一個連續函數的問題？

謝邀。

粗略想了一下，應該跟函數本身關係很大。

就是說如果兩個點取值相同，問這兩個點的間距可以取什麼樣的值。

我的想法是把函數的正部負部分割出來，每一個正的部分或者負的部分的最大間隔都不難估計，就是它與x軸相交的那個小區間的長度；但難的地方在於不同的正部和負部怎麼去比較。這些小區間可以有無窮多個的。比如 再做一下擾動，就說不清楚了。。

謝邀：這是一道非常經典的數學分析問題了：設 ，構造函數 ,

如果 取 的時候有一個是零，那麼結果成立了。如果都是正數，那麼

矛盾，類似的都是負數也不行。所以至少有一個 使得 正有一個 使得 是負的，然後根據介值定理，那麼可以得知有一個數 使得 . 值得一提的是，對於任意 至少存在 對數 使得 .而且 剛好是 的整數倍。

或者說，下面的等價結論：如果連續函數滿足 ,必然至少存在 組數 使得 並且 是一個正整數。

我剛剛發現這個問題還有一個瑕疵，那就是如果 怎麼辦？回答是不行，對於任意此類的 ，都可以構造一個連續函數 使得 。

我雖然想畫一下，但是好累，果然萬能的MSE上已經有答案了，老實講，這圖畫得太形象了。

我貼上地址和截圖：

Construct a continuous function $f$ over $[0,1]$ satisfying $f(0) = f(1)$ but $f(x)
eq f(x+a)$

出自zorich的數學分析 第七題