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物理學量子物理量子理論

為什麼波函數的傅里葉展開就是動量的概率幅，而不是動量的其他函數？

01-04

在量子力學中，坐標空間的傅里變換就是動量空間，那是因為有一個exp(-ip·r)變換核，所以才將r空間變換為p的空間。但是為何波函數（以r為自變數的位置概率幅）經過F變換後就一定是p的概率幅而不是p的其他函數，或者說變換後的這個函數一定能表示粒子的動量分布嗎？本人非物理學專業學生，只是現在想學點量子力學，所以如果有表述錯誤的地方還請指正，謝謝。

這個問題用狄拉克符號來寫非常清晰，量子力學的很多問題用狄拉克符號寫都非常清晰簡潔。

只寫一維情況

量子力學中，量子態由一個態矢量 $|psi>$ 來描述，坐標表象下的波函數就是這個態矢量在坐標表象基矢上的分量 $psi(x)=<x|psi>$

同樣的，動量表象下的波函數就是這個態矢量在動量表象基矢上的分量 $ar{psi}(p)=<P>$

。

無論是坐標空間還是動量空間的基矢都是完備的

$int dx |x><x|=1$

$int dp |p><P></P><P>其中1是恆等算符；</P></P><P>由</P></p> <p><center> <script src=$

$ar{psi}(p)=<P>$

在p和 $psi$ 中間插入恆等算符：

$ar{psi}(p)=<P>=int dx <P><x|psi>$

注意到

$<x|psi>=psi(x)$

$<P>=(<x|p>)^dag=frac{1}{sqrt{2 pi hbar}}Exp(-ifrac{px}{hbar})$

其中 $<x|p>$ 是坐標表象下的動量算符 $frac{hbar}{i}frac{d}{dx}$ 的本徵函數

由本徵方程解得：

$frac{hbar}{i}frac{d}{dx}P(x)=pP(x)$

$<x|p>=frac{1}{sqrt{2 pi hbar}}Exp(ifrac{px}{hbar})$

就得到了動量空間的波函數和坐標空間的波函數互為傅里葉變換

$ar{psi}(p)=frac{1}{sqrt{2 pi hbar}}int dxExp(-ifrac{px}{hbar})psi(x)$

可以認為是動量的定義

不考慮連續譜的數學嚴密性，傅立葉變換是一個幺正變換，實空間的波函數與動量空間的波函數實際分別對應著坐標表象和動量表象中量子態投影到相應基矢上的係數，傅立葉變換這一幺正變換就是這兩個表象之間的變換，根據量子力學的幾率解釋，這個問題就很顯然了

可以從帕塞瓦爾定理保證歸一化的角度考慮

按我們老師的說法，傅立葉變換是一種求和，物理意義上可以解釋為，複雜運動是由很多個簡單運動疊加而成。由動量本徵函數的正交歸一完備系性質可以將其做一個求和。結果正好為傅立葉變換的形式。

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