伯努利數是如何定義到 x/(e^x-1)的冪級數展開式的係數上的？

01-04

伯努利數是伯努利在做等冪和的時候定義的，之後又是如何被定義到上述的冪級數展開式的呢

通常，大多數這類問題都是有不顯然的原因的，而且關於Bernoulli數在各種不同場合的出現是有非常大量的文獻以及討論的。

下面是一個很知名的heuristic，能夠幾乎完全給題主的問題一個解答。如果你在讀Concrete Mathematics的話跳到9.5章，如果沒在讀這是一個簡單的介紹：

考慮隨便一個什麼函數 $f(x)$ ，我們可以定義一個離散的差分運算元 $Delta$ ：

$(Delta f)(n)=f(n+1)-f(n)$

在離散的狀況下這幾乎就是你能定義的導數，但是不全是.

假如差分運算元有逆運算元，就只能是求和 $(Sigma f)(n) = sum_{k=m}^{n-1}f(k)$ ，這樣一來我們就有：

$(SigmaDelta f)(n) = sum_{k=m}^{n-1}Delta f(k)=f(m+1)-f(m)+ldots+f(n)-f(n-1)=f(n)-f(m)$

這個 $f(m)$ 有點煩人，就當作m不變好了，就像變上限積分一樣把它當作常數.

所以，用比較瘋狂的寫法，我們可以認為 $Sigma Delta=1$ ，也就是說 $Sigma = frac{1}{Delta}$ 。用中文說，意思就是求和是插分的逆運算。下面我們就來換個角度看這個「逆」 $frac{1}{Delta}$ 的問題：

泰勒公式告訴我們， $f(n+1)=sum_{k=0}^infty frac{f^{(k)}(n)}{k!}$ ，這當然通常是錯的，但是我們只是在進行heuristic，所以並不重要。這個公式是說，如果我們把導數運算元寫成 $(Df)(x)=f$ ，泰勒公式就讓我們相信， $f(n+1)=sum_{k=0}^infty frac{D^k f}{k!}(n)=e^D f(n)$ .

可是這有什麼用呢？把這個奇怪的 $f(n+1)=e^Df (n)$ 帶入到插分的定義中，我們可以看到 $Delta f (n)= (e^D-1) f(n)$ , 也就是說 $Delta = e^D-1$ ，這也就告訴我們

$frac{1}{Delta}=frac{1}{D}cdotfrac{D}{e^D-1}$

看到那個熟悉的Bernoulli數的生成函數了吧？在這個背景下，題主好奇的 $frac{x}{e^x-1}$ 幾乎給出了差分運算元的逆。

用Bernoulli數作為係數展開：

$frac{1}{Delta}=frac{1}{D}sum_{k=0}^infty B_k frac{D^k}{k!}=frac{1}{D}+sum_{k=1}^infty B_k frac{D^{k-1}}{k!}$

這個結論是什麼意思呢？我們把 $frac{1}{Delta} f(n)=[frac{1}{D}+sum_{k=1}^infty B_k frac{D^{k-1}}{k!}]f(n)$ 的具體形式寫下來看：

$sum_{l=m}^{n-1}f(l)=int_m^n f(x)dx+sum_{k=1}^infty B_k frac{f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)}{k!}$

嘿！這看上去是個非常好的公式，雖然不知道對不對。

那麼我們用個例子看看這個公式對不對：

$sum_{l=1}^{n-1}l=int_1^n xdx+ B_1(n-1)=frac{1}{2}(n^2-1)-frac{1}{2}(n-1)=frac{1}{2}n(n-1)$

好像還不錯。

但是很遺憾，很多情況下（除了多項式，也許？），第二個無窮和不收斂，所以這個公式不太對。參見Concrete Mathematics p457。不過，我們計算出來的形式恰好是Euler最初得到的形式. 正確的形式稱為Euler-Maclaurin求和公式：

$sum_{l=m}^{n-1}f(l)=int_m^n f(x)dx+sum_{k=1}^pB_k frac{f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)}{k!}+R_p$

那個余項 $R_p$ 中有Bernoulli多項式和我們的函數的p階導數乘積的積分。這個余項是非常重要的。

關於這個公式，如下的鏈接是一個比較不錯的故事書：

Dances between continuous and discrete:
Euler』s summation formula

https://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf

Bernoulli數本身是個非常複雜的話題，它出現在（但不限於）如下的場合：

1. 解析數論里 $zeta$ 函數在正偶數的值

2. von Staudt-Clausen定理以及代數數論里的Kummer"s criterion

3. 矩陣里Campbell-Baker-Hausdorff公式： $log (e^A e^B)$ 的展開，參見http://www.math.harvard.edu/~shlomo/docs/lie_algebras.pdf

4. 正切、餘切函數的泰勒展開

5. 拓撲里的Todd class

6. 某個我不懂的東西：http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-238-geometry-and-quantum-field-theory-fall-2002/lecture-notes/sec5.pdf

7. Mathoverflow上的http://mathoverflow.net/questions/61252/why-do-bernoulli-numbers-arise-everywhere/187599#187599

和這個討論https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/02/metric_spaces.html#c014936

希望有幫助

先簡單地說一下吧~伯努利數

$Bn$ 的第一次發現是與下列數列求和的公式有關：

$sum_{k=0}^{m-1}{k^n}=0^n+1^n+2^n+..........+(m-1)^n$

其中n為固定的任意正整數。

這數列的求和公式中，只看最後一項，可以知道左邊的通項可以寫成：

$(m-i)^n$ 其中， $iin (1,m)$

下面我們看一個生成函數

$e^x-1=(1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+.....+frac{x^n}{n!}+....... )-1=x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+......$

所以

我們有

$x=(B_{0}+B_{1}x+B_{2}frac{x^2}{2!}+B_{3}frac{x^3}{3!}+.... +B_{n}frac{x^n}{n!}+........) imes (x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+.......+frac{x^n}{n!})$