cov(X,Y)=0, 那麼 X, Y 獨立嗎？

01-04

不一定獨立，易驗證如下反例。

隨機變數X取值於｛0，1｝，分布列滿足：

$P(X=0) = 1/3$ 和 $P(X=1) = 2/3$ .

隨機變數Y取值於｛－1， 0， 1｝，分布列滿足：當X取1時，Y以概率1取0，當X取0時，Y以相等的概率取－1和1，嚴格寫成

$P(Y=0|X=1) = 1$ , $P(Y=0|X=0) = 0$ , $P(Y=pm 1|X=0) = 0$ 和 $P(Y=1|X=1) = P(Y=-1|X=1) = 1/6$ .

此則 $XYequiv 0$ ，進而 $E(XY) = 0$ ,又有 $E(Y) =0$ ,於是

$Cov(X, Y) = E(XY) -E(X)E(Y) = 0 - 0 = 0$ ,

但是X和Y顯然並不獨立.

不獨立並且不相關是存在的，比如說：

P(0,-1)=0, P(0,0)=1/3, P(0,1)=0;

P(1,-1)=1/3, P(1,0)=0, P(1,1)=1/3

其中P(a,b)表示P{X=a,Y=b}

不一定。

獨立一定是不相關，不相關不一定獨立。

這是教科書里的話。

協方差

的本質是在描述兩個實數隨機變數的總體誤差。協方差

假如有兩個隨機變數x1 和 x2 ，如果x1 增加，x2 有增加的趨勢，那麼x1 x2 之間的協方差是正的。

假如x1 增加，而x2 有減少的趨勢，則協方差為負數。

假如x1 增加，而x2 沒有增加或減少的趨勢，則協方差為0.

以上，當x1 x2 獨立的時候，x1增加x2是沒有增加或減少的趨勢的，因此可以得到cov(x1,x2)=0.

下面一張圖舉出了一種cov(x1,x2)=0 但 x1 x2 不獨立的情況：

圖1：

x1 和x2的分布為斜著的橢圓，可以認為(x1,x2)的樣本分布在橢圓內。

可以看到，當x1增加的時候(沿著斜著的虛線向上)，x2 的均值在變大，因此cov(x1,x2)&>0.

人的身高和體重可以用這個分布來模擬。當樣本的身高變大時，體重傾向於變大（長得高的人通常更重）。

圖2：

x1和x2分布在正立的橢圓之內，當x1增大(沿著水平的均值)的時候，x2的均值是不變的(因為水平的虛線對應的x2值不變)！

但是！！當x1增大的時候雖然x2的均值雖然不變，但是方差在減少！因為當x1增大的時候，x2分布的廣度，也就是在x2方向（豎直方向）的分布離散程度變小了，也就是方差變小了。

總結一下，就是當x1增大的時候，x2的均值不變(沒有增大或者減小的趨勢)，但是方差卻在變化，因此x1 ， x2 不獨立！

以上，cov(x1,x2)=0，並不能說明x1，x2一定獨立，

但x1，x2獨立的話，cov(x1,x2)一定為0.

不一定 http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance#Uncorrelatedness_and_independence

這個問題在知乎網上回答過很多次了。相關是一個統計的總體效果的概念，而獨立是點對點的概念。一組數據的和為0並不能說明這組數據每個都為0吧，就是這麼個簡單的道理。

但是對於正態隨機變數，不相關則意味著獨立。

獨立一定不相關，不相關不一定獨立。

不一定，試試令Y=X^2

反過來一定成立，一般寫做：X，Y stochastically independent；單有 Cov( X, Y) = 0, 只能推出 X，Y uncorrelated.

這裡有栗子：http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance

不相關不是獨立，要獨立你至少要測量四個量：

相關性（correlation）：

corr(x,y)＝cov(x, y) / ( var(x) * var(y) )

負相關性（anti-correlation）：

corr(x, not y) = cov (x, not y ) / ( var(x) * var(not y) )

corr(not x, y) = cov (not x, y ) / ( var(not x) * var(y) )

反相關性（co-absence）

corr(not x, not y) = cov(not x, not y) / ( var(not x) * var(not y) )

如果全部為零才可以說兩者獨立。

只是說明沒有線性關係但可能有非線性關係呀，比如用copula函數

X,Y通常不獨立，反例就是正如一些答主寫到的Y=X^2.

但是也有一些例外，例如X,Y如果是joint normal distribution, 那麼Cov(X,Y)就意味著X,Y獨立.

要想要通過Cov來檢驗X,Y是否獨立，必須驗證 Cov(X^r,Y^s)=0, for all r,s&>0. Cov(X,Y)=0顯然只是之前情況的一種。

不相關不是獨立的充要條件。翻翻最基本的概率書就是了，沒必要問

如果random vector (X, Y) 服從 elliptical distribution，則independent &<=&> uncorrelated。