並不關心這個.

至於數學系的學生,我推薦從泛函開始.泛函里有很多線性空間的例子,能告訴你一個糟糕透頂的線性空間是啥樣,這樣才不會學代數的時候滿腦子是R^n這種十全十美的東西

謝邀。

線性代數最最常見的應用（工程、經濟等領域）就是矩陣。而且矩陣具有相比線性代數整體更加具體與直觀的特點（一上來就講線性映射，估計會讓很多抽象思維尚未達到一定程度的學生撓破腦袋）。因此我個人認為，從行列式到矩陣再到線性空間的教學順序符合人的基本認識過程：從具體到抽象，也更易於理解線性空間的性質。

國內大多數教材均以這樣的順序入手，國外的話只知道MIT的線代教材，也是如此順序。想來也是這麼多年來積澱與對比教學效果的結果。

當然對於抽象思維比較發達的人來說，從線性空間直接入手會小幅度加快學習的進度，但其實就行列式跟矩陣那點東西，應該也就是一個月不到的課時吧。

天才怎麼樣學最後都是天才，而在面對數學這種高度抽象的學科，我們普通人還是挑容易理解的、循序漸進的更好。

呵呵呵，我覺得無所謂，覺得上面一堆回答讓人感覺不回答從線性空間和映射學起就沒法顯出自己的高大上逼格似的。就算是數學系的也不會因為先從線性方程組學起就影響了後續的學習，非數學系的也不會因為從線性空間學起就真的能學明白。關鍵還是看自身對內容的理解，從哪裡學起只能裝裝B罷了。

顯然不是，我學的線性代數從向量空間開始入門

我覺得對我來說，學矩陣和行列式時候學會的「算數要認真」這條定理，比我在高代里學過的其他定理都有用。。。一個數算錯了就要回頭找，真不想算第二遍只好認真了