如何理解線性空間這一概念？

01-04

對於線性代數中所提的線性空間這一定義的理解。

直觀上可以理解為 給元素裝配了加法和數乘的非空集合

完成定義我們拆分這句話就成：

1）非空集合

首先它是一個非空集合，我們記為 $X$

2） 給元素裝配加法（元素與元素加法）

其次我們給 $X$ 中的元素裝配上加法運算，滿足4個基本屬性

1, 加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w

2, 加法交換律：u + v = v + u

3, 有單位元：存在一個元素 e, 使得對任意u ∈ $X$ ，都有u + e = u, 這裡e 其實是零元，一般用0表示

4, 有逆元：對任意u ∈ $X$ ，都對應存在一個v∈ $X$ , 使得u + v=0

3） 給元素裝配數乘（數值與元素乘法）

然後給 $X$ 中的元素裝配上數乘，滿足數乘的4個基本屬性(選擇一個數域 $F$ ,記a,b為其中任意數值)

1. 數乘對元素加法滿足分配律：a · (v + w) = a ·v + a ·w.

2. 數乘對域加法（數值與數值加法）滿足分配律：(a + b) ·v = a ·v + b ·v.

3. 數乘與域乘法（數值與數值乘法）相兼容： a(b ·v) = (ab) ·v

4. 數乘有單位元：存在一個數值 $ein F$ , 使得對於任意v $in X$ ,都有 $e$ ·v = v

到此，我們有了裝配了加法和數乘的非空集合，要成為空間，在定義兩個運算時要包含一個硬性要求即可，這個集合對這兩個運算封閉

至於為什麼叫線性空間，我想是因為裝配了加法和數乘這兩個線性運算吧

線性空間是一個比較好玩的數學結構。

它比較像是一個裝著很多向量的集合，特點是任意取一個向量來伸縮，或者任意取兩個向量來求和，結果得到的新的向量一定還是在這個空間裡面的。

我們可以在這個空間中挑出幾個向量，然後說，空間中所有的向量都可以用這幾個向量組合出來，這就是生成向量。

如果恰好這幾個向量是相互獨立的，我們就可以說，這些向量可以是這個線性空間的基準向量。

公理化定義在維基百科中有。 http://zh.m.wikipedia.org/zh/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4

你要想玩代數遊戲，就必須要有遊戲規則和場地範圍。

一個域上的模

線性空間也稱向量空間，即在這個空間里的任意兩個元素滿足和的性質和倍的性質。但是加的定義，和和的定義必須給出。

熟悉的有二維向量空間，三維向量空間，即這些空間中的任意兩個元素經過和或者被倍的關係得到的新向量仍在此空間中。類推到n維空間均是線性空間。

不熟悉的有整體實數集，二次正方行列式的集合等都是線性空間，因為這些空間里的任意元素均滿足線性運算。

簡而言之，空間里的元素均滿足線性運算的空間稱為線性空間。

滿足一些規則的對象

藏針之綿。