數學中有哪些最複雜的領域或最抽想的領域，複雜或抽象到什麼程度？

01-04

範疇論

曾經聽到一種說法，數學發展至今經過了三層抽象。

第一層：從實際生活中抽象出了數、平面幾何等概念。

第二層：數學家們覺得上述概念是在太具體了，因此將其進一步抽象：

數-&>群環域

曲線曲面-&>拓撲空間，流形

多維的數組-&>向量空間，希爾伯特空間

第三層：數學家們又覺得上述概念太過於具體了。因為一是在研究各種概念時發現了很多相似的性質，如線性空間之間存在線性映射，微分流形之間存在光滑映射。二是隨著深入的研究發現各個概念已無法單獨的考慮了，必須考慮他們之間的關係，如研究代數拓撲不可能只研究拓撲空間，還必須研究拓撲空間所導出的一些群，這就是同倫同調上同調。範疇學就是考慮所有這些不同概念之間的聯繫，隨著羅爾騰迪克的代數幾何中的大量應用得到了空前的發展。現在又有了高維範疇等進一步抽象，抽象程度已經到了令人髮指的程度！當然，其威力也是巨大的，一個範疇學中的定理可以在截然不同的數學領域中得到應用，只需在後面加一句by abstract nonsense就行了。

當然，現在範疇學也有很應用的研究領域，比如計算機方面。

不懂什麼叫「複雜抽象」，很多研究都是順藤摸瓜水到渠成的，往往我覺得複雜只是因為我看的不夠深入。費馬大定理的初始證明有問題，進而牽引出了「理想」「唯一分解」的概念；而後不少研究分支的提出都是為了攻克這一難題，最後的證明更是費馬當年難以想像的。

好比爬山，我望著山頂說卧槽怎麼這麼高，其實走走也就上去了。

可計算性理論研究一個問題是否可以計算，或者在什麼附加條件下可以計算。證明論則是直接上去研究證明數學命題的各種方法。在個人心目中，各種命題的集合完爆一切空間。

不來欣賞一下這座無窮之塔么，與之相似的塔還有這個和這個。還有這座阿姆斯特朗式迴旋無窮螺旋塔，而且裡面只畫到了 $omega^omega$ ，意味著還有 $omega^{omega^omega}$ 等等。

What is the most abstract field of mathematics?

加血.高票答案是範疇論和代數幾何 ,肯定了前面幾位的回答

個人覺著代數幾何中的層論，概型，各種上同調算是很抽象的了，至於 M-theory, motif 完全不知道這個是啥