是否存在多個非對易算符的測不準關係？

如果兩個算符x和p,有 , 那麼測不準關係是, 這是教科書公式。 現在的問題是，如果有三個對易關係 , 那麼是否有某種緊湊形式的測不準關係 ?

是有的，不過是熵形式的。

熵形式的不確定關係（Entropic Uncertainty Relation）

假設 和 是兩個投影測量（為簡單起見，假設有限維），其本徵態分別為 和 ，那麼有下面的不等式（Maassen and Uffink, see Ref. [1]）：

其中 表示一個測量的香農熵，定義為 ， 是得到第 個測量結果的概率； 是一個小於等於1的常數，定義為 。相比於Heisenberg-Robertson公式，這個不等式在表徵不確定性的方面有一定的好處，例如不等式左邊只依賴於測量概率而不再依賴於測量值，不等式右邊與被測量的態無關（題主的例子，即位置與動量的不確定性關係也是與被測態無關的，但這是一個特例，如果考慮一般的其它的算符，不等式的右面應該修改成對易子在被測量態下的平均值，再除個2什麼的）。

我一會兒再討論這種不等式與傳統不確定原理之間的關係。首先要指出的是，至少這種熵形式的不等式可以推廣到多個測量的情況。這實際上不是一個簡單的問題，人們花了很長的時間才得到了一些一般的結果，一開始人們只能得到一些對於特定的測量才成立的不等式。下面這個不等式（Liu, Mu and Fan, see Ref. [2]）對於任意的N個測量成立。

其中 是一個挺複雜的、但是與被測量態無關的、小於等於1的常數（表達式就不寫了，寫出來意思也不大～）， 是被測量態的馮諾伊曼熵，雖然這一項與態有關，但是它恆非負，所以實際上加強了不等式。可以證明這個不等式是不平凡的：把兩測量情況下的不等式做線性組合，我們可以比較trivial地得到一些多測量的不等式，這樣簡單得出的不等式不能將上面給出的新結果完全覆蓋。

與傳統不確定性原理之間的關係

我目前可以確定的是，從傳統的不確定性原理出發，我們可以推出一個稍微弱一些的熵形式不確定性關係，稱為Deutsch不等式（把上面的Maassen-Uffink不等式右側的c換為(1+c)/2, see Ref. [3]; 實際上Deutsch是熵形式不確定性關係的最初提出者）。但是我並沒有仔細考慮過從熵形式不確定性關係出發是否也能推出新的、用標準差和對易子表示的不確定性關係。是個有意思的問題我應該想一想～但是現在不太確定～

現在熵形式不確定性關係已經有RMP啦！See Ref. [4]。

參考文獻

[1] H. Maassen and J. B. M. Uffink, Phys. Rev. Lett. 60, 1103 (1988).

[2] S. Liu, L.-Z. Mu, and H. Fan, Phys. Rev. A 91, 042133 (2015).

[3] D. Deutsch, Phys. Rev. Lett. 50, 631 (1983).

[4] P. J. Coles, M. Berta, M. Tomamichel and S. Wehner, Rev. Mod. Phys. 89, 015002 (2017).

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Multi-observable Uncertainty Relations in Product Form of Variances

arXiv:1608.03089