如何記憶格林公式？

經常搞錯減的順序。

不知道答主有沒有學過「旋度」（考慮到提問的時間，現在應該是已經學過了）。如果學過了的話，應該就可以看出來 就是二維向量函數 在 方向上的旋度，或者乾脆就可以稱之為二維向量函數的「旋度」。那麼，問題就轉化成了如何記住旋度的表達式。雖然行列式是個好辦法，但是如果你把第二、三行記反了，那最後的符號也就錯了，並無助於題主的問題。所以，不妨直接從 的直觀「理解」開始入手。

首先，我們知道，一個矢量沿著它本身的方向如何變化（因為沿著它本身的方向，所以只能有大小的變化），這是「散度」的直觀含義。與之相反，旋度是研究一個矢量沿著它的垂直方向如何變化的量。所以，對於一個處於 點的矢量 ，它的旋度，必然是與「沿 軸稍稍動一下， 方向的分量 如何變化」，以及「 沿 軸稍稍動一下， 軸分量 如何變化」有關。這樣我們就記住了兩個偏微分是 與 。

那麼，最關鍵的是，如何記住這兩個偏微分的符號呢？考慮到我們知道這兩個偏微分的組合叫做「旋度」，那麼必然和原矢量的方向變化（旋轉）有關。事實上，由於數學是自洽的，有逆時針旋轉趨勢的地方，旋度是正的，而有順時針旋轉趨勢的地方，旋度是負的……嗯，有正有負，好像和這兩個偏微分的符號有關？——我們就乾脆直接畫出這兩個偏微分的直觀表示，看看他們到底怎樣決定了原矢量的「旋轉」：

如上圖所示，向量 可以直接用分量 、 表示。先考慮 。不妨假設向量的「幅角」在0到90度之間（如果不在，你總可以重新選擇坐標系使之成立），並且 且 ，這意味著將 向 正方向移動 ， 將增長 。因為移動和增長是有方向的，我在圖中將移動和增長的路徑用帶箭頭的虛線標出來了——現在應該看出來——上述的變化路徑，與 的末端一起，形成了一個正的有向角度 ，而 就是有向角度 的正切 ，既然 是正的，那麼 自然取正號了。為什麼 是正的呢？因為形成它的路徑是逆時針的哈。有人也許會追問，現在我們得到了這個有向角度 ，可它到底又是一個什麼含義呢？它好像並不是向量 向右移動 ，整個向量所旋轉的角度吧？的確如此，但是這不妨礙我們用它來記住 的符號。實際上，假如 的幅角在0到90度之間，並且大小不變，那麼 向右移動了 並且分量 增長了 ，的確意味著 沿逆時針正向旋轉了一定角度（請自己想一下），與 的符號完全相同。總之， 意味著， 這一項對旋度的貢獻是正的，所以它的符號也是正的。

仿照完全類似的討論，我們可以看出 對應於有向角度 的正切 ，而 的符號是負的，那麼意味著 對旋度的貢獻是負的（順時針旋轉），所以它的符號也是負的。

bottom line: 我們可以直接從組成旋度的偏微分的表觀含義來「推導」出格林公式的符號。雖然並不嚴謹，但是看起來容易記憶。

格林公式么用外微分直接推不就好了么，考試前先寫一遍外微分，用不了10分鐘的。

以下為一次、二次、三次外微分形式，零次記為函數f

現在定義外微分運算元d

零次情況：

一次情況：

對P再用零次，即微分，隨後外乘積同理可以得到多次情況。

便可以容易地推得格林公式、斯托克斯公式、高斯公式。

可以統一的記為廣義斯托克斯公式：

其中Σ為積分區域，?Σ為邊界。要注意的情況只有注意方向了。

具體如何推出牛頓萊布尼茨公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式。作為習題吧。

當 的時候， 表示在 固定時，由 所導致的 的變化量，如圖所示

由於反正下面計算了還要到上面去算，所以可以把把它們合起來就是

而當算 的時候，由於是逆時針，而規定正方向是路徑左邊，所以是下減上。

而逆時針的時候右減左還是正數，所以格林公式裡面是一正一負。

多做題就記住了。

另外，單單一個格林公式不難記，難記的在於區分格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、梯度、散度、旋度、通量。以及它們的適用場合、線面積分和重積分的對應關係。