所有質數都能表示成 2 和 3 的整數次冪之和或之差嗎？

01-04

突然發現好多質數都能表示成 $2^n+3^m$ 的形式，其中 $n,m$ 是整數。是不是所有質數都能用如下方式表示呢？以下是我的發現：
$5=2+3=3^2-2^2=2^3-3$
$7=2^2+3=2^3+3=3^3-2^4$
7：2*2+3；2*2*2*2-3*3；3*3-2

11：2+3*3；2*2*2+3；3*3*3-2*2*2*2
13：2*2+3*3；2*2*2*2*2*2*2*2-3*3*3*3*3
17：2*2*2+3*3；3*3*3*3-2*2*2*2*2*2
19：2*2*2*2+3；3*3*3-2*2*2
23：3*3*3-2*2
29：2+3*3*3
31：2*2+3*3*3
37：2*2*2*2*2*2-3*3*3
41：2*2*2*2*2+3*3
43：2*2*2*2+3*3*3

47：2*2*2*2*2*2*2-3*3*3*3
53：
59：2*2*2*2*2+3*3*3
61：2*2*2*2*2*2-3
67：2*2*2*2*2*2+3
71：
73：3*3*3*3-2*2*2；2*2*2*2*2*2+3*3
79：3*3*3*3-2
83：2+3*3*3*3
89：2*2*2+3*3*3*3

97：2*2*2*2+3*3*3*3
這裡我並沒有想到53和71的這種表示算術式，誰能幫我找找看嗎？如果能證明就更好了！！

53和71無解是很顯然的，並不需要高等的東西。

注意到2的冪模120, 只可能同餘於2, 4, 8, 16, 32, 64; 3的冪模120, 只可能同餘於3, 9, 27, 81. 兩兩相加減再模120並不能得到53和71.

用一個高等的Dirichlet定理可知有無窮多個素數（形如120n+53或120n+71）不能表示為2的冪與3的冪的和或差。

這個是不對的。證明如下。

對於任何正實數C&>2，我們記pi(C) 為小於等於C的素數個數。由素數定理，我們知道pi(C) ~C/log(C)，特別的存在一個常數a&>0 有 pi(C)&>a C/log(C).

記P(C)為滿足 |2^n-3^m|leq C的非負整數對的個數。如果樓主的猜測成立我們有 P(C)geq pi(C)&>a C/log(C).

現在我要證明：

thm A: 對C充分大， P(C)&那麼thm A 就推出樓主的猜測不成立了。

證明thm A: 對任何正整數對 (n,m)，記H:=max{n,m}.

給定C&>2, 記 S={(m,n)in N^2| |2^n-3^m|leq C}。對(n,m)in S，若 mleq n/100, 則，

Cgeq 2^n-3^mgeq 2^n-3^{n/100}geq 2^{n-1}-1。則 H=nleq log(C+1)+1.

若 m&> n/100, 則 m&>H/100.

由 Baker"s_theorem，存在D&>0 有 |xlog2-ylog3|geq max{|x|,|y|}^{-D} 對任何整數對 (x,y)成立。

由於 |2^n-3^m|leq C 我們得到 |e^{nlog2-mlog3}-1|leq C/3^m。則我們有

log(1-C/3^m)leq nlog2-mlog3leq log(1+C/3^m)，稍微放大一下有

|nlog2-mlog3|&<2C/3^m. 則我們有 H^{-D}&<2C/3^m&<2C/3^{H/100}. 因為多項式小於指數，存在F&>1有 x^{-D}&>F^{-1}3^{-x/200} 對任何xgeq 1. 則我們有F^{-1}3^{-H/200}&<2C/3^{H/100} 解出來得到 H&< 200(log (2C)+log F)/log 3.

綜上，對任何(m,n)in S, 我們有 Hleq max{200(log (2C)+log F)/log 3, log(C+1)+1}=

200(log (2C)+log F)/log 3 當C&>2.

所以 S 是 {(m,n)in N^2|max{n,m}leq 200(log (2C)+log F)/log 3 } 的子集。

所以Pleq (200(log (2C)+log F)/log 3 }+1)^2. 對C 充分大有 (200(log (2C)+log F)/log 3 }+1)^2&

這個問題顯然要說一下孫志偉[On integers not of the form $pm p^apm q^b$ , Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 997--1002. 鏈接: ams.org 的頁面]在2000年得到的那個定理啊:

若
$xequiv 47867742232066880047611079 pmod{66483034025018711639862527490},$
則 $x$ 不能表示為 $pm p^apm q^b$ 的形式, 其中 $p,q$ 為素數.

當然證明其實很初等, 只需要用一下cover system, 再耐心地分類討論就可以了.

再限制素數的話接著用Dirichlet定理就OK.

插一句, 今年JNT上還有人在用cover system做"On integers not of the form $F_n pm p^a$ "呢, 這裡 $F_n$ 是Fibonacci數.

感覺這個猜想是不成立的。

理由是：把這個問題略微擴大，所有奇數是否能被表達呢？，容易證明：9=3*3=| 2^n+(-)3^m |是不可能成立的(n,m&>0)。或許，可以證明53=
| 2^n+(-)3^m |是不可能成立的，從53=3*3*3*2-1入手，移項，然後因式分解...

用Python 2.7.6 初步驗證：

對53和71這兩個數，計算|2^n+(-)3^m|， n,m從0 到8000都沒有找到成立的。

你的猜想屬於皮萊猜想的一個分猜想，而且你的猜想如果成立的話，不僅是皮萊猜想的一大進步，同時也是對於你的好多質數都能表示成2的n次方加減3的m次方的強條件肯定，好多質數我可以想成無限質數或有限質數都能表示，你猜想一下是不是有無數個質數都能表示成2的n次方加減3的m次方，同時你在猜想一下是不是所有素數都成立呢？53和71確實是不好對付的，這是需要計算機去算的。

參考學術性猜想：

卡塔蘭猜想

卡塔蘭猜想是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一個數論的猜想。它是說除了8=2^3，9=3^2，沒有兩個連續整數都是正整數的冪；以數學方式表述為：不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。

也可以叫「8--9」猜想。

2002年4月，帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫(Preda Mih?ilescu)證明了這猜想，所以它現在是定理了。這個證明由尤里·比盧(Yuri Bilu)檢查，大幅使用了分圓域和伽羅華模。

與卡塔蘭猜想相似的有費馬大定理。

歷史

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

1320年左右，萊維·本·熱爾松（Levi ben Gerson，1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。

萊昂哈德·歐拉證明，x2 - y3 = 1隻有一解：x = 3,y = 2。

勒貝格證明了方程xa - y2 = 1，a &> 1 沒有正整數解。

1965年柯召證明方程x2 - yb = 1，b &> 1 只有一個解。

於是卡塔蘭猜想只餘下a,b為奇素數的情況。

1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對這猜想作出貢獻。

皮萊(Pillai)猜想：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。

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最近更新：2008-08-30

創建者：南瓜過山車

我建議你把這猜想發表在數學通報上。

我想你的這個猜想應該能用現有的數學方法去證明，自己去查。

此猜想對53與71是失效的。

見此文(http://arxiv.org/pdf/0908.4031v1.pdf)第2頁:

「By means of the same method, Herschfeld showed that if x &> 8 or y &> 5, then |2^x ? 3^y| &> 100」

結合 @沈利興的計算知53與71均無解。