如何理解banach tarski悖論？

01-04

雖然叫做悖論, 但其實是嚴格符合邏輯的, 這裡的邏輯指的是集合論公理體系.

一個三維或者更高維球面或者球體存在一個分割, 使得經過一些旋轉和平移操作後我們可以得到兩個不相交的球面或者球體.

這個悖論(或者定理) 說明了, 不是所有的集合都是勒貝格可測集... 因為勒貝格可測集的測度是旋轉和平移不變的, 但是球體的測度是正的, 就是球的體積不是0, 如果所有子集都可測, 那麼對球體的(有限)劃分, 每一個子集做平移旋轉之後的測度是不變的, 所以無論怎樣我們不能得到兩個球體的集合,

說明一下, Banach-Tarski Paradox 的根本原因是群 SO(3)的一個特殊性質, 我們首先可以知道 SO(3)群是一個不可交換群, 但是 SO(2)和SO(1) 都是可交換群, 但是 SO(3) 不僅僅是一個不可交換群, 它還有特殊的子群, 叫做自由群(free group), 並且這個自由群的生成元素(generator) 可以是2, 3...或者可數個, 數目什麼的不重要。

我們取有兩個生成元素的自由群, &, 額, 先說一下自由群的含義,

F{X}(一個包含X的群) 是一個基於集合 X 的自由群, 那麼對於任何一個群 G, 對於任何一個 X--&>G 的函數 h, 總能找到一個 $phi_h$ 是一個從 F{X} --&> G 的一個群同構(group homomorphism), 使得, h= $phi_h$ 。 $iota$ , $iota$ 是從 X --&> F{X} 的單射, 然後 F{X} 被定義為滿足上述條件的最小群, 存在性由Zorn『 Lemma 保證, 但是最小群並不是唯一存在的, 但是沒有關係, 所有的最小群都是同構的。

從上述敘述中, 我們可以直接構造基於任何集合的自由群, 對於現在的情況, 一個基於兩個元素的自由群的含義就是:

&(源)={所有含有 $a,b,a^{-1},b^{-1}$ 的有限長度字元串} , 這裡面的 a^{-1} 和 b^{-1} 只是另一種符號罷了, 定義 1=空字元串, 群運算=字元串連接(就是把兩個字元串連在一起變成一個字元串比如 abaaabbbxbbbaba=abaaabbbbbaba), 如果字元串中含有比如說 ( $aa^{-1}$ ) 就把兩個字元刪去,

然後,

&={所有能刪去的字元都刪去的有限長度字元串}, 上面定義的群運算的確是一個群運算, &現在是一個群, 滿足自由群的定義.

這個基於2個生成元的自由群有一個很給力的性質,

考慮：

F(a)={所有能刪去的字元都刪去的有限長度字元串, 字元串不是空的, 字元串第一個字元是 a};

F(b)={所有能刪去的字元都刪去的有限長度字元串, 字元串不是空的, 字元串第一個字元是 b};

F(a")={所有能刪去的字元都刪去的有限長度字元串, 字元串不是空的, 字元串第一個字元是 a"};

F(b")={所有能刪去的字元都刪去的有限長度字元串, 字元串不是空的, 字元串第一個字元是 b"};

I={k空字元串};

a",b" 表示 $a^{-1},b^{-1}$ 懶得總用那個不給力的公式編輯器了

上面5個集合是相互沒有交集的, 而且它們的並集是 &

然後我們給力的發現,

a(F(b)+F(b")+I)=&

b(F(a)+F(a")+I)=&

+ 表示集合的並集.

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回到 SO(3), 存在a,b 是 SO(3) 的元素, 使得 & 是SO(3) 的子群. 這個性質是一個不是很容易證明的性質. 但是 SO(2) 是一個可交換群, 意味著所有的子群都是可交換群, 意味著所有的子群都不是自由群, 所以對於 SO(2) 上面的討論是沒用的.

三維的球面是一個集合, SO(3) 可以作用在這個集合上, 就是我們理解的旋轉, & 子群就也可以作用在這個集合上, 考慮一個等價關係, 如果 x,y 是球面的點, x,y 等價意味著存在一個元素 g 在 & 里使得 x=g(y), 這裡面 g(y) 表示 y 經過由g定義的一些列旋轉之後的球上的點. 可以看出來, 這是一個等價關係, 也就是說, 這個等價關係規定了球面的一個劃分, 由選擇公理, 從每一個劃分的子集裡面選一個元素, 這些元素組成集合 E

考慮下面的子集

(a)=F(a)E

(b)=F(b)E

(a")=F(a")E

(b")=F(b")E

這五個子集的並集是整個球面,

這五個子集是沒有交集的

然後我們這些子集做一個修改,

把 E 集合併到 (a) 裡面構成一個新的(a)

然後觀察 a( (a") ) ,這個集合 = (a")+(b)+(b") , 然後併入 (a) 得到一個球面

然後觀察 b( (b") ) , 這個集合= (b")+(a)+(a") , 然後併入 (b) 得到一個球面

所以我們把一個球面分成了 4 份, 互不相交, 其中兩份可以旋轉, 就是 (a") 通過 a 旋轉, (b") 通過b 旋轉,

到這裡, 我們已經可以得到兩個球面了, 如果你想要得到兩個不相交的球面的話在經過一些平移操作就行了,

到這裡, 如果你想得到球體的話, 那就對球體分割成球面, 每個球面都可以有上述分割, 由於旋轉操作實際上跟半徑什麼的不相關, 上述操作後可以得到兩個球體.

到這裡, 我們可以找到生成元更多的SO(3)的自由子集, 經過相似的操作之後我們可以得到更多的球面, 或者球體.

到這裡, 我們可以找到 SO(n) n&>2 群的自由子群, 上述操作可以得到 n維 n大於二球面或者球體的分割使得經過一些旋轉之後得到多個球面或者球體.

說太嚴謹抽象就沒意思了，因為我們本來好奇的也是怎樣直觀理解…為此我本科畢業論文作死地自選題搞這個定理的「理解回顧」，答辯時被老師批「有什麼用」和「沒什麼新東西」以及「只不過是概述性工作」，於是一臉黑線-_-||

不過沒關係，我可以直觀地講一講了。對於該定理，我們好奇的無非是這樣幾個問題：

1、怎麼割？

2、旋轉平移的那五塊長什麼樣子？

3、那多出來的一個球從哪裡來？異次元么？

(建議大家不要太嚴肅，因為我本來的目的也不是要嚴謹地過證明，所以簡練地給出直觀的回答)

如果看過那個VSauce著名的科普視頻，那麼應當可以理解，一球變兩球，和一球面變兩球面，之間的差別只是很簡單的一個到球心連線的對應，所以我們以球面版的悖論來討論，稍微改一下這幾個問題：

1、怎麼割？

2、旋轉平移的那幾塊長什麼樣子？

3、多出來的一個球面從哪裡來？異次元么？

那麼對於問題1，

答案是——我們無法分割。但我們「相信」能夠得到這樣的對象…[一臉懵逼.jpg]，幾個意思？？？

好吧，也就是說，沒人知道是怎麼分割成出來的，也就是說，這並非「構造性結論」——能告訴你第一步我們怎麼割、第二步我們怎麼割…最後我們就得到了我們操作的對象——甚至連遞歸構造也不是，而是：「存在性結論」。

「存在性結論」在數學中是一個很神奇的東西。其中有一些，自然可以通過某種方法去「找到」存在的這個點或什麼對象；然而另一些，則無法知曉它到底存在在哪個外太空，甚至於某一個存在性結論，只能關乎信仰，那就是

——選擇公理

它就像上帝，你只能「相信」或「不相信」它，而不能證明它是對的或錯的。

所以因為「選擇公理」，我們可以相信「能夠得到這樣的對象」或不相信「能夠得到這樣的對象」——也就是說，它實際上並不是「割出來」的，而是藉助「神力」變出來的，中間是一個黑匣子。

那麼接下來自然是問題2：那麼這「神力」變出來的對象長什麼樣？

顯然，不會是「一塊塊」的，因為我們都知道，一塊塊的對象就是我們現實中能得到的對象啊！沒見過哪個人把一個蘋果切吧切吧，能拼出兩個一樣大的蘋果吧= =

其實這個定理中操作的對象，是「點」。

沒錯，就是那個「既無大小也不佔有任何空間」的「點」。

希望大家到這裡可以問一個問題…沒有大小、沒有面積體積的點，怎麼構成一個球面？甚至一個球體？…

這正是「神力」發揮作用之處= =、

假設有某個「無窮」個點，有了面積(——有沒有《聖經》的感覺…)

好吧，就是這樣。「神力」變出來的對象是「一堆點」，無窮個點，而且是使得能夠跨越從「沒面積、不佔有空間」到「有面積、佔有空間」的鴻溝的「一堆分離開的點」= =…

【嚴謹來說是「不可測」，也就是「說不清是有面積還是沒面積」的一堆東西(什麼鬼)…不過不要在意這些細節了，總之這是超乎我們認知、或類似於相信上帝的一步就對了】

好，那麼最後一個問題，問題3：

我們操作的過程，怎麼讓它「憑空」多出來一個球面？多出來的一個球面，是「哪來的」？

好…讓我們考慮這樣一個問題，有一個人，他有100萬元，現在想把這100萬變成200萬，怎麼辦？(好吧，可能有很多答案…但是為了講這個問題，答案是「借100萬」)

當然了，借100萬，最重要的問題就是「從哪借」「找誰借」，比如說我們可以信用卡「透支」100萬。

實際上，多出來的一個球面或球體，正是類似信用卡「透支」的操作。

拆東牆補西牆，這個球面上「彷彿多出來」的點，是從「無窮」透支、借過來的。

【具體怎麼「借」的，可以看那個科普視頻，講得很清楚；就是「希爾伯特旅館」和「缺一點的圓周補上缺口」這兩部分內容】

※純科普目的，嚴謹性不做保證，歡迎批評探討。

有個非常直觀的視頻，可以看一下：巴拿赫-塔斯基悖論

儘管數學領域任何分支的第一個和最古老的問題都來自經驗，並由外部現象的世界得到啟示；但本質上數學更多地反映人類理性、抽象思維的上限，統計和物理則更多的反應我們對所處世界的理解和認知。

就像有學者爭論，差分與微分，誰更基礎？從數學建立的連續統角度，微分無疑更基礎；但從統計和我們所處量子世界的角度，或許差分更基礎。

上述問答，希望能從宏觀上對分球悖論的理解起到幫助～