用歐拉公式計算1的次方，結果是否是正確的呢？

01-04

理工科，最近用歐拉公式用的比較多，剛剛睡覺前突然想到了這個問題。
都說1的任意次方都等於1，可是用歐拉公式算的話，結果卻不一樣了。
大概過程如下。
首先歐拉公式

然後對於n次冪
這裡我們不取n為無理數，因為無理數次冪在定義上於有理數有不同。
所以取個n=2/3
這裡這個結果就出問題了。
但是當n為整數的時候，就找不到任何不同的結果了。

對於複數來說，「開n次方」是一個多值函數

你可以推出各種結論，比如 $(e^{2pi i})^frac{1}{4}=i$

但不能跟實數的情況混淆

一些資料：

Exponentiation - Wikipedia

是正確的，就是所謂的單位根。

首先必須理解歐拉公式的背後意義：

其實e^i2π是e^iθ的特別情況。e^iθ簡單來說就是在複數空間逆時針旋轉角度θ，所以2π=360度就是轉一圈=回到原位，所以是1（啥都沒變）。

用n次方的話其實就是轉n個圈。

假設n=1/2，就是逆時針轉半個圈到1的反面，就是-1了。n=3/2與n=1/2有相同結果因為n=3/2隻是轉多了一圈。

如果n=1/4，那就會轉九十度停止虛數線上，所以e^iπ/2=i。

有人指出開方多值性以及原點是支點了，本渣從黎曼面角度形象地來一個

如圖，形象地看，開方的多值性可以理解為z^?是黎曼面映射到複平面的函數。

e^0標在黎曼面的下頁，則繞原點一圈，e^(2πi)跑到了黎曼面的上頁。所以e^0和e^(2πi)開方結果不同。

題主這麼想:實數域里的平方根，實際是有倆值對不？其他答主也說了複數域里這些函數是多值函數。在題主那個例子里，實際上應該考慮-e^(iπ)，就是一了。

答主只從初等數學的角度談一下。

題主犯的錯誤是混淆了「取函數值後開方和函數開方後取函數值」。

記 $[f(x) = {e^{ix}}]$ ，取 $[x = 2pi ]$ 後求3/2次方；和取f(x)的3/2次方得到 $[f(x) = {e^{frac{3}{2}ix}}]$ ，再取 $[x = 2pi ]$ ，顯然結果是不同的。

參考《複變函數》第一章。

別看題主套了歐拉公式，但是題主的問題等價於

為什麼(-1)^2/2=1而(-1)^1=-1

終結？！

------有人不理解我這個意思，居然說我是舉例子--------

我解釋下：根據歐拉公式e^iπ=-1

題主的問題是為什麼

(e^iπ)^6/2=1，而(e^iπ)^3=-1

把e^iπ換成-1之後，是不是和我的問題一毛一樣？？？

因為看到有的答主提到這是平方根和算術平方根的差異，我覺得這些答主沒答到點子上，題主選了一個不怎麼具有代表性的例子，的確，這個例子里可以如此解釋，但是換個例子就不行了。

$(e^{i2pi})^{frac{1}{4}}=i$ ,.在實數域上，1的四次方跟只有1和-1，但擴充到複數域上時，卻有1，i，-1，-i四個值，眾所周知的是，對一個複數進行 $frac{m}{n}$ （既約分數）次冪運算時，共會出現n個值，而進行無理數次冪運算時，值的個數是無數個。

當然有的答主用多值函數的性質和黎曼面或是複變函數的幾何意義來解釋，這些都是很正確很正規的解釋。但是我覺得這並沒有說明清楚為什麼在複數域上 $1^{n} otequiv 1$ （n取任意實數）。首先可以通過本質進行討論，複數域上 $1^{n}=(e^{i2kpi})^{n}=e^{i2knpi}$ （ $nin R$ $kin N$ ），當k=0時，該式的值必為1，那麼易得 $1^{n}$ 的所有值中必有1.。這是第一點。第二點，我們實際計算複數的次冪時，通常把複數a表示成 $a=re^{i heta}$ ，然後再做 $a^n=(re^{i heta})^n=r^n e^{in heta}$ ，注意到，其實整個計算過程分成兩步，第一步是對 $r^n$ 進行實數n次冪的運算。第二步才是對 $e^{i heta}$ 做n次冪的複數運算。 $1^{n} equiv 1$ 在實數域上是成立的，也就是說，第一步的運算秉持的就是 $1^{n} equiv 1$ 的實數運演算法則，複數域上的次冪只不過是實數次冪的拓展而已。