有哪些適合給物理系學生看的數學書？

01-04

阿諾爾德的書都還不錯，這也和他的理念有關。

比如《經典力學的數學方法》。一些人覺著這不算數學書，可它好歹是GTM系列，而且對大多數學物理的人來說，裡面的大部分數學一輩子也用不到。不過它也不是傳統意義上的數學書——如果沒有一定的數學基礎知識，並不能看得明白。比如，要是不知道流形是什麼，看了他講的流形也不會清楚；要是線性代數基礎不牢固，那也不能指望什麼。

這本書的意義大概是，從數學的觀點看待經典力學的理論，並且讓大家看到怎樣用數學分析和處理（力學）問題。書中有大量略去的細節和問題留給讀者思考，這種風格是相當好的；當然伴隨而來的問題是，基礎不牢或者不愛思考就看不太明白。

有較好的數學分析和線性代數基礎就可以學習。前一半（哈密頓力學之前）可以配合阿諾爾德的《常微分方程》看，兩本書互有交叉；後一半會一點幾何就可以看，當然「會一點」究竟是會多少，以及「幾何」究竟包含哪些內容，就仁者見仁智者見智了。附錄需要更高的數學要求，但也正是此書與其它書的區別所在。

至於阿諾爾德其它較為簡單的書，《常微分方程》《常微分方程續論》《偏微分方程》這些都始終把物理的問題和例子作為重要的部分。

看他的書最深的感受就是，什麼東西都能扯到一起來考慮。。

2016.4.11更新

給物理學家看的群論：

A. Zee-Group Theory for Physicist in a Nutshell

Tinkhan-An Introduction to Tensors and Group Theory

（電子書的話，提供一個我們這邊物理系學生經常用的戰鬥民族製作的電子書下載網gen.lib.rus.ec）

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原答案：2015.12.25推薦幾個在導師和同學推薦下我下載過的給物理學家的數學書/比較簡明的數學書：

抽象代數：

物理向：

Cornwell--Group theory in Physics: An Introduction

Tinkham--Group Theory and Quantum Mechanics

Greiner, Müller--Quantum Mechanics: Symmetries

數學向（但不難，應該是本科難度）：

Gallian--Contemporary Abstract Algebra

Artin--Algebra

Hall--Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction

拓撲：

物理向：

Nakahara--Geometry, Topology and Physics

Frankel--The Geometry of Physics: An Introduction

數學向（本科難度）：

Crossley--Essential Topology

數學物理方法：

Boas--Mathematical Methods in the Physical Sciences

Arfken--Mathematical Methods for Physicists

Stone, Goldbart--Mathemetics for Physics(這本應該是最新的研究生教材，但包含本科）

我覺得數學分析和線性代數級別的書，包括Rudin, Zorich, Spivak乃至陶哲軒等都可以讀讀。再往上我也讀的不多，基本按興趣來。實際上如果你對數學感興趣，任何一本數學書都可以拿來讀。但針對物理系學生的普遍需求，除了高票答案提到的阿諾爾德，我覺得不錯的有下面幾本：

柯爾莫戈羅夫的《函數論與泛函分析初步》，書如其名，可以作為讀ReedSimon那套紅皮書的基礎知識參考。

John Milnor的小冊子topology from the differentiable point of view, 寫得簡潔而精巧，很有數學味。

GTM73 (Hungerford)，大概是最簡單的一本GTM。這本書的知識在物理中用上的不算多，但代數學本身是很有趣的一門學科。而且如果你想讀GTM52，這本書提供了基本的知識儲備，包括交換環的基本內容到Galois理論等等。

Cox, Little和O"Shea的ideals, varieties and algorithms，這是我讀過的第一本關於代數幾何的數學書，很好讀也很實用，同時參考Shafarevich第一卷效果更佳。

其它數學物理、或者寫給物理學家的數學書就不說了。

謝邀。不知道題主更喜歡數學向的還是物理向的書，我大概總結一下最基礎的物理向數學書。

微積分，數分

Calculus (Spivak) 嚴肅的微積分入門。

Understanding Analysis(Abbott) 雖然不如rudin等書全面，但是可讀性更強，在一維實分析上不可多得的好書。

Div, Grad and Curl 學習電動力學的基礎。

線性代數

Linear Algebra Done Right可以說是講解最清晰的線代書。

微分方程

Elementary Differential Equations{Boyce)全面的常微分方程入門，其中用級數解微分方程解釋的很詳細。

Partial Differential Equations for Scientists and Engineers(Dover Books)滲透了很多熱學和力學方面的實例，雖然習題有少量錯誤，瑕不掩瑜。

複變函數

Complex Analysis(Bak)十分簡潔的複分析入門，最喜歡關於共形映射和第一臨界問題部分。

數理方法

Mathematical Methods in the Physical Sciences(Boas) 本科教材

Mathematical Methods for Physicists(Arfken) 研究生教材

兩本書都有大量的數理方法與物理例子的結合。

張量分析

Tensors, Differential Forms, And Variational Principles(David Lovelock)學習GR前的必讀書籍。

群論及表示論

An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists(Nadir Jeevanjee)張量分析和群表示論往往是對物理學生極為重要但又很難在學校中接受系統培訓的內容。這本書很好的覆蓋了兩點，並與量子物理圖像進行極佳的結合。

Lie Algebra in Particle Physics這本是我們場論的老師著重推薦的李群的書，對口粒子和高能物理

《數理物理基礎》

彭桓武，徐錫申

Peter Szekeres&

柯朗，希爾伯特《數學物理方法》，柯朗《微積分》，梁昆淼《數學物理方法》，王竹溪《特殊函數概論》

Boas或Arfken

我個人把需要的數學書分成三階：

一、基礎篇（基礎數學+必要數學工具基礎）：

1. basic training in mathematics by Shankar

2.微積分書籍：Advanced Calculus by Loomis Sternberg

3. 線代：Linear Algebra by FriedBerg

4. 微分方程：elementary differential equations by William Boyce Richard Diprima。（太多，建議挑著讀一些）

5.復變：Complex Variable Appliations by Churchill Brown

二、進階篇（高級數學工具）

1. 微分幾何和張量分析：

The Geometry of physics：An introduction，by Theodore Frankel

2. 偏微分方程：Partial Differential Equations：An introduction

3. 概率：A first course in probability by Sheldon Ross

4.抽代：Abstract Algrbra by Dommit Foote

5.實分析：Introduction of Analysis by Rosenlicht

6.拓撲：Set Theory and metric spaces by Kaplansky

三終極篇（數學工具組合+完善）

1. 統論 mathematics for physics —a guided tour for graduate students by Goldbart

2. 微分幾何：Gravitation by Misner Thorne wheeler （只看chapter 3，4，8-14）

3. 泛函分析：Functional Analysis by Rudin

4.分析數學：principles of mathematical analysis by Rudin 和 Real and Complex Analysis by Rudin。（這個不必須，蠻難的）

5. 偏微分補充：Equations of Mathematical physics by V.S.Vladimirov

建議題主參考自己情況來讀這些書。個人認為第二部分最重要，第三部分應該是研究生後需要讀的書吧。

如果知友有別的推薦，歡迎各位補充

利布《分析學》

首推梁燦彬先生的微分幾何與廣相，附錄A～J精要的介紹了絕大多數的物理用數學概念和簡單應用。其次推王竹溪先生的特殊函數概論，全面以備學習查閱。最後如果想要深入研究數學的話，蘇聯教材選譯的變分法原理，微分幾何與拓撲學簡明教程，複變函數論（很多例子是作者的流體力學研究成果，強推），微積分學教程，抽象代數；黃克智先生的張量分析；陳省身先生的微分幾何值得一看。

Nadir Jeevanjee 寫的 An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists.

《物理學家用到的張量和群論導論》

對分析的要求不高，我感覺每一部分後面提供的「applications to classical and quantum mechanics」寫得很好。都是以物理的觀點闡述這些理論在理論物理中的應用。群論中對於Lie Group, SU(2)，SO(3)，Lorentz Group的講解易於理解而且很實用，尤其在量子場論中。

高代，實函，離散，程序設計與計算方法，群論，積分變換與微分方程，微擾，小波。搭配學校教的數學，一般常用的數學方法就沒問題了。

Nakahara/特殊函數概論

學物理的人，數學上可以不那麼嚴密，但是幾何直覺和解方程做積分的基本功必須要紮實。

Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations

《古今數學思想》聽起來像是介紹數學史的一本書，如果這樣想，不妨讀一下，可能你會發現它是介紹自然科學發展的一本書，畢竟很多學科的發展離不開數學，包括物理。書中提到光學，提到引力，提到微積分，提到牛頓，提到開普勒。如果你想了解一門學科未來的走勢，那麼最好了解它的前世今生。這本書你可以理解為帶有鮮明數學思想色彩的理學讀本。

這本書帶有一些科普性質，如果你想學習一些思維方法，可以看一下數學物理方程谷超豪版（據說你們開數學物理方法），我學的時候很不理解方程建立時所用的物理原理QAQ…現在也不是很明白…還有微積分，常微分方程了解原理和解題方法，畢竟數學是物理學最重要的工具……

另外，《古今數學思想》最好讀英文版。

我覺得還是得看你喜歡啥，數學那麼美好，為什麼不多學學呢？

微積分：隨便過過就好了，不是很難，大家自己學校自己出的高數大概都夠用。

線性代數：大概是成為一個正常的理科生的入門課，至少要學會基本的抽象，比如矢量空間、線性映射什麼的，但是作為搞物理的你得會算呀，不然到時候量子力學考試遇到要算4階矩陣的本徵值結果行列式都算得不怎麼利索就不行了（我室友量子力學考試的時候4階行列式忘掉怎麼算了，拿高中學的交叉的那個三階方法去算了 - -）

數理方法：啊，複分析可以找那本薄薄的沙巴特的複分析導論，正常人都喜歡薄書。常微分，可以看arnold，拿到先翻翻哪一頁有貓頭。偏微分什麼的，evans這樣有名的書總歸要看看吧。後面的坑太大了，別讀物理了。

抽象代數：學著挺有趣的，就是別太在意點科技樹。了解一些群啊、環啊、模啊、域啊的定義和基礎知識就好。點多了也是深坑，早點抽身才是，這就是個預告片。

實分析、泛函：積分理論、簡單的線性運算元理論什麼的不知道有點文盲，rudin就挺好，適合入門，因為薄。儘管量子力學人家經常胡來，但咱們不慫。。。。好吧，還是挺慫的。

微分幾何：隨便找本講流形的，這個一大堆一大堆，然後再看看比如de carmo的黎曼幾何，挺薄的。這東西得手熟，拿來算算東西肯定有新的體驗。不介意記號的話，聽說梁老師也不錯，反正我看不下去。幾何還有分析什麼的，後面的坑太大了，別讀物理了。

李群和表示論：GTM225，拿來入門前三部分的就挺好。Lie群的表示論，簡單的看看比如GTM 222就好了吧，反正我啥都不懂。讀了至少量子力學角動量那塊不會太痛苦，比如weinberg第一卷第二章也可以開始剛一剛了，雖然人家上來的表示和你熟知的可能不大一樣。

代數拓撲：入門大家會都說hatcher，我沒什麼好說的，就是稍嫌厚了一些。做題的你會發現沒幾個例子是自己能算清楚的。但我們讀物理的，算不利索就別讀物理了。

交換代數：做atiyahmacdonald的習題是很好的殺時間的方式，如果發現殺不了多少時間，那大概可能是我傻，因為回頭看自己怎麼做出來的我也經常覺得自己很傻。對了，這書很薄。愉悅。