為什麼兩個負數相乘等於一個正數，而不是等於負數？
（我不是題主）補充：一直覺得正和負是世界上最對稱的東西了，但是為啥正正得正，負負不得負？
反對樓上使用分配率的證明.
數系擴充後之前的定義還能不能用得重新定義一下.
根據分配率負負得正 這句話因果倒置.
正是 為了滿足分配率,所以只能選擇負負得正.
你當然可以繼續傲嬌,我就是要負負得負,那好,恭喜你你創立了一門新的代數.
你作為創立者可以給她取名,叫負負得負代數或者根據性質叫 非交換整環代數 .
但是呢............
- 第一這門代數沒啥實際用途,就像每天虧錢但是一年下來卻賺了不少一樣古怪.
- 第二太平凡了,一個整環扔了可交換性後沒啥好研究的了.
- 第三還和推廣前不兼容,一般推廣後都兼容之前的情況,不兼容會被視作錯誤推廣或者不良定義被扔進垃圾桶...
沒用還沒趣...那就已經沒啥活著的意義了...進垃圾桶吧...沒人會選擇這種體系的...
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本質上的話不同的定義決定不同的代數結構,你甚至可以說憑什麼非負即正,負負相乘不是負的也不是正的,而是第三種隨便叫啥的東西.
那也是一種新的代數結構,聽起來很有趣的樣子,說不定哪個宇宙有三種電荷,他們就用這種體系.(聽說SU(2)規範場就能有三種性狀粒子...Amazing!)
所以說數學是一種有著無限可能的學科,萬物由你創造,一切由你定義!
這是由環的公理化定義決定的。要是沒有基礎，這個說起來不是那麼容易，這個涉及代數基本結構。
我們小學學習四則運算是按照一定認知規律進行的，加、減、乘、除，一般是這個順序，這個順序正好對應著代數結構由簡單到複雜的過程。
我們一開始學習加法，這是一個可交換的二元運算（我們記為 ），滿足結合律，有單位元素0，這就構成了一個可交換幺半群的代數結構。
也就是說滿足以下幾條公理的集合就叫做可交換幺半群（封閉性是最基礎的，就不提了）
(1) ；（加法結合律 ）
(2) ；（加法交換律）
(3) 存在一個元素 ，對於任意元素
，都有
；（單位元）
（註：如果只滿足公理1，就叫半群。如果只滿足公理1、3，就叫幺半群。）
具體到算數里的加法，
因此，算數里的加法，其實就是一個可交換幺半群的代數結構。
在此基礎上，如果再引入逆元素，相當於就定義了相反數，於是順理成章地就誘導出加法運算的逆運算——減法。這其實就構成了阿貝爾群的代數結構，除了滿足前面三條公理之外，還要滿足第四個公理：
(4) 對於任意元素 ，都存在一個與之相對應的元素
，使得
具體到算數里，就是相反數定義
（註：如果只滿足公理1、3、4，就叫做群）
以此為基礎，就可用加法和逆元素來定義減法： ，減法是由加法誘導出來的。因此我們可以說，算數加、減法其實就是一個阿貝爾群的代數結構
小學學習了 加減法之後，就要開始學習乘法。這其實是在前面的基礎上再引入一個新的二元運算（我們記為 )，該運算滿足結合律（封閉性是最基礎的，就不提了），(
)合在一起還滿足分配率，這就構成了環的代數結構。因此環除了滿足上述四條公理外，還滿足以下兩條公理：
(5) （乘法結合律）
(6) （右分配律）
（左分配律）
如果對於運算 還滿足交換律，則稱為交換環：
(7) （乘法交換律）
如果交換環還滿足：(8) 對於任意元素都有
（
為
運算的單位元，見公理(3)）
則稱此交換環具有零因子。對應於算數里的
因此我們可以說，算數加、減、乘法其實就構成了具有零因子的交換環的代數結構。
現在我們已經建立了環的代數結構，下面我要開始證明為何負負得正
（利用了公理4）
（零因子定義(8)）
（利用了公理6）
（等式兩邊加
並利用公理4）
記以上等式為等式1，此等式其實就是在說正負得負
再繼續
所以 （利用了公理6）
又因為等式1，所以
等式兩邊同時加 得到
（利用了公理4）
於是證明了負負得正。
從證明中可看出，公理3、公理4、公理6，以及零因子存在這四個因素共同作用造成的負負得正，正負得負
補充：如果對於 運算，非零元還存在逆元素，相當於定義了倒數，由此可誘導出乘法的逆運算——除法。這就構成了域的代數結構。
我們可以說，算數中能進行加、減、乘、除四則運算就構成了域的代數結構
對於小學初中學過的各種數集，諸如正數、負數、整數、小數、有理數、無理數、實數、虛數、複數之類，只有有理數、實數、複數才能構成域。（正數對減法不封閉，整數對除法不封閉）
正正得正，正負得負，負正得負，負負得__
好的，現在我們看到，四個乘法的結果，現在是一個正數，兩個負數，負數比正數多一個。
為了你要的對稱，所以最後一個應該是____。
2×3＝連加3個2。(－2)×(－3)＝連減3個(－2)。
不對稱么？
大學時的畢業論文恰好可以來回答這個問題。其基本思想是，負數跟複數，都有2義性，既可以是矢量，也可以是變換，但只有滿足一定條件的變換才具有這種二義性。
從變換的角度，負數表示逆變換，或者逆時針旋轉90度的變換，連續2次，自然變為正的變換。
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數這個概念從來就不是一個有固定內涵的東西。最開始的數，指的純粹就是自然數，幾個蘋果，幾個梨什麼的。後來有個叫做比例的東西也被加到了數這個概念里，這才有了有理數。再後來，希臘的畢達哥拉斯認為有理數可以用來表示所有的長度，直到後來希勃索斯說有的長度不能用有理數來表示。
但是這沒關係，數作為一個概念，什麼東西都可以往裡放的。所以，長度又給放到了數這個概念里。
負數是把逆變換放到了數里。
複數是把旋轉變換放到了數里。
所以，把負數當成一個對象（譬如一個矢量），很難理解負負得正的。但是如果把負數當成逆變換，2次取逆，自然是正。再或者把負數相乘當成一個逆變換跟一個反向矢量，自然會把反向矢量變為正向的。
這裡的問題在於，不是所有變換都可以這麼處理的。我大學時試過把對稱變換也放到數里，結果在脫離物理學的情況下，意外地推導出了相對論，劇情感覺很狗血，本來是玩弄數這個概念的，結果把物理學給推導出來了。
。。。雙重否定等於肯定。。。
你想要正正得正，負負得負，那你可以做加法運算。世間萬物並不一定是完美的，我們一直在追求完美而已。我們研究任何事物都希望它能符合我們的美感:定義一個質量，找到質量守恆;定義一個能量，找到能量守恆;定義一個動量，找到動量守恆......我們希望的是它能守恆，這樣符合我們的意願，也是我們研究的動力。但是，事實上這些東西真的守恆嗎？世界真的是如此美妙的么？比如行星的運行軌道，我們曾希望它是個完美的圓形，後來又希望它是完美的橢圓，然而事實卻不盡人意。美感要建立在正確性的基礎上，才是根本。
這個問題我用純數學的知識跟你講可能你也不是很明白。這涉及很多方面。
善於思考是好的，但是我個人認為簡要來說這個還是前人給的統一定義。就像1+1為什麼＝2不是3？數字排序為什麼是123456789？通俗地說，就是因為正負關於加法的對稱決定了兩者在同時考慮加法和乘法並不對稱。只要我們希望定義出的乘法有且僅有一個單位元，且這個單位元又不能是零，它就必須落在正負的某一側，而不是另一側。我們不過恰好把單位元所在的那一側稱作[正]而已。
1乘以-1相當於向後轉一次，再乘以-1就相當於向後轉兩次，也就是轉回來了。
你想要策梅洛的做法還是環的做法……
我小時候是這樣想的，兩個好人在一起自然只剩下好人(正的)，兩個壞人在一起就互相打，最後兩個人都死了就不剩壞人了(也就是正的)，一個壞人一個好人在一起好人被壞人打死了，就只剩壞人(也就是負的)
這僅僅是在一維實數集上的一個運算符（乘號）的定義。題主可以跳出實數域，去思考一般性的集合論。
因為正和負不對稱
如果是對稱的話，正數乘以負數就應該等於0，然而事實卻偏向了負數，所以負數相乘應該平衡成正數
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