如何理解內積空間？

01-04

最近在看線性代數，看到內積空間這塊有點不理解。
「內積空間是帶有內積的向量空間V」，書上的定義是這樣的。
我的疑問在於，「帶有內積」的「帶有」具體是什麼意思？
相對的，關於向量空間的定義「向量空間是帶有加法和標量乘法的集合V」這個概念就很好理解，因為加法和標量乘法的定義里包含了封閉性，也就是說向量空間定義里的「帶有」可以理解為向量空間在加法與標量乘法上是封閉的。但是相對而言，內積的定義里並沒有相似的定義，所以我有些疑惑一個向量空間怎樣才能算是「帶有內積運算」。

另外，加法運算和標量乘法運算是確定的，而內積卻可以有很多形式，是需要定義的，比如實數空間上就可以定義歐幾里得內積或者是非歐幾里得內積等。那麼是否意味著，只要能夠找到一個符合條件的內積，便可以判定是否內積空間？
其實我感覺我沒弄明白的一個很大問題在於書上只舉了內積空間的例子，卻沒有舉出內積空間的反例，所以諸位能否舉出一個不是內積空間的向量空間的例子呢？

每個有限維向量空間都可以人為構造一個內積使之成為一個內積空間。

類似的，每個集合都可以人為構造一個運算規則使之成為一個群。每個集合都可以配備上一個良序。每個有限維微分流形上都可以容許一個仿射聯絡，甚至一個黎曼度量。

但是！我們並不會指著每一個有限維向量空間說它是內積空間，正如我們不會指著每一個集合說它是一個群，不會指著每一個流形說，嘿，好傢夥，黎曼流形。

如果我沒有理解錯題意，問題大概出在，沒有理解[可***化的對象]和[***的對象]有什麼區別。如，可賦予內積的向量空間和內積空間有什麼區別，可賦范的向量空間和賦范向量空間有什麼區別，可度量化的拓撲空間和度量空間有什麼區別，有向流形(orientable)和定向(oriented)流形有什麼區別。

下面是[私以為]的時間，籠統的說，私以為，它們的區別在於[選取]。

下面把等價的範疇視為相同，我們考慮A,B兩個範疇，它們的對象類一樣(總感覺沒說清楚), 但A的箭頭類是B的真子類。從直觀上感受到，箭頭越少，非同構的對象越多，我們就把對象區分的越細。這裡，我們可以把A中的對象看作[***的對象](如A取有限維內積空間),而把B中的對象稱為[可***化的對象](如B取有限維向量空間)。一旦我們選定了B中對象的結構(內積結構)，其對象間的箭頭就不那麼隨意了(不僅要保持向量空間結構，如常; 還要保持內積結構，額外地)，即箭頭要保持更精緻的結構，於是更少了，從而變成了A.

當然可能有的B永遠無法變成A(如B取拓撲空間,A取度量空間，永遠存在不可度量化的拓撲空間，如無限維巴拿赫空間的弱拓撲),這是不可***化的例子了。

可不可***化於是也就是是否存在滿的從A到B的忘卻函子了。

就是有內積定義。有限維的線性空間都可以定義內積，因為有限維的線性空間都跟歐式空間同構，任取一組基底作為正交基底就行了。無限維是不是都能定義內積我不太清楚。

有沒有這件事其實不取決於能不能定義，而是取決於我們定義了沒有。

內積空間好處大大的。一個通俗的例子，有內積我們就可以定義垂直了。證明裡垂直的用處你不會不理解的。

內積空間比向量空間多一種運算，就會多很多數學工具。

同一個向量空間可能有不止一種定義內積的方式，相應的內積空間是不同的。就像同一個拓撲空間可以有不同的定義距離的方式，相應的度量空間也是不同的。

就算你要定義不同的內積，也要按照基本法。

一個內積空間通常用(V,Q(x,y))表示，其中Q是向量空間V上的一個正定的雙線性型。嚴格的說(V,Q(x,y))才能被稱作一個內積空間，而V不是。所以任何一個向量空間在你沒有定義內積的時候都不能被稱作內積空間…

本科的線性代數的書講不透內積空間，你需要去圖書館找本矩陣理論看看，半小時可以搞懂。

要注意的是，所指的向量不僅僅是數組向量，而是更抽象的向量，包括多項式、矩陣，都可以被稱為向量。

1、x,y向量（不一定是數組向量）來源於實數域R上的線性空間V；

2、這些向量滿足一個運演算法則，記作(x,y)；

3、這個法則的輸出結果是唯一對應的一個實數（標量）；

4、並且這個法則滿足了四個條件（比如(x,y)=(y,x)；）。

那麼（x,y）是內積。V是定義了這個內積的內積空間。

至於你說的「不是內積空間的向量空間」的問題。

由上所述，內積空間這個概念是依託於內積的，內積存在，這個線性空間就是內積空間。內積具體是什麼樣子的，是人為定義的。所以你這個問題問錯了。

大概就是這些，我在上矩陣理論的課。如有錯誤請海涵。

內積並不是向量空間上的運算 …… 而是向量空間到標量空間的運算

我的理解就是內積空間就是一個特殊的線性空間，在這個線性空間上滿足內積運算的條件。內積運算的條件如下所示

內積運算是可以自己定義的，內積空間是建立在內積條件上的，離開內積條件談內積空間沒有意義

將內積條件就默認假設是向量的點積運算可以方便的理解建立在內積空間上的其它公式。

內積空間的作用感覺就是可以方便地對這個空間裡面的向量使用內積來進行運算

以上答案都說的很清晰了，只能來狗尾續貂一下。

內積空間指的是定義了某種內積運算的向量空間，所以說內積空間的完整稱呼是要帶上所定義的內積的。樓主的疑問來源於將內積空間看成了一個標準類型，從而認為不同的內積定義對應不同的內積空間很疑惑。但其實每一個內積空間就是針對不同的內積而存在的。

至於非內積空間的反例，隨便找一個向量空間，不定義任何內積，他就不是內積空間了，比如無內積定義的Rn或Cn空間。

內積是個變換啊和矩陣一樣唄只不過內積把向量空間里的一組向量映射成了標量

上面說的很對，但是入門不容易理解。內積空間又稱歐幾里得空間，和非歐空間的區別在於第五條公理，平行線沒有交點，非歐幾何是認為這條不成立。因為我們日常生活的空間是線性空間，所以直觀的感受難以理解。

古代人們認為世界是平的，現代人知道世界是球體。平的就是線性空間，滿足內積空間的4個線性條件。球體就是非歐空間，人看到的兩條平行線有交點，比如經度，這就像XoY平面，兩條直線x=1和x=2居然有了交點。又比如，我們作為只能看到地表面的人，外星人眼中的球面就是我們眼中的平面，這個「平面」顯然不滿足(v,u+w)=(v,u)+(v,w)，只能是一種誤差非常小的近似，這個畫一下投影圖，投影在地軸方向就知道了，兩段相等弧長的增加，並不導致地軸投影等距增加，這就是非線性。

數學是對物質世界的抽象，它作為人類的認知，來源於我們的生活，從生活中來理解數學是比較容易的辦法。同時，這也說明數學超越不了人類文明層次的限制，幾千年來，數學好的國家都是強國，這是相輔相成的。